§8.3 空间点、线、面的位置关系

3空间点、直线、平面之间的位置关系(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1.已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A.与a，b都相交B.只能与a，b中的一条相交C.至少与a，b中的一条相交D.与a，b都平行4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是()A.EF与CC1垂直B.EF与BD垂直C.EF与A1C1异面D.EF与AD1异面二、填空题(每小题6分，共24分)6.下列命题中不．正确的是.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.7.如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是.8.在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号)9.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号).三、解答题(共41分)10.(13分)定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP、BP与α分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点.11.(14分)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线.12.(14分)已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角.答案1.B2.A3.C4.B5.C6.①②7.②③④8.②④9.①②④10.证明 设定线段AB 所在直线为l ，与平面α交于O 点， 即l ∩α＝O .由题意可知，AP ∩α＝C ，BP ∩α＝D ，∴C ∈α，D ∈α.又∵AP ∩BP ＝P ，∴AP 、BP 可确定一平面β且C ∈β，D ∈β. ∴CD ＝α∩β.∵A ∈β，B ∈β，∴l ⊂β，∴O ∈β.∴O ∈α∩β，即O ∈CD . ∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.11.证明 连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ，∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形，又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1.即D 1、H 、O 三点共线.12.解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ， PN ∥CD ，且PN ＝12CD ， 所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或所成角的补角).则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角). 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形.所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。

【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平 面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
2．异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平 行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否 定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用 到． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经 过点B的直线是异面直线．
思考题2 (1)【多选题】如图所示，是正方体的平面 展开图，
间直角坐标系，则A(a，0，0)，C1(0，a， 3 a)，C(0，a，0)，
D1(0，0， 3a)， A→C1＝(－a，a， 3a)，C→D1＝(0，－a， 3a)， 设异面直线AC1与CD1所成角为θ， 则cosθ＝|AA→→CC11|··C|C→→DD11|＝ 52a·a2 2a＝ 55.
∴异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为
思考题1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1. ∴E，C，D1，F四点共面．
在这个正方体中，有以下四个命题，正确的结论是( CD ) A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直

空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识概述本节内容主要是空间点、直线、平面之间的位置关系，在认识过程中，可以进一步提高同学们的空间想象能力，发展推理能力．通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言，以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使同学们在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系，点、线、面的位置关系是立体几何的主要研究对象，同时也是空间图形最基本的几何元素．二、重难点知识归纳1、平面(1)平面概念的理解直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．(2)平面的表示法①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．②字母表示：常用等希腊字母表示平面．(3)涉及本部分内容的符号表示有：①点A在直线l内，记作；②点A不在直线l内，记作；③点A在平面内，记作；④点A不在平面内，记作；⑤直线l在平面内，记作；⑥直线l不在平面内，记作；注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．(4)平面的基本性质公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．符号表示为：．注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得．注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号表示为：．注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作．公理的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间直线(1)空间两条直线的位置关系①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．(2)平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a、b、c是三条直线，．定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(3)两条异面直线所成的角注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．3．空间直线与平面直线与平面位置关系有且只有三种：(1)直线在平面内：有无数个公共点；(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行：没有公共点．4．平面与平面两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行：没有公共点；(2)两个平面相交：有一条公共直线．三、典型例题剖析例1．在正方体的八个顶点中，共可确定()个平面．A．6B．12C．18D．20解析：正方体有六个面，这八个顶点确定6个平面；每两条平行的边（不在正方体的面上）所在的直线确定一个面，共6个面（上下，前后，左右各两个）；对应每一个顶点有三个点确定的平面共有8个平面．所以由正方体的八个顶点共可确定6＋6＋8＝20个平面．故选D．例2．设a、b、c是空间中三条直线，下面给出四个命题，下列命题中，真命题的个数是()①如果，则a//c；②若a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a、b共面，b、c共面，则a、c共面；④若a、b异面，b、c异面，则a、c异面．A．0B．1C．2D．3解析：对于①，在这两个条件下，直线a和c还可以异面，故为假命题．对于②，a、c不一定相交，也可以平行，也可以异面，故也为假命题．对于③，a、c还可以异面，假命题．对于④，a、c可以平行，也可以相交，则不一定异面，还是假命题．故真命题个数为0，选A.例3．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．已知：a//b//c，．求证：直线a，b，c，l共面．分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明四线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条直线确定一个平面，另两条直线确定平面，再证平面重合．证明：，a、b确定一个平面，设为．又．又即．同理b、c确定一个平面，．平面与都过两相交直线b与l．两相交直线确定一个平面，与重合．故l与a、b、c共面．例4．如图，的三边AB，BC，AC平面相交，交点分别为P，Q，R，求证：P，Q，R三点在一条直线上．分析：欲证明P，Q，R三点在一条直线上，只需证明P，Q，R三点是两个平面的公共点，由公理2知，P，Q，R三点一定在两个平面的交线上．证明：如图，A，B，C三点确定的为平面ABC，直线AB在平面ABC内，直线与平面的交点为P，所以点P在平面ABC内，也在平面内，也就是P是平面ABC与平面的公共点，故平面与平面ABC相交，设其交线为l，则．同理，所以P，Q，R在一条直线上．它们都在平面与平面ABC的交线l上．点拨：在立体几何中，证明三个点（或更多的点）共线通常所使用的方法都是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点．例5．已知：a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N，且MN=5．求异面直线a、b所成的角．分析：本题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造和异面直线a、b平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图所示，连接BC，并取BC的中点O，连接OM、ON．OM、ON分别是和的中位线，OM//AB，ON//CD，即OM//a，ON//b．OM、ON所成的锐角或直角是异面直线a、b所成的角．又AB=6，CD=8，OM=3，ON=4．在中，又MN＝5,,.故异面直线a、b所成的角是．。

[类题通法]
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异 面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的 推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直 线的判定中经常用到．
2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点 的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
[试一试]
1．下列说法正确的是 A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
(
)
解析：由异面直线的定义可知选 D.
∵BA1∥CD1， ∴∠A1BE为所求． 在△A1BE中， 设AB＝1，则AA1＝2， ∴A1B＝ 5，A1E＝1，BE＝ 2. 3 10 ∴cos∠A1BE＝ . 10
3 10 答案： 10
1．(2013· 安徽高考)在下列命题中，不是 公理的是 ．． A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
(
)
答案：0
5．(2013· 银川模拟)如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
(1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 求 A1C1 与 EF 所成角的大小．
解析：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方 体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC 所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由 AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60° ， 即A1C1与B1C所成角为60° .
线的方法有哪些？
如何转化证明两 直线相交？