黄冈八模2020届高三文科数学模拟测试卷(含解析)

利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！数学试题（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量)1,(-=a a OA 的模为5，则实数a 的值是 （ ）A ．－1B ．2C ．－1或2D ．1或－2球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径2．在等比数列{n a }中，=+-=-=>543412,9,1,0a a a a a a a n 则且 （ ）A ．16B ．27C ．36D ．813．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点B （ααsin ,cos ）的距离为1的α的一个值是 （ ） A ．12π B ．6πC ．3π-D ．4π-4．已知偶函数),0(||log )(+∞+=在b x x f a 上单调递减，则)1()2(+-a f b f 与的大小关系是（ ）A ．)1()2(+<-a f b fB ．)1()2(+=-a f b fC ．)1()2(+>-a f b fD ．无法确定的5．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这一正四面体某顶点到其相对面的距离是（ ） A ．36 B ．35 C ．33 D ．32 6．已知),()1,1(m m B m m A 与点+-关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）A ．01=-+y xB ．01=+-y xC ．01=++y xD ．01=--y x7．已知双曲线122=-y kx 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则这一双曲线的离心率是（ ） A ．25 B ．23 C ．3 D ．58．如图，某电路中，在A 、B 之间有1，2，3，4四个焊接点，若焊接点脱落，则电路不通. 则可能出现的使A 、B 之间的电路不通的焊接点脱落的不同的情况有 （ ） A ．4种 B ．10种C ．12种D ．13种9．设=-+-+-=++++=-n n n n n a a a a n x a x a x a a x )1(,4,)3(2102210ΛΛ则若 （ ） A ．256B ．136C ．120D ．1610．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线l 击出，经椭圆壁反弹后再回到点A ，若l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是（ ） A ．4bB ．)(2c a -C ．)(2c a +D ．a 411．已知不等式0)3(log 1<<-x x 成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．)1,33(B ．)33,0( C ．)1,31(D ．)33,31( 12．已知一个半径为21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是（ ）A ．354B ．483C ．336D ．324 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把各题的结果直接填在各题中的横线上.13．有一个简单的随机样本：6，10，12，9，14，15，则样本平均数x .14．设棱锥的底面面积是8，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是 . 15．函数)632cos(32sinπ++=x x y 的图象中相邻两条对称轴的距离是 .16．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线2-=x y 上，现将抛物线沿向量a 进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线2-=x y 移到点)24,2(+a a 处，则在平移中抛物线的顶点移动的距离d= .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知非钝角ο60,=∠∆B ABC 中，边AB 的长减去BC 的长等于AC 边上的高，若A C sin sin -和分别是方程04322=-+-m mx x 的两个根，求实数m 和角A 、C 的值.18．（本小题满分12分）已知函数b ax x x f +-=331)(在y 轴上的截距为1，且在曲线上一点P ),22(0y 处的切线斜率为31，求这一切线方程，并求该函数的极大值和极小值.19．（本小题满分12分）已知函数}1220|{,log 2a a a a x y a -<∈=其中. （1）判断函数x y a log =的单调性；（2）若命题|)2(|1|)(:|x f x f p -<为真命题，求实数x 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：（1）异面直线PM与FQ所成的角；（2）四面体P—EFB的体积；（3）（附加题，满分5分，全卷总分不超过150分）异面直线PM 与FQ的距离.21．（本小题满分12分）已知等差数列{a}前四项的和为60，第二项n与第四项的和为34，等比数列{n b }的前四项的和为120，第二项与第四项的和为90. （1）求数列{n a }、{n b }的通项公式；（2）对一切正整数n ，是否存在正整数p ，使得2n p b a ？无论存在与否，都请给出证明.22．（本小题满分14分）有如下命题：已知椭圆A A y x '=+,14922是椭圆的长轴，),(11y x P是椭圆上异于A 、A ′的任意一点，过P 点斜率为1194y x -的直线l ，若直线l 上的两点M 、M ′在x 轴上的射影分别为A 、A ′，则（1）|AM||A ′M ′|为定值4；（2）由A 、A ′、M ′、M 四点构成的四边形面积的最小值为12.请分析上述命题，并根据上述问题对于椭圆)0(12222>>=+b a by a x 构造出一个具有一般性结论的命题. 写出这一命题，并判断这一命题的真假.数学试题（文）参考答案1．C （解得5)1(22=-+a a ）2．B （即))(,3,9)(435421221q a a a a q a a q a a +=+=∴=++）3．C （|AB|=1|2sin |2)sin 2(sin )cos 2(cos 22==-+-ααααα）4．A （必有b=0，且012),2()2(,10>+>=-<<a f b f a 而）5．A （即求棱长为1的正四面体的高，))33()23(22-∴为） 6．B （直线与AB 垂直，且过AB 的中点，故得)212,212(,11+-=m m k 且过点）7．A （渐近线方程是a k y kx 再求由此得,41,022==-、)c8．D （1号接点脱落，有23种情况；1号接点正常，2号脱落有22种情况；1号、2号接点正常，3、4号接点都脱落有1种情况） 9．A （在展开式中令44321041=+-+--=a a a a a x 得） 10．D （由椭圆的第一定义得4a ） 11．D （必有1312,102>>+<<x x x 且） 12．A （6,)2332()2(222=∴⨯=-a a aR ）13．11 )61514912106(+++++即14．2 （设中截面面积是S ，则))21(82=S 15．π23（)32222),332sin(2cos 2332sin21⨯=∴+=+=ππT x x x y16．,2,2224(26-=-=+=a a a l 得由∴平移后抛物线的焦点为F （－4，－6），又（)0,2p在4,2=∴-=p x y 上，由此可以求得平移公式为⎩⎨⎧-='-=';6,6y y x x 代入原方程得平移后的抛物线方程是)6(8)6(2+=+x y ，其顶点坐标为（－6，－6））17．设△ABC 的AC 边上的高为h ，由∠B=60°，且三角形是非钝角三 角形，ChBC A h AB sin ,sin ==∴，依题意得AB －BC=h ，∴A C A C A C h ChA h sin sin ,sin sin sin sin ,sin sin -=-=-和又故得是方程4322-+-m mx x =0的两个根，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-∴;43)sin (sin ;sin sin 2m A C m A C 243m m -=∴， 即),0sin sin ,23(21,03442故舍去由对>-==∴=-+A C m m m m此时方程为021212=--x x，它的两个根是,12121=-=x x 和,1sin =∴C,21sin =A 即有οο90,30==C A18．依题意，,)(,1,1)0(2a x x f b f -='=∴=Θ又 由已知,61,31)22(=∴='a f,11122122)22(,16131)(03=+-==+-=∴f y x x x f ∴所求的切线方程是 ,66,061)(,02662),22(3112±==-='=-+--=-x x x f y x x y 得令即0)(66,0)(6666,0)(,66>'><'<<->'-<x f x x f x x f x 时当时当时当Θ ∴函数)(x f 有极大值 ,1546)66(+=-f 极小值.5461)66(-=f 19．（1）x y a a a a a a a a log ,102,02012},1220|{22=∴<<<+-∴-<∈函数即Θ 是增函数；（2）10,0,1|2log ||log ||)2(|1|(|<<><+-<x x x x x f x f a a 当必有即，,12log ,12log log ,0log <∴<+-<a a a a x x x 不等式化为这显然成立，此时,12log log ,0log ,1;1;10<+≥≥≥<<x x x x x x a a a 不等式化为时当当;21,2,12log ax a x x a <≤<<∴此时故综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是{}20|ax x <<20．（1）将已知图形以AD 、DC 、DM 为相邻的三条棱补成如图 所示的正方体，易知BF//MP ，连结BQ ，则∠QFB 即为异 面直线PM 与FQ 所成的角，由正方体的性质知△BFQ 是直 角三角形，由即所求的知,30,2221ο=∠==QFB a BF BQ 为30°；（2）由于DP=PE ，所以四面体P —EBF 的体积等于四面体D —EBF 的一半，所以所求的体积V=;63121)4(2133a a V V BDE A =⨯=--正方体（3）由（1）异面直线PM 与FQ 的距离即为MP 到平面BFQ 的距离，也即M 点到平面BFD 的距离，设这一距离为d ，,23a BC S d S V V DCF DBF DCF B DBFM ===--有而2)2(43a S BDF==.33232,23232a a a d a ==∴ 21．（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，等比数列的首项为1b ，公比为q ，依题意有n n n b n a q b d a q b q b q q b d a d a d a 3,54;3,3;4,9;90,1201)1(;3)3()(,602)14(441131141111=+=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=--⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+解得（2）由（1）=-+=--==+=5)18(59,459,954,92n n n nnnp p b 而得令 ,,51)888(1110*--∈-++++N n C C C n n n n n n 由于Λ 459≥-∴n ，且上式小括号中的数为8的倍数，故对于一切正整数n ，使得2n p b a =的正整数p 总存在.22．这一命题是：已知A A b a by a x '>>=+),0(12222是椭圆的长轴，),(11y x P 是椭圆上异于A 、A ′的任意一点，过P 点作斜率为1212y a x b -的直线l ，若直线l 上的两点M 、M ′在x 轴上的射影分别为A 、A ′则（1）|AM||A ′M ′|为定值2b ；（2）由A 、A ′、M ′、M 四点构成的四边形面积的最小值为ab 2，这一命题是真命题，证明如下：（1）不防设)0,(a A -、)0,(a A '由点斜式得直线l 的方程是),(112121x x y a x b y y --=-即221212b a y y a x x b =+，由射影的概念知M 与A 、M ′与A ′有相同有横坐标，由此可得⨯+==''∴-'+-'1112211221122|||||||),,(),,(y a x b ab y y M A AM ay x b ab a M ay x b ab a M M M22122122221122|||b y a x b b a b ay x b ab =-=-；（2）由图形分析知，不论四点的位置如何，四边形的面积|)|(|||21M A AM A A S ''+'=， ||,2||AM a A A 且='Θ、||M A ''都为正数， |)||(|||21M A AM A A S ''+'=∴ab M A AM a M A AM a 2)||||2(|)||(|=''≥''+=，即四边形的面积的最小值为2ab .。

2020年湖北省黄冈八模高考数学模拟试卷(文科)(四)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A =[−1,1]，B ={x|1nx <0}，则A ∩B =( )A. (0,1)B. (0,1]C. (−1,1)D. [−1,1]2. 设z ·i =2i +1，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i3. 已知a =log 30.1，b =30.1，c =0.13，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a4. 下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )A. y =x +7B. y =5x −1C. y =log 3xD. y =(12)x −x5. 已知α是第二象限角，且cos α=−35，则cos (π4−α)的值是( )A. √210B. −√210C. 7√210D. −7√2106. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. 8B. 43 C. 83 D. 1037. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(c,0)，直线x =a 2c与一条渐近线交于点P ，△POF 的面积为a 2(O 为原点)，则抛物线y 2=2b ax 的准线方程为( )A. y =12B. x =1C. x =−1D. x =√28. 科学家在研究某种细胞的繁殖规律时，得到如表中的实验数据，经计算得到回归直线方程为y ̂=0.85x −0.25． 天数x3 4 5 6 7 繁殖数(千个)2.53t4.56由以上信息，可得表中t 的值为( )A. 3.5B. 3.75C. 4D. 4.259. 若点P(1,1)为圆x 2+y 2−4x =0的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为( )A. x +y −2=0B. x −y =0C. x −y +2=0D. x 2+(y −1)2=510. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=( )A. 23B. 32C. 2D. 311. 在锐角△ABC 中，AC =BC =2，CO⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x +y =1)，若函数f(λ)=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3，则|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A. 1B. √3C. 2D. 2√312. 函数f(x)=112x 4−12ax 2，若f(x)的导函数f′(x)在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤0B. a ≥0C. a <0D. a >0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 命题“∀x ≤−1，x 2>2x ”的否定是______ ．14. 已知实数x ，y 满足条件{x −y ≤0x +y ≥0y ≤1，则z =2x +y −5的最小值为______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=4a 2，则cos A 的最小值为______． 16. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥面ABC ，PA =2，AB =AC =1，∠BAC =120°，若点P ，A ，B ，C都在同一球面上，则该球的半径等于 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 等差数列{a n }中，a 2=4，a 4+a 7=15.设b n =2a n −2+n ，求{b n }的前10项和．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1=3，E，F分别为BC，A1B1的中点．(Ⅰ)求证：平面ABC⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)求三棱锥C1−EFB1的体积；(Ⅲ)在线段A1E上是否存在一点M，使直线MF与平面BB1C1C没有公共点？若存在，求A1M的值；ME 若不存在，请说明理由．19.为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)求出各组相应的频率；(2)数据落在[1.15,1.30]中的频率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中还有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．20. 在平面直角坐标系中，已知F 1(−1,0)，直线l ：x =−4，点P 为平面内的动点，过点P 做直线l的垂线，垂足为点M ，且(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设F 2(1,0)，过F 2且与x 轴不重合的直线n 与曲线C 相交于不同的两点A ，B.则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线n 的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=alnx −e x x−ax ．(1)当a >0时，讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a ≥2时，∀x ∈[1,2]，f(x)+xf′(x)+e x +x 22+(a −1)x <0．22.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为为参数)在以原点为极点，x)=m．轴正半轴为极轴的极坐标系中直线l的极坐标方程为2ρcos(θ+π6(1)求曲线M的普通方程，并指出曲线M是什么曲线；(2)若直线l与曲线M相交于A，B两点，|AB|=2，求m的值23.不等式log3(|x−4|+|x+5|)>a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：B=(0,1)；∴A∩B=(0,1)．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及对数函数的单调性，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题.根据复数运算法则解答即可，解：因为z·i=2i+1，=2−i所以z=2i+1i故选B．3.答案：B解析：本题考查比较大小，主要考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．容易得出log30.1<log31=0，30.1>30=1，0<0.13<1，从而得出a，b，c的大小关系．解：∵log30.1<log31=0，30.1>30=1，0<0.13<1；∴a<c<b．故选：B．4.答案：D解析：A、B、C中的函数的零点可以直接求出，而D中的函数没法直接求出它的零点，必须用二分法求零点，故选D．解析：本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．解：由题意，sinα=45，所以cos(π4−α)=cosπ4cosα+sinπ4sinα=√210．故选A．6.答案：C解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，底面面积S=2×2=4，高ℎ=2，故体积V=13Sℎ=83，故选：C．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．7.答案：C解析：解：直线x=a2c 与一条渐近线y=bax交于点P(a2c,abc)，△POF的面积为a2，可得12c⋅，abc=a2，即b=2a，抛物线y2=2bax即为y2=4x，准线方程为x=−1．故选：C．设出双曲线的一条渐近线方程，求得交点P，由三角形的面积公式可得b=2a，可得抛物线方程，即可得到准线方程．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和准线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．解析：解：x =15(3+4+5+6+7)=5， ∵y ̂=0.85x −0.25，∴x =5时，y =0.85×5−0.25=4， ∴15(2.5+3+t +4.5+6)=4，解得：t =4 故选：C ．求出x 直接将x =5代入回归直线方程为y ̂=0.85x −0.25，求出y 的值，从而求出t 的值即可． 本题考查了回归直线方程问题，考查代入求值问题，是一道基础题．9.答案：B解析：本题考查直线的斜率的求法，直线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用是基础题． 求出圆心坐标，求出PC 的斜率，然后求出AB 的斜率，即可利用点斜式方程求出直线AB 的方程． 解：将圆方程化为标准方程可得圆心C(2,0)， 所以k PC =−1,k AB =1，∴MN 方程为y −1=x −1，即x −y =0， 故选B ．10.答案：B解析：本题考查三角函数的性质，属于基础题． 由题意可知函数在x =π3时，取最大值，得ωπ3=2kπ+π2，k ∈Z ，求出ω的值即可．解：由题意可知当x =π3时， 函数取最大值，即ωπ3=2kπ+π2，k ∈Z ，所以ω=6k +32，k ∈Z ， 当k =0时，ω=32，经检验，此时满足函数在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减， 故选B ．11.答案：B解析：本题考查了平面向量的和与差的模的最值，属于中档题．由平面向量的和与差的模的最值得：f(λ)=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3，分析函数f(x)代表的几何意义得C =π3，由CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x +y =1)，则点O 在直线AB 上运动，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为2×sin π3=√3，得解．解：由f(λ)=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值等于A 到直线CB 的距离，该值为√3， 即CA⃗⃗⃗⃗⃗ sinC =√3， 由条件锐角三角形，得C =π3，△ABC 为等边三角形， 由CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x +y =1)， 则点O 在直线AB 上运动， 则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为2×sin π3=√3， 故选B ．12.答案：A解析：解：∵函数 f(x)=112x 4−12ax 2， ∴f′(x)=13x 3−ax∵函数f′(x)在R 上是增函数， ∴f ″″(x)=x 2−a ≥0， ∴a ≤x 2，而x 2≥0， ∴a ≤0， 故选：A ．由函数 f(x)=112x 4−12ax 2，得到f′(x)=13x 3−ax ，又函数f′(x)在R 上是增函数，从而f ″(x)=x 2−a >0，解不等式求出a 的范围即可．本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．13.答案：∃x 0≤−1，x 02≤2x 0解析：本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的关系，属于基础题． 直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可． 解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x ≤−1，x 2>2x ”的否定是：∃x 0≤−1，x 02≤2x 0． 故答案为：∃x 0≤−1，x 02≤2x 0．14.答案：−6解析：解：画出{x −y ≤0x +y ≥0y ≤1的可行域如图阴影区域：由{y =1x +y =0得A(−1,1) 目标函数z =2x +y 可看做斜率为−2的动直线l ，由图数形结合可知：当l 过点A 时，z 最小为−2×1+1−5=−6． 故答案为：−6．先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值本题主要考查了简单线性规划问题的一般解法，线性约束条件对应的可行域的画法，数形结合解决问题的思想方法，属基础题．15.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题． 利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A 的最小值． 解：△ABC 中，b 2+c 2=4a 2， 则a 2=14(b 2+c 2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．16.答案：√2解析：本题考查三棱锥的外接球半径，考查学生的计算能力．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径．解：∵AB=AC=1，∠BAC=120°，∴BC=√3，设三角形ABC的外接圆直径为2r，∴2r√3√322，∴r=1，设球心为O，AB，PB的中点分别为E，F，球的半径为R，∵PA⊥面ABC，PA=2，则EF=1，EF=OO′，∴该三棱锥的外接球的半径OA为√OO′2+AO′2=√12+12=√2.故答案为√2．17.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2=4，a4+a7=15．得a1+d=4，(a1+3d)+(a1+6d)=15，解得a1=3，d=1，所以a n=a1+(n−1)d=3+n−1=n+2；可得b n=2 a n−2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+⋯+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+⋯+(210+10)=(2+22+23+⋯+210)+(1+2+3+⋯+10)=2(1−210)1−2+(1+10)×102=(211−2)+55=211+53=2101．解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，以及运算能力，属于中档题．设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求；求得b n=2 a n−2+n=2n+n，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．18.答案：证明：(Ⅰ)在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为△ABC为等边三角形，E为BC中点，所以AE⊥BC.………………………………………………(1分)又AA1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以AA1⊥AE．因为BB1//AA1，所以BB1⊥AE.……………………………………(2分)因为BC∩BB1=B，BC⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C.………………………………………………(3分)所以平面ABC⊥平面BB1C1C.………………………………………(4分)解：(Ⅱ)V C1−EFB1=V E−FB1C1，………………(5分)取B1C1的中点D，连结DE，则DE//BB1，DE=BB1QUOTE，所以DE⊥平面A1B1C1，DE=3.………………(6分)又F是A1B1的中点，所以C1F⊥A1B1，C1F=√3.…………………………………(7分)所以V E−FB1C1=13S△FB1C1⋅DE=13×12S△A1B1C1⋅DE=13×12×12A1B1⋅C1F⋅DE=√32，即三棱锥C1−EFB1的体积为√32.………………(9分)(Ⅲ)在线段A1E上存在一点M，满足题意．理由如下：取A1E中点M，连结MF.………………(10分)因为F是A1B1的中点，所以MF是△A1B1E的中位线，所以MF//B1E.………………………………………………………………(11分)因为MF⊄平面BB1C1C，B1E⊂平面BB1C1C，所以MF//平面BB1C1C，………………………………………………(12分)即直线MF与平面BB1C1C没有公共点．………………………………………………(13分)此时A1MME=1.………………………………………………………………(14分)解析：(Ⅰ)推导出AE⊥BC，AA1⊥AE，由BB1//AA1，得BB1⊥AE，从而AE⊥平面BB1C1C，由此能证明平面ABC⊥平面BB1C1C.(Ⅱ)由V C1−EFB1=V E−FB1C1，能求出三棱锥C1−EFB1的体积．(Ⅲ)取A1E中点M，连结MF，推导出MF//B1E，由此能求出线段A1E上是否存在中点M，使直线MF与平面BB1C1C没有公共点，此时A1MME=1．本题考查面面垂直的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由频率分布直方图可得下表分组频率：[1.00,1.05)：0.05，[1.05,1.10)：0.20，[1.10,1.15)：0.28，[1.15,1.20)：0.30，[1.20,1.25)：0.15，[1.25,1.30]：0.02．(2)因为0.30+0.15+0.02=0.47.所以数据落在[1.15,1.30]中的频率约为0.47．(3)由分层抽样中每个个体被抽到的概率相同知：设水库中鱼的总条数为N ，则120N =6100，即N =2000.故水库中鱼的总条数约为2000条．解析：本题主要考查频率分布直方图，属于基础题．(1)根据频率分布直方图中的数据和公式计算即可；(2)三个小组的频率相加即可；(3)利用分层抽样原理，用样本估计总体．20.答案：解：(1)设动点P(x,y)，则M(−4,y)，由F 1(−1,0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,−y)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4−x,0)，2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−2y)，2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6−3x,−2y)，∵(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，∴4(x +1)2+4y 2=(x +4)2，化简得：x 24+y 23=1．∴所求曲线C 的方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，不妨令y 1>0，y 2<0，设△F 1AB 的内切圆半径为R ，则△F 1AB 的周长为4a =8，S △F 1AB =12(|AB|+|F 1B|+|F 2B|)R =4R ， 由此可知，当△F 1AB 的面积最大时，△F 1AB 的内切圆面积最大，可设直线n 的方程为x =my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1得：(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，则S △F 1AB =12|F 1F 2||y 1−y 2|=√(6m 3m 2+4)2+4×93m 2+4=12√m 2+13m 2+4，令√m 2+1=t ，则m 2=t 2−1(t ≥1)，∴S△F1AB =12t3t2+1=123t+1t，令f(t)=3t+1t (t≥1)，则f′(t)=3−1t2，当t≥1时，f′(t)>0恒成立，则f(t)=3t+1t在[1,+∞)上单调递增，∴f(t)≥f(1)=4，即f(t)的最小值为4．∴S△F1AB ≤3，即当t=1时，S△F1AB的面积最大为3，此时，△F1AB的内切圆的最大半径为R=34，所以，△F1AB的内切圆的面积取得最大值为S=πR2=9π16故直线n的方程为x=1，△F1AB的内切圆的面积最大值为9π16．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是较难题．(1)设动点P(x,y)，则M(−4,y)，求出向量的数量积的向量，化简求解即可得到轨迹方程．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令y1>0，y2<0，推出当△F1AB的面积最大时，△F1AB的内切圆面积最大，设直线n的方程为x=my+1，联立{x=my+1x24+y23=1得：(3m2+4)y2+6my−9=0，利用韦达定理，转化求解三角形的面积的表达式，令√m2+1=t，结合基本不等式，转化求解，推出直线n的方程为x=1，△F1AB的内切圆的面积最大值．21.答案：(1)解：由题意知，f′(x)=ax −xe x−e xx2−a=(ax+e x)(1−x)x2，x∈(0,+∞)．当a>0时，ax+e x>0对x∈(0,+∞)恒成立，所以当x>1时，f′(x)<0；当0<x<1时，f′(x)>0．所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．(2)证明：由题意知，即证当a≥2时，对任意x∈[1,2]，alnx−(a+1)x+x2a+a≤0恒成立，令ℎ(x)=alnx−(a+1)x+x22+a，x∈[1,2]，所以ℎ′(x)=ax −a−1+x=(x−a)(x−1)x，x∈[1,2]．因为a≥2，x∈[1,2]，则ℎ′(x)≤0，所以函数ℎ(x)在[1,2]上单调递减，所以ℎ(x)max=ℎ(1)=−12<0，当a ≥2时，∀x ∈[1,2]，f(x)+xf′(x)+e x +x 22+(a −1)x <0．解析：(1)求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性推出结果即可．(2)利用构造法，通过导函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 22.答案：解：(1)由{x =√3+2cosαy =1+2sinα消去α得曲线M 的普通方程为：(x −√3)2+(y −1)2=4， 曲线M 的轨迹是以(√3,1)为圆心，2为半径的圆．(2)由2ρcos(θ+π6)=m 展开得√3ρcosθ−ρsinθ−m =0，所以直线l 的直角坐标方程为√3x −y −m =0，则圆心到直线l 的距离为|2−m|2， 由(|2−m|2)2=22−12，解得m =2±2√3．解析：(1)由{x =√3+2cosαy =1+2sinα消去α得曲线M 的普通方程为：(x −√3)2+(y −1)2=4，根据方程可得轨迹是圆；(2)由点到直线的距离以及勾股定理可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：由绝对值的几何意义知：|x −4|+|x +5|≥9，则log 3(|x −4|+|x +5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x −4|+|x +5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2．解析：由绝对值的几何意义得出|x −4|+|x +5|的最小值，再由对数函数的性质得出a 的取值范围．。

2020年湖北省黄冈八模高考数学模拟试卷(文科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x∈N|x+1x−5≤0}，A={1,2，4}，则∁U A=()A. {3}B. {0,3，5}C. {3,5}D. {0,3}2.复数z1=3+i，z2=−1−i，则z1−z2等于()A. 2B. 2+2iC. 4+2iD. 4−2i3.向量a⃗=(2,−9)，向量b⃗ =(−3,3)，则与a⃗−b⃗ 同向的单位向量为()A. (513,−1213) B. (−513,1213) C. (1213,−513) D. (−1213,513)4.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A. 16B. 48C. 96D. 1285.若函数f(x)为R上的偶函数，且f(2)=3，则f(−2)=()A. −3B. 3C. 2D. −26.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b=√5，c=2，cosB=23，则a=()A. √2B. √3C. 2D. 37.如图，阴影部分是由三个半圆弧围成的曲边三角形．已知AC=2CB，在最大半圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为()A. 29B. 49C. 12D. 238.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为()A. y=2sin(x2−π6) B. y=2sin(4x+π4)C. y=2sin(x2+π6) D. y=2sin(4x+π6)9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3π+4B. 92π+4 C. 4π+2 D. 112π+410.在等比数列A. 8B. 15C. 312D. 3111.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在C上，且满足|PF1|=3a，若满足条件的点P只在C的左支上，则C的离心率的取值范围是() A. (1,2] B. (2,+∞) C. (2,4] D. (4,+∞)12.已知函数f(x)=x+1e x，若对任意x∈R,f(x)>ax恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1−e)B. (1−e,1]C. [1,e−1)D. (e−1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=√log2x−2的定义域______．14.设x，y满足约束条件{y−1≤0x−y−1≤0x+2y−2≥0，则z=x−2y的最小值是______．15.已知直线y=−√3(x−1)被圆x2+y2+2x+k=0截得的弦长为2，则k=________．16.已知sinα−cosα=√2，则sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且b1+b2=6，b4=a2+2a3，S5=5b3−10．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{2a n+1log2b n}的前n项和．18.已知四棱锥P−ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2,∠BAD=π3，M为BC上一点，且BM=12．证明：(Ⅰ)BC⊥平面POM；(Ⅱ)若OP=1，求点M到平面PAD的距离．19. 下表是某厂的产量x 与成本y 的一组数据：(Ⅰ)根据表中数据，求出回归直线的方程y ̂=b ̂x +a ̂(其中b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x) (Ⅱ)预计产量为8千件时的成本．20. 已知椭圆C 1:x 2a +y2b =1(a >b >0)的一个焦点与抛物线C 2:y 2=2px(p >0)的焦点F 重合，且点F 到直线x −y +1=0的距离为√2，C 1与C 2的一个交点的纵坐标为√6． (Ⅰ)求椭圆C 1的方程；(Ⅱ)过点F 的直线l 与C 1交于A,B 两点，与C 2交于C,D 两点，求1|AB|+1|CD|的取值范围．21. 已知函数f(x)=x 3+x −16．(1)求曲线y =f(x)在点(2,6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y =f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+rcosαy =rsinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π6)=3，且曲线C 1,C 2恰有一个公共点(1) 求曲线C 1的极坐标方程(2) 已知曲线C 1上两点A,B 满足∠AOB =π4，求ΔAOB 面积的最大值23. 设函数f(x)=|x −1|+|x +3|．(1)求不等式|f(x)−6|<1的解集； (2)证明：4−x 2≤f(x)≤2|x|+4．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查分式不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及补集的运算．解出x+1x−5≤0得到−1≤x<5，从而得出U={0,1，2，3，4}，然后进行补集的运算即可．解：解x+1x−5≤0得：−1≤x<5；∴U={0,1，2，3，4}；∴∁U A={0,3}．故选：D．2.答案：C解析：本题考查复数的减法运算，属于基础题．解：因为复数z1=3+i，z2=−1−i，则z1−z2=4+2i．故选C．3.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(2,−9)，向量b⃗ =(−3,3)，∴a⃗−b⃗ =(5,−12)，设与a⃗−b⃗ 平行的单位向量e⃗=(x,y)，则a⃗−b⃗ =λe⃗，|e⃗|=1∴x=5λ，y=−9λ，x2+y2=1，解得λ=13，x=513，y=1213，故选：A先用坐标运算求a⃗−b⃗ 的坐标，用待定系数法，据共线向量的充要条件和模的坐标公式列方程解．本题考查共线向量的充要条件和模的坐标公式．待定系数法是常用方法．4.答案：B解析：本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1，执行循环体：S=4，i=2；不满足条件i>3，执行循环体，S=16，i=3；不满足条件i>3，执行循环体，S=48，i=4；满足条件i>3，退出循环，输出S的值为48．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵f(x)为R上的偶函数，∴f(x)=f(−x)，∴f(2)=f(−2)=3，故选B．6.答案：D，解析：解：∵b=√5，c=2，cosB=23∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得：5=a2+4−2×a×2×2，整理可得：3a2−8a−3=0，3(舍去)．∴解得：a=3或−13故选：D．由已知利用余弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．7.答案：B本题考查几何概型概率的计算，属于基础题．设AC=2CB=4r，则小圆的半径为r，中等圆的半径为2r，大圆的半径为3r.先求出阴影部分的面积，再求出大圆的面积，根据几何概型概率公式计算，即可得到答案．解：设AC=2CB=4r，则小圆的半径为r，中等圆的半径为2r，大圆的半径为3r．则阴影部分的面积为又最大圆的面积为所以该点取自阴影部分的概率．故选B．8.答案：C解析：解：根据函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得T4=14⋅2πω=π，求得ω=12．再根据函数的图象经过点(0,1)，可得2sinφ=1，即sinφ=12，∴φ=π6，故函数的解析式为y=2sin(x2+π6)，故选：C．由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．9.答案：B解析：本题考查圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，属于基础题．由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，累加各个面的面积，可得答案．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，其底面半径为1，高为2，故其表面积：S=2×34×π×12+34×2π×1×2+2×2×1=9π2+4，10.答案：C解析：本题考查了等比数列的前n项和，属于基础题．由等比数列的前n项和公式S n=a1−a n q1−q可得．解：由等比数列的前n项和公式可得S n=a1−a n q1−q =8−12×121−12=312．故选：C．11.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的范围，考查运算能力，属于基础题．由题意可得c−a≤3a<c+a，由离心率公式，即可得到所求范围．解：若P在双曲线的左支上，可得|PF1|≥c−a，若P在双曲线的右支上，根据双曲线的性质可知可得|PF1|≥c+a，因为满足满足条件的点P只在C的左支上，故|PF1|<c+a由题意可得c−a≤3a<c+a，可得2a<c≤4a，由e=ca，可得2<e≤4．故选：C．12.答案：B解析：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数求函数的切线问题，是综合性题目．根据题意，不等式x+1e x >ax恒成立化为1e x>(a−1)x恒成立；设g(x)=1e x，ℎ(x)=(a−1)x，x∈R，在同一坐标系内画出两个函数的图象，满足不等式恒成立的是ℎ(x)的图象在g(x)图象下方，求出过原点的g(x)的切线方程，得出切线斜率k，从而求出a的取值范围．解：函数f(x)=x+1，对任意x∈R，f(x)>ax恒成立，e x>ax恒成立，∴x+1e x>(a−1)x恒成立；即1e x设g(x)=1，ℎ(x)=(a−1)x，x∈R；e x在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示；则满足不等式恒成立的是ℎ(x)的图象在g(x)图象下方，求g(x)的导数g′(x)=−e−x，且过g(x)图象上点(x0,y0)的切线方程为y−y0=−e−x0(x−x0)，且该切线方程过原点(0,0)，则y0=−e−x0·x0，即e−x0=−e−x0·x0，解得x0=−1；∴切线斜率为k=−e−x0=−e，∴应满足0≥a−1>−e，∴1−e<a≤1，∴实数a的取值范围是(1−e,1]．故选B．13.答案：[4,+∞)．解析：解：函数f(x)=√log 2x −2有意义， 只需log 2x −2≥0，且x >0，解得x ≥4．则定义域为[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)．函数f(x)=√log 2x −2有意义，只需log 2x −2≥0，且x >0，解不等式即可得到所求定义域． 本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．14.答案：−2解析：解：由x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z2．联立{y =1x +2y −2=0，解得：C(0,1)． 由图可知，当直线y =12x −z 2过C(0,1)时直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于0−2×1=−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15.答案：−3解析：本题主要考查圆的方程，点到直线的距离公式，属于基础性题目．求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出k 的值．解：圆的方程x 2+y 2+2x +k =0可化为(x +1)2+y 2=1−k ，圆心(−1,0)到直线y =−√3(x −1)的距离d =|√3+0+√3|2=√3，∵直线y=−√3(x−1)被圆x2+y2+2x+k=0截得的弦长为2，∴(√3)2+1=1−k，解得k=−3，故答案为−3．16.答案：0解析：解：已知sinα−cosα=√2，则：(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=2，整理得：2sinαcosα=−1，故：sinα+cosα=±√(sinα−cosα)2+4sinαcosα=0故答案为：0．直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17.答案：解：(1){a n}为公差为d的等差数列，{b n}是首项为2，公比为q的等比数列，b1+b2=6，b4=a2+2a3，S5=5b3−10，可得2+2q=6，2q3=3a1+5d，5a1+10d=10q2−10，解得q=2，a1=d=2，即有a n=2n；b n=2n；(2)2a n+1log2b n =22(n+1)n=1n(n+1)=1n−1n+1，前n项和为1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．解析：(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，进而得到所求通项；(2)求得2a n+1log2b n =22(n+1)n=1n(n+1)=1n−1n+1，由裂项相消求和即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．18.答案：证明：(Ⅰ)证法一：取BC 的中点E ，连接OD 、DE因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，且∠BAD =π3，所以△BCD 为等边三角形，又因为E 为BC 中点，所以ED ⊥BC ，因为在△BDE 中，O ，M 为中点，所以OM//ED ，所以OM ⊥BC ，因为PO ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BC ，又因为PO ∩OM =O ，PO ，OM ⊂平面POM ，所以BC ⊥平面POM ．证法二：如图，连接OB ，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形中心，所以AO ⊥OB因为∠BAD =π3，故OB =AB ⋅sin∠OAB =2sin π6=1．又因为BM =12且∠OBM =π3，在△OBM 中，OM 2=OB 2+BM 2−2OB ⋅BM ⋅cos∠OBM=12+(12)2−2×1×12×cos π3=34，所以OB 2=OM 2+BM 2，故OM ⊥BM ．又PO ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PO⊥BC．又OM⊂平面POM，PO⊂平面POM，OM∩PO=O，所以BC⊥平面POM．(Ⅱ)因为底面是以O为中心的菱形，AB=2，∠BAD=π3，所以，因为PO⊥底面ABCD，PO=1，所以V P−ABD=13×√3×1=√33，因为PO⊥底面ABCD，OD，OA⊂平面ABCD，所以PO⊥OA，PO⊥OD，在Rt△POA中，OA=√3，PO=1，∴PA=2，在Rt△POD中，OD=1，PO=1，∴PD=√2，在△PAD中，PA=AD=2，PD=√2，∴S△PAD=12×√2×√22−(√22)2=√72，因为V M−PAD=V P−ABD，所以V M−PAD=13×√72×d=√33，解得d=2√217，所以M到面PAD的距离为2√217．解析：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)法一：取BC的中点E，连接OD、DE推导出ED⊥BC，OM⊥BC，PO⊥BC，由此能证明BC⊥平面POM．法二：连接OB，推导出AO⊥OB，OM⊥BM，PO⊥BC.由此能证明BC⊥平面POM．(Ⅱ)由V M−PAD=V P−ABD，能求出M到面PAD的距离．19.答案：(Ⅰ)根据表中数据，计算x=14×(2+3+5+6)=4，y=14×(7+8+9+12)=9，b̂=∑x i4i=1y i−nx−·y−∑x i24i=1−nx2=2×7+3×8+5×9+6×12−4×4×922+32+52+62−4×42=1.1，â=y−b̂x=9−1.1×4=4.6，则回归直线的方程为ŷ=1.1x+4.6；(Ⅱ)当x=8时，ŷ=1.1×8+4.6=13.4，预计产量为8千件时的成本为13.4万元．解析：本题考查了求线性回归方程的应用问题，是基础题．(Ⅰ)根据表中数据计算x、y，求出回归系数，写出回归直线的方程；(Ⅱ)利用回归方程计算x=8时代入即可求出ŷ的值．20.答案：解：(Ⅰ)∵C2:y2=2px的焦点F的坐标为(p2,0)，由点F到直线x−y+1=0的距离为√2，可得|p2+1|√2=√2，∵p>0，解得p=2，又F(1,0)为椭圆的一个焦点，∴a2−b2=1①，∵C1与C2的一个交点的纵坐标为√6，而C2的方程为y2=4x，从而C1与C2的此公共点的坐标为(32,√6)∴94a2+6b2=1②联立①②解得a2=9,b2=8，∴C1的方程为x29+y28=1．(Ⅱ)当l过点F且垂直于x轴时，l的方程为x=1代入C1:x29+y28=1，求得y=±83，∴|AB|=163，把x =1代入C 2:y 2=4x ，求得y =±2，∴|CD|=4，此时1|AB|+1|CD|=316+14=716 ， 当l 与x 轴不垂直时，要使l 与C 2有两个交点，可设l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，此时设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4)，把直线l 的方程与椭圆C 1的方程联立{y =k(x −1)x 29+y 28=1 得(8+9k 2)x 2−18k 2x +9k 2−72=0，∴x 1+x 2=18k 28+9k 2，x 1x 2=9k 2−728+9k 2， ∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(18k 28+9k 2)2−4×9k 2−728+9k 2=48(k 2+1)8+9k 2 ，把直线l 的方程与抛物线C 2的方程联立{y 2=4x y =k(x −1)得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，∴x 3+x 4=2k 2+4k 2，∴|CD|=x 3+x 4+2=2k 2+4k 2+2=4(k 2+1)k 2∴1|AB|+1|CD|=8+9k 248(k 2+1)+k 24(k 2+1)=8+9k 2+12k 248(k 2+1)=21k 2+848(k 2+1)=716−1348(k 2+1) ，∵k 2+1>1，∴−1348<−1348(k 2+1)<0 ∴1|AB|+1|CD|∈(16,716)．综上可得，1|AB|+1|CD|的取值范围是(16,716]．解析： 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和点满足椭圆方程，同时考查直线和抛物线方程、椭圆方程联立，运用弦长公式和不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于较难题．(Ⅰ)由点F到直线x−y+1=0的距离为√2，解得p=2，由C1与C2的一个交点的纵坐标为√6求得交点坐标，代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)验证直线l的斜率当直线l的斜率不存在时，设过F(1,0)的直线为y=k(x−1)(k≠0)，代入抛物线的方程，椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|CD|，|AB|，求得1|AB|+1|CD|，化简整理，即可得到所求范围．21.答案：解：(1)由f(x)=x3+x−16，得f′(x)=3x2+1，∴f′(2)=3×22+1=13，∴曲线y=f(x)在点(2,6)处的切线方程为y−6=13(x−2)，即13x−y−20=0；(2)设切点为(x0,x03+x0−16)，f′(x0)=3x02+1，∴切线方程为y−(x03+x0−16)=(3x02+1)(x−x0)，∵切线经过原点，∴−(x03+x0−16)=−x0(3x02+1)，∴2x03=−16，x0=−2．则f′(−2)=13，∴所求的切线方程为y=13x；切点为(−2,−26)．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；(2)设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=3，可得C2的直角坐标方程为：x+√3y−6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为(2,0)，半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|=|2−6|2=2，圆C1的普通方程为x2+y2−4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ；(2)由题意可设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π4)，(ρ1>0,ρ2>0)，S△AOB=12|OA||OB|sinπ4=√24ρ1ρ2=4√2cosθcos(θ+π4)=4(cos2θ−sinθcosθ)=4(1+cos2θ2−sin2θ2)=2+2√2cos(2θ+π4)，所以△AOB面积的最大值为2+2√2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，曲线的参数方程，属中档题．(1)消参可得C1的普通方程，再根据互化公式可得C1的极坐标方程；(2)根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．23.答案：(1)解：∵|f(x)−6|<1，∴−1<f(x)−6<1，即5<f(x)<7，当−3≤x≤1时，f(x)=4显然不合；当x<−3时，5<−2x−2<7，解得−92<x<−72；当x>1时，5<2x+2<7，解得32<x<52．综上，不等式|f(x)−6|<1的解集为(−92,−72)∪(32,52)．(2)证明：当−3≤x≤1时，f(x)=4≤2|x|+4；当x<−3时，f(x)−(2|x|+4)=−2x−2−(−2x+4)=−6<0，则f(x)<2|x|+4；当x>1时，f(x)−(2|x|+4)=2x+2−(2x+4)=−2<0，则f(x)<2|x|+4．∵f(x)=|x−1|+|x+3|≥|x−1−(x+3)|=4，∴f(x)≥4．∵4−x2≤4，∴f(x)≥4−x2．故4−x2≤f(x)≤2|x|+4．解析：本题考查绝对值不等式和不等式的解法，属于中档题．(1)去绝对值可得5<f(x)<7，分类讨论可得不等式的解集；(2)分类讨论去绝对值可证不等式．。

2020年湖北省黄冈八模高考数学模拟试卷(文科)(三)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.满足{−1,0，1}⊊M⊆{−1，0，1，2，3，4}的集合M的个数是()A. 4个B. 6个C. 7个D. 8个2.已知复数z=1+3i，则下列说法正确的是()1−iA. z的共轭复数为−1−2iB. z的虚部为2iC. |z|=5D. z在复平面内对应的点在第三象限3.关于x的不等式−x2+2x−m<0在R上恒成立的一个充要条件是()A. m>−1B. 1<m<2C. m>2D. m>14.函数y=sinx+1的大致图象是()xA. B.C. D.5.在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是()A. 12B. 24C. 36D. 486.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.若点(1,−3)在圆(x−2)2+(y+1)2=m的内部，则实数m的取值范围是()A. 0<m<10B. 0<m<5C. m>5D. m<58.如果给出的是计算2+4+6+⋯+2014的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()A. i≤1007B. i>1007C. i≤1008D. i>10089.如图1为某省2018年1～4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是()A. 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1～4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看，2018年1～4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长10.设双曲线x2a2−y216=1(a>0)的一条渐进线方程为2x−y=0，则a的值为()A. 4B. 3C. 2D. 111.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图(2)，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为√5−12时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()A. √5+14B. √5−12C. 3−√5D. √5−212.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BDD1B1上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为()A. 4+2√2B. 6C. 4+2√5D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a⃗=(1,−1)，b⃗ =(2,x)且a⃗在(a⃗−b⃗ )上的投影为−1，则x=______ ．14.江苏高考新方案计入高考总分的考试科目为“3+1+2”，不分文理，共6门．其中“2”为从思想政治、地理、化学、生物4门选择性考试科目中选择2门．现有某学生从4门选择性考试科目中任意选择2门，则其中一门为化学的概率是．15.在△ABC中，已知a=√5，b=√15，A=30°，则角B=______ ．16.若函数的最小值为1，则实数a的值为________．e三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r．(Ⅰ)求实数r的值和{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=1，b n+1−b n=log2a n+1，求b n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=BC=CD=DA=2，PA=1，∠BAD=120°，E为BC的中点．(1)求证：AE⊥平面PAD；(2)若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离．19.某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：有效无效合计使用方案A组96120使用方案B组72合计32(Ⅰ)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？，其中n=a+b+c+d附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0)k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为45，左、右焦点分别为F1，F2，焦距为8．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若点M(x0,2)是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点N是椭圆的下顶点，求四边形F1MF2N的面积．21.已知函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)．(1)若a=−3，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，求f(x)在区间[−2,2]上的最大值、最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：由{−1,0，1}⊊M⊆{−1，0，1，2，3，4}，知集合M中必有元素−1，0，1，并且还有元素2，3，4中的1个或2个或3个，由此能求出满足条件的集合M的个数．本题考查集合的包含关系的判断及其应用，解题时要认真审题，仔细解答．解：∵{−1,0，1}⊊M⊆{−1，0，1，2，3，4}，∴M={−1,0，1，2}或M={−1,0，1，3}或M={−1,0，1，4}或M={−1,0，1，2，3}或M={−1,0，1，2，4}或M={−1,0，1，3，4}或M={−1,0，1，2，3，4}，故有7个，故选：C．2.答案：A解析：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了复数的概念、复数的模与几何意义，属于基础题．利用复数的运算法则化简得z，再逐一判断即可得出．解：复数z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，∴z=−1−2i，z的虚部为2，|z|=√5，z在复平面内对应的点在第二象限．故选：A．3.答案：D解析：本题考查不等式恒成立问题以及充要条件，属基础题．根据不等式恒成立可得Δ<0，进而求出答案．解：不等式−x2+2x−m<0在R上恒成立，可以得到Δ=4−4m<0，∴m>1，即关于x的不等式−x2+2x−m<0在R上恒成立的一个充要条件是1"" title="latexImg" />，故选D．4.答案：A解析：解：函数y=sinx+1x是定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项D；当x∈(0,π)时，sinx>0，∴sinx+1x>0，f(x)的图象在x轴上方，排除选项B；当x=3π2时，sin3π2+23π=−1+23π<0，f(x)的图象在x轴下方，排除选项C；∴函数y=sinx+1x的大致图象为选项A．故选：A．根据函数的奇偶性，单调性和最值，利用排除法，对选项中的函数y=sinx+1x的图象分析、判断即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．5.答案：B解析：解：S10=12×10(a1+a10)=120，所以a1+a10=24故选：B．根据等差数列的求和公式，即可求出a1+a10的值．本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查利用对数函数与指数函数的性质比较大小，属于基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．解：因为a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，0<c=0.20.3<0.20=1，所以a<c<b．故选B．7.答案：C解析：此题考查点与圆的位置关系的应用，是一道基础题．根据点P在圆的内部，得到点P到圆心的距离小于半径，利用两点间的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．解：∵(1,−3)在圆(x−2)2+(y+1)2=m的内部，∴√(1−2)2+(−3+1)2<√m，解得m>5．故选C．8.答案：A解析：解：∵算法的功能是计算2+4+6+⋯+2014的值，∴跳出循环的i值为1008，∴判断框内的条件应是i≤1007或i<1008．故选：A．根据算法的功能是计算2+4+6+⋯+2014的值，确定跳出循环的i值为1008，由此可得判断框内的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值是关键．9.答案：D解析：本题主要考查合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键，属于基础题．根据统计图，结合对应数据分别进行判断即可．解：选项A，B显然正确；对于选项C，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误，故选D．10.答案：C解析：解：双曲线x2a2−y216=1(a>0)的一条渐进线方程为2x−y=0，可得4a=2，解得a=2．故选：C．利用双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．11.答案：B解析：本题考查扇形的面积公式的运用，属于基础题．由题意，设∠AOB=θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，得到S1S2=12θr2−12θr1212θr2=√5−12，计算即可得到r1r的比值．解：由题意，设∠AOB=θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意有：S1S2=12θr2−12θr1212θr2=√5−12，即r2−r12r2=√5−12，所以r12r2=3−√52=6−2√54=(√5−12)2，即r1r =√5−12，故选B．12.答案：B 解析：本题主要考查棱柱的结构特征，以及数学中转化与化归的思想．设棱CC1的中点为F，由正方体的对称性，则可知ME=MF，因为两点之间线段最短，连接AF求解即可．解：取CC1的中点F，由正方体的对称性可知，ME=MF，∴AM+ME=AM+MF⩾AF=√42+42+22=6，故选B．13.答案：−1解析：解：∵a⃗=(1,−1)，b⃗ =(2,x)，∴a⃗−b⃗ =(−1,−1−x)，|a⃗−b⃗ |=√x2+2x+2，a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=−1+x+1=x，=1，∴a⃗在(a⃗−b⃗ )上的投影为√x2+2x+2即x2=x2+2x+2，x=−1，故答案为：−1．，求解即可．根据坐标得出a⃗−b⃗ =(−1,−1−x)，利用公式：a⃗在(a⃗−b⃗ )上的投影=a⃗ ⋅(a⃗ −b⃗)|a⃗ −b⃗|本题简单的考查了平面向量的坐标运算，投影的概念，运算，转化为方程求解，属于基础题．14.答案：12解析：本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．由题意，得出所有基本事件总数及学生选择2门，其中一门为化学的所有可能，然后利用古典概型求解即可．解：由已知所有的选科组合有C42=6种，学生选择2门，其中一门为化学，则只需要在生物，地理，政治中选1门即可，所以共有C31=3种方法，所以某学生选择2门，其中一门为化学的概率是P=36=12．故答案为12．15.答案：60°或120°解析：解：∵a=√5，b=√15，A=30°由正弦定理可得，asinA =bsinB∴sinB=√15×1 2√5=√32∵a<b∴A<B∴B=60°或120°故答案为：60°或120°由正弦定理可得，asinA =bsinB可求sin B，然后结合a<b可得A<B，可求本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题16.答案：1−1e或e解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的最值，分类讨论思想，属于中档题．对a的取值分情况讨论，进而得出实数a的值．解：当a≤1时，，，故函数f(x)在[1,e]上单调递增，则函数最小值为f(1)=1−a=1e，则a=1−1e，满足条件；当a≥e时，f(x)=a−x+lnxx,x∈[1,e]，f′(x)=1−lnx−x2x2≤0,x∈[1,e]，故函数在[1,e]上单调递减，则函数最小值为f(e)=a −e +1e =1e ， 则a =e ，满足条件；当1<a <e 时，f(x)={a −x +lnxx ,x ∈[1,a)x −a +lnxx ,x ∈[a,e], 则函数f(x)在[1,a)上单调递减，在[a,e]上单调递增， 则函数最小值为f(a)=a −a +lna a=1e =lne e，令g (x )=lnx x，则g′(x )=1−lnx x 2，则函数g (x )=lnx x在(1,e)上单调递增，故1<a <e 时，g (a )=lna a<g (e )=lne e，不存在a 满足条件；综上可知，a 的值为1−1e 或e ． 故答案为1−1e 或e ．17.答案：解：(Ⅰ)∵S n =2n +r ，∴a 1=S 1=2+r ，a 2=S 2−S 1=2，a 3=S 3−S 2=4． ∵数列{a n }是等比数列，∴a 22=a 1a 3，即22=4(2+r)，∴r =−1．∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2n−1(n ∈N ∗). (Ⅱ)∵a n+1=2n ，∴b n+1−b n =log 2a n+1=n ．当n ≥2时，b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1 =(n −1)+(n −2)+⋯+(2−1)+1 =(n−1)(n−1+1)2+1=12n 2−12n +1． 又n =1符合上式，∴b n =12n 2−12n +1．解析：(I)利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；(II)b n+1−b n =log 2a n+1=n.利用“累加求和”可得b n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 本题主要考查了递推式、等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“累加求和”等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题． 18.答案：证明：(1)∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB =BC =CD =DA =2，PA =1，∠BAD =120°，E 为BC 的中点．∴AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，∵PA ∩AD =A ，∴AE ⊥平面PAD ．解：(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， F 为CD 的中点，D(0,2，0)，P(0,0，1)，E(√3,0，0)，C(√3,1，0)，F(√32,32,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−1)， 设平面PEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0n⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√33,√3)， ∴点D 到平面PEF 的距离： d =|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33√133=√1313．解析：(1)推导出AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，由此能证明AE ⊥平面PAD ．(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面PEF 的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)根据题意，填写列联表如下；有效无效合计使用方案A组9624120使用方案B组72880合计16832200使用方案A有效的频率是96120=0.8，使用方案B有效的频率是7280=0.9，使用使用方案B治疗有效的频率更高些；(Ⅱ)计算观测值K2=200×(96×8−72×24)2120×80×168×32≈3.571<3.841；所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．解析：(Ⅰ)根据题意，填写列联表，计算使用方案A、B有效的频率值，比较即可；(Ⅱ)计算观测值K2，对照数表即可得出结论．本题考查了列联表与对立性检验的应用问题，是基础题目．20.答案：解：(1)由题意{ca=452c=8，解得{a=5c=4，∴b2=a2−c2=25−16=9，则该椭圆的标准方程为x225+y29=1；(2)∵点M的坐标为(x0,2)，∴S△MF1F2=12×8×2=8，又∵点N的坐标轴为(0,−3)，∴S△NF1F2=12×8×3=12，∴S F1MF2N =S△F1MF2+S△NF1F2=20．解析：(1)由已知可得关于a，c的方程组，求解a，c的值，进一步得到b，则椭圆方程可求；(2)由已知直接利用S F1MF2N =S△F1MF2+S△F1NF2求解．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．21.答案：解：(1)若a=−3，则f(x)=2x3+3x2+1，则f′(x)=6x2+6x=6x(x+1)，令f′(x)>0，得x<−1或x>0；令f′(x)<0，得−1<x<0，所以f(x)在(−∞,−1),(0,+∞)递增，在(−1,0)递减，故；(2)f′(x)=6x2−2ax=6x(x−a3)，1°当a=0时，f(x)=2x3+1在(0,+∞)上无零点，与题意不符，舍去；2°当a>0时，令f′(x)>0，得，x>a3或x<0；所以f(x)在(−∞,0)和(a3,+∞)上单调递增．令f(x)<0，解得0<x<a3，所以f(x)在(0,a3)上单调递减，故若f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点，此时，即1−a327=0．∴a=3，∴f(x)=2x3−3x2+1当x∈[−2,2]时，，．又f(−2)=−27<0，f(2)=5>f(0)=1，∴f(x)max=f(2)=5，f(x)min=f(−2)=−27;3°当a<0时，令f′(x)>0得x>0或x<a3，∴f(x)在(−∞,a3)和(0,+∞)上单调递增；令f(x)<0得a3<x<0，f(x)在(a3,0)上单调递减，，∴f(x)在(0,+∞)上无零点，与题意不符，综上f(x)max=f(2)=5，f(x)min=f(−2)=−27．解析：本题考查导数的综合应用，涉及到利用导数研究函数的单调性、极值和最值，以及零点问题的考查，考查推理能力和计算能力，属于难题．(1)求导分析函数的单调性即可得到f(x)的极值；(2)对a进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值和最值即可求解．22.答案：解：(1)消去参数可得曲线C1的普通方程为：x23+y2=1，C2的极坐标方程即：√22ρ(cosθ+sinθ)=2√2，转化为直角坐标方程即：x+y−4=0．(2)由题意设点P的坐标为P(√3cosα,sinα)，曲线C2是直线，则|PQ|的最小值即点P到C2的距离的最小值，距离函数为：d(α)=√3cosα+sinα−4|2=√2|sin(α+π3)−2|，当且仅当α=2kπ+π6(k∈Z)时，距离有最小值，最小值为√2，此时点P的坐标为P(32,12 )．解析：本题考查直角坐标方程与极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．(1)由题意消去参数即可求得C1的普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系可得曲线C2的直角坐标方程；(2)结合(1)的结论得到距离函数，然后结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果．23.答案：解：(1)函数f(x)=|x+1|+|x−1|，由f(x)≥4，可得x≥1，2x≥4，解得x≥2；x≤−1，−x−1+1−x≥4，解得x≤−2；−1<x<1时，x+1+1−x≥4即2≥4不成立，综上可得原不等式的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞)；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，即为6≤f(x)的最小值，由|x+a|+|x−a|≥|x+a−x+a|=2|a|，则f(x)的最小值为2|a|，可得2|a|≥6，解得a≥3或a≤−3则a的范围是(−∞,−3]∪[3,+∞)．解析：(1)由绝对值的意义，去绝对值，讨论x≥1，x≤−1，−1<x<1，解不等式可得解集；(2)由题意可得6≤f(x)的最小值，运用绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

黄冈八模2020届高三文科数学模拟测试卷(四)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。

考试用时120分钟。

第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{y|y ＝1－x 2，x ∈[－1，1]}，B ＝{x|y ＝2x +}，则A∩B ＝A.[0，1]B.[－1.1]C.(0，1)D.∅2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5(1－i)，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 A.1 B.－15 C.15D.－1 3.已知a ＝log 20.2，6＝20.2，c ＝0.20.3，则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a. 4.求下列函数的零点，可以采用二分法的是 A.f(x)＝x 4 B.f(x)＝tanx ＋2(－2π<x<2π) C.f(x)＝cosx －1 D.f(x)＝|2x －3| 5.已知角α顶点的原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P(－3，1)在终边上，则cos(α－6π)＝ A.12 B.－12C.32D.－326.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58。

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为A.32B.40C.103 D.1037.已知抛物线y 2＝43x 的准线与双曲线22221x ya b-=的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若双曲线的离心率233，那么|AB|＝ A.2 B.43C.2D.2338.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析)，得到回归直线$y ＝13.743x ＋3095.7，其相关指数R 2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个 A.0 B.1 C.2 D.39.若点P(1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为 A.2x ＋y －3＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.x ＋2y －3＝0 D.2x －y －1＝010.已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx ＋4π)在(2π，π)上单调递增，则ω的取值范围是 A.[12，54] B.[12，74] C.[34，94] D.[32，74]11.在平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，且OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r(α＋β＝1)，N(1，0)，则MN u u u u r的最小值为A.2 2B.322C.92D.3212.设在R上可导的函数f(x)满足f(0)＝0，f(x)－f(－x)＝13x3，并且在(－∞，0)上有f'(x)<12x2，实数a满足f(6－a)－f(a)≥－13a3＋3a2－18a＋36，则实数a的取值范围是A.(－∞，3]B.[3，＋∞)C.[4，＋∞)D.(－∞，4]第II卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省黄冈、黄石等八市2020届高三3月联考数学文科试题一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合集合则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：集合的交集运算2. 设复数，则下列命题中错误的是（）A. B.C. 的虚部为D. 在复平面上对应的点在第一象限【答案】C【解析】，，在复平面上对应的点在第一象限故选3. 若，则是“a,b,c,d依次成等差数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若依次成等差数列，则，即必要性成立若，满足，但依次成等差数列错误，即充分性不成立故选4. 对任意非零实数，若♧的运算原理如图所示，则♧=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】则输出故选5. 天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。

依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。

得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。

则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，每天下雨概率由十组数据可得三天中有两天下雨的概率故选6. 在中，角所对的边分别是，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】则，在中,，，解得故选7. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，椭圆的方程为，的离心率为双曲线的方程为，的离心率为与的离心率之积为，则的渐近线方程为，即故选8. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（）A. B.C. D.【答案】A【解析】几何体左侧为“堑堵”，底面两直角边长分别为的直角三角形，高为1；右侧为“阳马”，垂直底面的侧棱长为底面是边长为1正方形；因此体积为，选A.9. 已知正方体体积为8，面在一个半球的底面上，四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正方体体积为，则棱长为由题意可得底面的中心到上底面顶点距离为球的半径半球体积为故选10. 已知满足若有最大值4，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，即时，解得故选11. 已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在上单调递增，则当时，，则且当时，综上，实数的取值范围是故选点睛：本题主要考查的知识点是函数单调性的性质以及分段函数的应用。