中国余数定理

中国余数定理公式中国余数定理，也称为孙子定理，是一种基于模运算的经典数学定理。

它能够将一个同余方程组转化为一个单同余方程，从而大大简化问题的求解。

这个定理在代数学、计算机科学、密码学等领域都有广泛的应用。

中国余数定理的原理假设给定两个正整数m1和m2，他们互质，对于任意两个整数a1、a2，下面的同余方程：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)都有一个解x在模m1m2下唯一确定。

特别的，当给定n个正整数m1、m2、...、mn，它们两两互质时，对于任意n个整数a1、a2、...、an，下面的同余方程组：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)都有一个解x在模M=m1m2...mn下唯一确定。

中国余数定理的应用场景1. 线性同余方程组的求解中国余数定理可以将多个线性同余方程组转化为一个单一的同余方程，从而简化了求解问题。

在密码学领域中，线性同余方程组的求解常常涉及多个密码学密钥的计算和变换。

2. 数论问题的求解中国余数定理在数论领域中有广泛的应用。

它可以用来求解大量数据的最小公倍数，检测质数的性质，以及判断两个数是否是互质的。

3. 数据加密和解密中国余数定理可以用来设计和实现许多加密算法和协议，例如RSA加密算法和离散对数算法。

这些算法和协议通常需要利用中国余数定理来处理数字的加密和解密过程。

4. 编程语言中的应用在计算机科学领域，中国余数定理被广泛应用于编程语言中。

Java语言中可以利用中国余数定理来计算大型整数的模运算，而C++语言中则可以利用中国余数定理解决多项式求值问题。

总结：中国余数定理是一种重要的数学定理，常常在代数学、计算机科学、密码学等领域中得到广泛应用。

它能够将一个同余方程组转化为一个单同余方程，从而大大简化问题的求解。

在实际应用中，中国余数定理被广泛用于线性同余方程组的求解、数论问题的求解、数据加密和解密、以及编程语言中的应用等方面。

第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。

3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.【余数的加法定理】a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.【余数的乘法定理】a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

初识中国余数定理（ChineseRemainderTheorem）初识中国余数定理 (Chinese Remainder Theorem)中国余数定理介绍起源：在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩⼆（除以7余2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。

解法：设未知数为X1. 找到三个数：1). 从3和5的公倍数中找到被7除余1的数，15；2). 从5和7的公倍数中找到被3除余1的数，70；3). 从3和7的公倍数中找到被5除余1的数，21。

2. ⽤第1步得到的三个数除以响应的余数：1). 15乘以2（2为X除以7的余数），30；2). 70乘以2（2为X除以3的余数），140；3). 21乘以3（3为X除以5的余数），63。

将三个乘积结果相加，30 + 140 + 63 = 233。

3. ⽤第2步结果除以三个数的最⼩公倍数的余数即为所求结果X = mod(233,105) = 23原理：前提已知：前提1. if a % b = c, then (a + kb) % b = c;前提2. if a % b = c, then 2a % 2b = 2c.则由此1. 设n1, n2, n3分别为除3, 5, 7分别余2, 3, 2的数，1). n1 % 3 = 2;2). n2 % 5 = 3;3). n3 % 7 = 2.则问题变为能否找到数n1+n2+n3满⾜条件1). (n1+n2+n3) % 3 = 2;2). (n1+n2+n3) % 5 = 3;3). (n1+n2+n3) % 7 = 2.2. 可见，当1). n2与n3是3的倍数，条件1成⽴；2). n1与n3是5的倍数，条件2成⽴；3). n1与n2是7的倍数，条件3成⽴。

3. 此时有1). n1为5与7的公倍数；2). n2为3与7的公倍数；3). n3为3与5的公倍数。

汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。

又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。

计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。

一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。

未知”。

原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。

问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。

孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。

因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。

1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。

明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。

除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。

意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。

在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。

例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。

小升初重点知识点：余数问题小升初重点知识点：余数问题一、中国古代剩余定理我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知•”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理” （ChineseRemainderTheorem）,是我国古代数学的一项辉煌成果。

诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘。

五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘。

七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘。

除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数。

此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105,最后所得的整数就是所求。

二、余数性质同余定义如果a, b除以c的余数相同，就称"b对于除数c来说是同余的，且有8与b的差能被c整除。

（a, b, c均为自然数）例如：17与13除以3的余数都是2,所以（17-11）能被3整除。

同余定理（一）可加性8与b的和除以C的余数，等于d, b分别除以C的余数之和 (或这个和除以C的余数)。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5 的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5 的余数等于(3+4)除以5的余数。

(二)可减性a与b的差除以c的余数，等于a, b分别除以c的'余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以(23-16)除以5 的余数等于3 — 1二2。

中国剩余定理的典型例题中国剩余定理是一个强大的数论工具，可以用来解决各种复杂的问题。

在计算机科学、统计学和密码学中都有广泛的应用。

中国剩余定理也被称为“中国余数定理”或“中国余数定理”，它源于中国古代学者Sunzi Suanjing 所著《孙子算经》，该书收录了中国古代数学家对于解决一类特殊方程的研究。

中国剩余定理的典型例题如下：1. 已知正整数a、b、m，求满足a≡x (mod m) 且b≡x (mod m)的整数x的取值范围。

由中国剩余定理可知，a≡x (mod m) 且b≡x (mod m) 等价于 a-b ≡ 0 (mod m)，即x = a-b+km, k∈Z，所以x的取值范围为x ∈ {a-b+km | k∈Z} 。

2. 已知a、b、N，求满足a≡b (mod N)的整数x的最小正整数解。

由中国剩余定理可知，a≡b (mod N) 等价于 a-b ≡ 0 (mod N)，即x = a-b+kN, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+N。

3. 已知三个整数a、b、c，求满足a≡b (mod c)的整数x的最小正整数解。

由中国剩余定理可知，a≡b (mod c) 等价于 a-b ≡ 0 (mod c)，即x = a-b+kc, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+c。

4. 已知三个整数a、b、N，求满足a≡b (mod N)且x>0的整数x的最小正整数解。

由中国剩余定理可知，a≡b (mod N) 等价于 a-b ≡ 0 (mod N)，即x = a-b+kN, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+N，而且x > 0，所以最小正整数解为x = a-b+N，其中N > 0。

以上就是中国剩余定理的典型例题，可以看出，中国剩余定理是一个强大的数论工具，可以用来解决复杂的问题，被广泛应用于计算机科学、统计学和密码学中。

数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。