理论力学第3章力系的平衡条件与平衡方程

基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。

说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。

B 点。

过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。

qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。

1第3章 力系的平衡 3.1 主要内容空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力 0=R F空间汇交力系平衡方程的基本形式0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即：0=∑='F F R;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式：基本形式： 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x二矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x （A 、B 连线不能与x 轴垂直）三矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M M C B A （A 、B 、C 三点不共线）平面力系有三个独立的平衡方程，可解三个未知量。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，即0=∑=F F R 平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即0,0=∑=∑y x F F两个独立的平衡方程，可解两个未知量。

平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即∑=0Mi一个独立的平衡方程，可解一个未知量。

3.2 基本要求1．熟练掌握力的投影，分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。

2．能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。

对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。

3．正确理解静定和超静定的概念，并会判断具体问题的静定性。

理论力学平面任意力系的平衡条件及方程一、平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的必要和充分条件为：力系的主矢和对任一点的主矩M O 都等于零，F R'=M O =∑M O (F i )二、平面任意力系的平衡方程∑F ix =0∑F iy =0∑M (F )=0O i ⎧⎪⎨⎪⎩⎧∑F x =0⎨∑M A (F )=0⎩∑M B (F )=0条件：x AB⎪⎪⎧∑M A (F )=0⎨∑M B (F )=0⎩∑M C(F )=0条件：A ，B ，C 点⎪⎪上式只有 个独立方程，只能求出 个未知数。

[例]求图示刚架的约束力。

解：以刚架为研究对象，受力如图。

q∑F x =0:F Ax -qb =0∑F y =0:F Ay -F =0∑M A (F )=0:M -Fa -1qb 2=02=qb A解 ：F Ax F Ay =F 212A M =Fa +qbq[例]求图示梁的支座约束力。

解：以梁为研究对象，受力如图。

∑F x =0:F Ax +F cos θ=0∑F y =0:F Ay +F B -F sin θ=0∑M A (F )=0:F B a -F sin θ⋅(a +b )-M =0解 ：=-F cos θF Ax =M +F sin θ(a +b )aB F =-M +Fb sin θAyFa[例] 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F 1=2 kN ，F 2=1.5 kN ，M =1.2 kN·m ， l 1=1.5 m ，l 2=2.5 m ，试求铰支座A 及支座B 的约束力。

60解：1、 梁为研究对象，受力分 如图2、 平衡方程3、解方程∑MA(F )=0F B l 2-M -F 1l 1-F 2(l 1+l 2)sin60=Fx=0F Ax -F 2cos ∑60=0=0∑FyF Ay +F B -F 1-F 2sin 60=0=0.75kN F =3.56kN=-0.261kNF Ax B F Ay[例]悬臂吊车如图所示。