2014《步步高》高考数学第一轮复习03 定积分

探究提高
三角函数图象的确定，可以利用 图象的周期性、最值、已知点的 坐标列方程来解决．
(2)若点 R 的坐标为(1,0)，∠PRQ＝ 23π，求 A 的值．
题型分类·深度剖析
题型二
三角函数的图象与性质
【 例 2 】 (2011·浙 江 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ 思维启迪
解析
探究提高
解Asin(1()π3由x＋题φ意)，得xT∈＝R2ππ，＝A6>. 0,0<φ<π2，y 因 所 又＝ 分 P(1为 以 因的)别f求(为Psx坐为i)(nf1的0(标(该，<π3xφ＋部)为A图的<φ)π分2在 (象最)，1＝，图的y小所1＝A象.最以 正)A．如s高周3φin＝图点期(π3π6x所和及.＋示最φφ)低，的的点图P值、象，；点Q上，
变式训练 2 已知函数 f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω 是常数， ω>0)的最小正周期为 2，并且当 x＝13时，f(x)max＝2. (1)求 f(x)的解析式； (2)在闭区间241，243上是否存在 f(x)的对称轴？如果存在，求出其 对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
解析
探究提高
题型分类·深度剖析
题型三
三角函数、平面向量、解三角形的综合应用
【 例 3 】 已 知 向 量 m ＝ 思维启迪 ∴2si3nsiAncox4s，B1＝，snin＝(Bc＋osC)x4．，cos2x4. ∵ ∴((Ac12o＋))s若记BB＝＋mf(12·Cxn，)＝＝＝∵π1m，，0·求<n∴B，c<soi在πns，(△B23∴π＋A－BBCx＝)C＝的π3中s.∴值in，0；A<≠A<02.3π. ∴角π6<AA2＋，π6B<，π2，C s的in对A2边 ＋π6分∈别是12，a1，. b， 又c求∵，函f(且x数)满＝f足s(iAn()2的x2a＋－取π6c值 ＋)c范o12s.围B＝．bcos C， ∴f(A)＝sinA2 ＋π6＋12. 故函数 f(A)的取值范围是1，32.

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理 （一）定积分的计算（利用定义） 1、相关（1）由定积分定义求定积分的步骤为 ①分割； ②近似代替； ③求和； ④取极限。

（2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰②定义中区间的分法和i ξ的取法都是任意的。

③在定积分的定义中，()baf x dx ⎰限定下限小于上限，即a<b,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：()baf x dx ⎰=()a bf x dx -⎰，()aaf x dx ⎰=0。

2、例题解析〖例1〗用定积分的定义计算定积分21badx x ⎰的值。

分析：n 等分区间[a,b]→近似代替→求和→取极限解答：将区间[a,b]等分，设分点分别为a=x 0<x 1<x 2<…<x i+1<x i <…<x n =b,取ξi=1(0,1,2,,1)i i x x i n +=-,显然1[,]i i i x x ξ+∈，作和式111001111111()(),n n n i i i i i i ii S x x x x x x a b --+==++=-=-=-∑∑于是11lim n n S a b →∞=-，即2111b a x a b=-⎰〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x 3围成的图形的面积 解析：（1）分割用分点12(1),,n n n n n n n+++-将区间[1，2]等分成个n 小区间，如图所示1121(1)[1,],[,],,[,],,[,2]n n n n i n i n n n n n n n n ++++-++-，每个区间的长度为 Δx=11n i n i n n n ++--=,过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作12,,,.n s s s ∆∆∆（2）近似代替取各小区间的左端点记为i ξ，用以点i ξ的纵坐标3i ξ为一边，以小区间长1x n∆=为其邻边的小矩形面积代替第i 个小曲边梯形的面积，可近似地表示为3311(1,2,,).i i n i S x i n n n ξ+-⎛⎫∆≈∆== ⎪⎝⎭（3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即311111()n n ni i i i i n i S S x n nξ===+-=∆≈∆=∑∑∑…………………………① （4）取极限当分点数目越多，即Δx 越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD 的面积S ，当n →∞，即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积。

习题课 空间向量的应用一、基础过关 1．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 2．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． (1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 3．如图所示，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小． 二、能力提升 4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，P A＝AD ＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．5．等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(如图所示)．(1)求证：平面ABC⊥平面ABE；(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．三、探究与拓展6．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面P AC，求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．答案1． (1)证明 由题设知，F A 、AB 、AD 两两互相垂直．以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正方向，以射线AD 为y 轴正方向，以射线AF 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )．所以GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上， 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)解 C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由题设知，F (0,0,2c )，所以EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →.又C ∉EF ，H ∈FD ， 故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)证明 由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a )． 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0， CH →·AD →＝0，即CH ⊥AE ，CH ⊥AD . 又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE . 由CH ⊂平面CDE ， 得平面ADE ⊥平面CDE . 2． (1)证明 ∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB .又∵AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面P AD .∴AB ⊥PD . 又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE . 故BE ⊥PD . (2)解 如图所示，以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为(a ，a,0)、(0,2a,0)．∵P A ⊥底面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝30°.于是，在Rt △AED 中，由AD ＝2a ， 得AE ＝a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE ＝a ，∠EAF ＝60°， 得AF ＝12a ，EF ＝32a .∴E ⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a .于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a ，CD →＝(－a ，a,0)．设异面直线AE 与CD 所成角为θ， 则cos θ＝|AE →·CD →||AE →||CD →|＝12a 2a ·2a ＝24.∴AE 与CD所成角的余弦值为24. 3． (1)证明作AP ⊥CD 于点P ，连结OP .如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，22，0， D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0.MN →＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0.即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，又MN ⊄平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .(2)解 设AB 与MD 所成角为θ. ∵AB →＝(1,0,0)，MD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，∴cos θ＝|AB →·MD →||AB →|·|MD →|＝12，∴θ＝π3.∴AB 与MD 所成角的大小为π3.4． (1)证明如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)． 易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)解 PC →＝(0,1，－2)， CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)． 可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306.(3)解 设点E 的坐标为(0,0，h )， 其中h ∈[0,2]．由此得BE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h . 由CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h 2，所以310＋20h 2＝cos 30°＝32，解得h ＝1010，即AE ＝1010. 5． (1)证明 取DE 的中点O ，取BC 的中点G ，连结AO ，OG ，则AO ⊥DE ，OG ⊥DE .∵平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ， ∴AO ⊥平面BCDE ，∴AO ⊥OG . 建立如图所示的空间直角坐标系， 设BC ＝4，则DE ＝2，AO ＝OG ＝ 3.所以A (0,0，3)，D (1,0,0)，E (－1,0,0)，B (－2，3，0)，C (2，3，0)． 设平面ABE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵EA →＝(1,0，3)，EB →＝(－1，3，0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥EA →，m ⊥EB→，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(3，1，－1)， 设平面ABC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， ∵BC →＝(4,0,0)，AC →＝(2，3，－3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BC →，n ⊥AC→ 得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，2x 2＋3y 2－3z 2＝0.令y 2＝1，得n ＝(0,1,1)， ∵m·n ＝(3，1，－1)·(0,1,1)＝0， ∴平面ABC ⊥平面ABE .(2)解 由(1)得cos 〈AC →，m 〉＝AC →·m |AC →||m |＝23＋3＋34＋3＋3·3＋1＋1＝265.∴直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值为265.6． (1)证明 连结BD ，设AC 交BD 于点O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ，以O 点为坐标原点，OB →、OC →、OS →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O —xyz 如图所示． 设底面边长为a ，则高SO ＝62a . 于是S (0,0，62a )，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD ， 因此AC ⊥SD .(2)解 由题意知，平面P AC 的一个法向量DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量OS →＝⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，设所求二面角为θ， 则cos θ＝OS →·DS →|OS →||DS →|＝32，故所求二面角P —AC —D 的大小为30°. (3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC .由(2)知DS →是平面P AC 的一个法向量， 且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0，设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at .由BE →·DS →＝0，得t ＝13，即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →. 而BE 不在平面P AC 内， 故BE ∥平面P AC .。

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理【2014年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程． 【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .在⎠⎛a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . ③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．设阴影部分面积为S .①S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ②S ＝－⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ③S ＝⎠⎜⎜⎛ac f (x )d x －⎠⎜⎜⎛cb f (x )d x ；④S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x －⎠⎜⎜⎛ab g (x )d x ＝ ⎠⎜⎜⎛ab[f (x )－g (x )]d x .(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即 s ＝⎠⎜⎜⎛ab v(t)d t .三条性质(1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 双基自测2．(2011·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32 D.3 解析 S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝ |2sin x π30＝ 3.答案 D双基自测1．(2011·福建)⎠⎜⎜⎛01(e x＋2x )d x 等于( )． A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1解析 ⎠⎜⎜⎛01(e x＋2x )d x ＝ ⎪⎪⎪(e x ＋x 2)10＝(e ＋1)－1＝e. 答案 C3．(2011·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 ( )．A.112B.14C.13D.712 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S ＝⎠⎜⎜⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112. 答案 A4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．A.1πB.2πC.π4D.3π考向一 定积分的计算【例1】 计算下列积分解析 阴影部分的面积S ＝⎪⎪⎪⎠⎜⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π. 概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.故应选A.答案 A 5．(人教A 版教材习题改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．解析 s ＝⎠⎜⎜⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫32t 2＋2t 21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)．答案 6.5 m当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．(5)由y ＝x cos x －5sin x 为奇函数⎠⎜⎜⎛－11(x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ ⎪⎪⎪⎠⎛1－12d x ＝2x 1－1＝4. (1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则 ＝0.考向二 利用定积分求面积【例2】 求下图中阴影部分的面积．[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数．解 解方程组⎩⎨⎧y ＝x －4，y 2＝2x ，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝8y ＝4S 阴影＝⎠⎛082x d x －8＋⎠⎛02|－2x |d x ＋2＝2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3280＋2⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3220－6＝18.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【训练2】 求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136.考向三 定积分的应用【例3】 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置； (2)在t ＝4 s 内运动的路程．[审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数． 解 (1)在时刻t ＝4时该点的位置为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m)，即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为 S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10＋|⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31|＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 43＝43＋43＋43＝4 (m)， 即质点在4s 内运动的路程为4 m.由s ＝v 0t ＋12at 2通过求导可推出v ＝v 0＋at ，反之根据积分的几何意义，由v ＝v (t )(v (t )≥0)可求出t ∈[a ，b ]时间段内所经过的路程．【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )．A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解析 可观察出曲线v 甲，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积大于曲线v 乙，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积，故选A. 答案 A难点突破8——积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积．一、积分的几何意义【示例】►已知r>0，则－r r2－x2d x＝________.⎠⎛r二、积分与概率【示例】►(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M 取自阴影部分的概率为__________．。