2015-2016年天津市和平区高一上学期数学期中试卷和解析

2015-2016学年天津市和平区高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M ∩（∁U N）=（）A．{5}B．{0，3}C．{0，2，3，5}D．{0，1，3，4，5}2．（5分）已知集合M={a，b，c}，N={d，e}，则从集合M到N可以建立不同的映射个数为（）A．5 B．6 C．7 D．83．（5分）计算logg89•log932的结果为（）A．4 B．C．D．4．（5分）设函数f（x）=4x3+x﹣8，用二分法求方程4x3+x﹣8=0在x∈（1，3）内近似解的过程中，通过计算得：f（2）＞0，f（1.5）＞0，则方程的解落在区间（）A．（1，1.5）B．（1.5，2）C．（2，2.5）D．（2.5，3）5．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．0.75﹣0.1＜0.750.1C．log0.50.4＞log0.50.6 D．lg1.6＞lg1.46．（5分）若函数y=a x﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（）A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．0＜a＜1且b＜0 7．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[2，4]，则y=f（）的定义域是（）A．[，1]B．[4，16] C．[，]D．[2，4]8．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（2015）=（）A．0 B．2 C．D．13二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．10．（5分）已知函数f（x）满足3f（x﹣1）+2f（1﹣x）=2x，则f（x）的解析式为．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣）=．12．（5分）已知2m=5n=10，则=．13．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．14．（5分）设0≤x≤2，则函数f（x）=﹣3•2x+5的最小值为，最大值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）+a2﹣1=0}（1）若A∪B=A∩B，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．16．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3a（1）当a=1时，在所给坐标系中，画出函数f（x）的图象，并求f（x）的单调递增区间（2）若直线y=1与函数f（x）的图象有4个交点，求a的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a=4，求函数f（x）的零点．18．（13分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=m﹣（1）若f（x）是R上的奇函数，求m的值（2）用定义证明f（x）在R上单调递增（3）若f（x）值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围；（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．2015-2016学年天津市和平区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M ∩（∁U N）=（）A．{5}B．{0，3}C．{0，2，3，5}D．{0，1，3，4，5}【解答】解：∵集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，∴∁U N={0，2，3}，则M∩（∁U N）={0，3}．故选：B．2．（5分）已知集合M={a，b，c}，N={d，e}，则从集合M到N可以建立不同的映射个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵card（A）=3，card（B）=2，则从A到B的映射的个数为23=8个故选：D．3．（5分）计算logg89•log932的结果为（）A．4 B．C．D．【解答】解：log89•log932=•==，故选：B．4．（5分）设函数f（x）=4x3+x﹣8，用二分法求方程4x3+x﹣8=0在x∈（1，3）内近似解的过程中，通过计算得：f（2）＞0，f（1.5）＞0，则方程的解落在区间（）A．（1，1.5）B．（1.5，2）C．（2，2.5）D．（2.5，3）【解答】解：由题意可得f（1）=4+1﹣8=﹣3＜0，又由题意可得f（1.5）＞0，∴方程的解落在区间（1，1.5）上，故选：A．5．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．0.75﹣0.1＜0.750.1C．log0.50.4＞log0.50.6 D．lg1.6＞lg1.4【解答】解：根据指数函数y=a x，当a＞1时为增函数，当0＜a＜1为减函数，故A对，B错，根据对数函数y=log a x，当a＞1时为增函数，当0＜a＜1为减函数，故C，D对故选：B．6．（5分）若函数y=a x﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（）A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．0＜a＜1且b＜0【解答】解：∵函数y=a x﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，∴根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0，即a＞1，b＞0，故选：B．7．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[2，4]，则y=f（）的定义域是（）A．[，1]B．[4，16] C．[，]D．[2，4]【解答】解：∵y=f（），令=t，∴y=f（）=f（t），∵函数y=f（x）的定义域是[2，4]，∴y=f（t）的定义域也为[2，4]，即2≤t≤4，∴有2≤≤4，解得：，∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，∴y=f（）的定义域为，即：．故选：C．8．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（2015）=（）A．0 B．2 C．D．13【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13∴f（x+2）•f（x+4）=13，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是一个周期为4的周期函数，∴f（2015）=f（4×503+3）=f（3）=f（1+2）=，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有8=，∴a=﹣3，即f（x）=x﹣3，∴f（﹣2）=（﹣2）﹣3=﹣故答案为：﹣10．（5分）已知函数f（x）满足3f（x﹣1）+2f（1﹣x）=2x，则f（x）的解析式为f（x）=2x+．【解答】解：根据题意3f（x﹣1）+2f（1﹣x）=2x，用x+2代替x可得3f（x+1）+2f（﹣1﹣x）=2x+4，…①用﹣x代替x可得3f（﹣x﹣1）+2f（1+x）=﹣2x…②①②消去f（﹣1﹣x）可得：5f（1+x）=10x+12，∴f（x+1）=2x+=2（x+1）+，f（x）=2x+，故答案为：f（x）=2x+．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣）=．【解答】解：由题意可得，f（）=2×=，f（﹣）=f（）=f（）=则=4故答案为：412．（5分）已知2m=5n=10，则=1．【解答】解：2m=5n=10，可得=lg2，=lg5，=lg2+lg5=1．故答案为：1．13．（5分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数又∵当a，b∈（﹣∞，0）时总有，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增函数根据偶函数的性质可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数∵f（m+1）＞f（2m），∴f（|m+1|）＞f（|2m|），即|m+1|＜|2m|，则（m+1）2＜4m2，（3m+1）（1﹣m）＜0，m＞1或m＜﹣，解得：m∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）14．（5分）设0≤x≤2，则函数f（x）=﹣3•2x+5的最小值为，最大值为．【解答】解：令2x=t（1≤t≤4），则原式转化为：f（x）=t2﹣3t+5=（t﹣3）2+，1≤t≤4，所以当t=3时，函数有最小值，当t=1时，函数有最大值．故答案为：，．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）+a2﹣1=0}（1）若A∪B=A∩B，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={﹣4，0}，∵A∪B=A∩B，∴A=B，∴﹣2（a+1）=﹣4，a2﹣1=0，解得a=1；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A∴B=∅，{﹣4}，{0}，或{﹣4，0}；若B=∅，则：△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，解得a＜﹣1；若B={﹣4），则根据韦达定理得：﹣2（a+1）=﹣8，a2﹣1=16，方程组无解，∴这种情况不存在；若B={0}，则由韦达定理得：﹣2（a+1）=0，a2﹣1=0，解得a=﹣1；若B={﹣4，0}，则（1）得：解得a=1；综上得a的取值为{a|a≤﹣1，或a=1}．16．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3a（1）当a=1时，在所给坐标系中，画出函数f（x）的图象，并求f（x）的单调递增区间（2）若直线y=1与函数f（x）的图象有4个交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时：f（x）=x2﹣2|x|﹣3，∴f（x）=画出函数的图象，如图示：，∴f（x）的递增区间是[﹣1，0]和[1，+∞）；（2）由得：﹣3a﹣1＜1＜﹣3a，解得：﹣＜a＜﹣．17．（13分）已知函数f（x）=log2（4x+1）﹣ax．（1）若函数f（x）是R上的偶函数，求实数a的值；（2）若a=4，求函数f（x）的零点．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的偶函数∴f（﹣x）=f（x）即f（﹣x）﹣f（x）=0∴[log2（4﹣x+1）﹣a（﹣x）]﹣[log2（4x+1）﹣ax]=0﹣2x+2ax=0即a=1（2）若a=4，f（x）=log2（4x+1）﹣4x令f（x）=0，log2（4x+1）=4x4x+1=24x（4x）2﹣4x﹣1=0或（舍）∴18．（13分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），则解得﹣1＜x＜1．故所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）f（x）为奇函数由（1）知f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣[log a（x+1）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），故f（x）为奇函数．（3）因为当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，所以．解得0＜x＜1．所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．19．（14分）已知函数f（x）=m﹣（1）若f（x）是R上的奇函数，求m的值（2）用定义证明f（x）在R上单调递增（3）若f（x）值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．【解答】（1）解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=m﹣+m﹣=0，即2m﹣（+）=0⇒2m﹣1=0，解得m=；（2）设x1＜x2且x1，x2∈R，则f（x1）﹣f（x2）=m﹣﹣（m﹣）=，∵x1＜x2∴，，∴f（x 1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增；（3）由，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域为D，且D⊆[﹣3，1]，∴D=（m﹣1，m），∵D⊆[﹣3，1]，∴，∴m的取值范围是[﹣2，1]．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围；（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]∴函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]∴a=f（1）∴a=2（2）∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数∴a≥2∴函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减，[a，a+1]上单调递增∵f（1）≥f（a+1）∴[f（x）]max=f（1），[f（x）]min=f（a）∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤[f（x）]max﹣[f（x）]min ∴要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4则必有[f（x）]max ﹣[f（x）]min≤4即可∴f（1）﹣f（a）≤4∴a2﹣2a+1≤4∴﹣1≤a≤3∵a≥2∴2≤a≤3（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零点∴f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解∴2a=在x∈[1，3]上有实数解令g（x）=x则g（x）在[1，]单调递减，在（，3]单调递增且g（1）=6，g（3）=∴2≤g（x）≤6∴2≤2a≤6∴≤a≤3赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。