景德镇市2025届高三第一次质检试题数学（答案在最后）命题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|20A x x =∈-≤≤Z ，{}2|230B x x x =--≤，则A B ⋂=（）A.[2,1]--B.[1,3]-C.{2,3}-D.{1,0}-2.已知1i2iz +=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在第（）象限A.一B.二C.三D.四3.已知(2,0)a =，(1,1)b = ，则|2|a b - 的值为（）A.1B.2C.3D.44.已知2sin cos 3αα+=-，则sin 2α=（）A.518-B.518C.59-D.595.过点(0,1)A 且与曲线3()21f x x x =+-相切的直线方程是（）A.51y x =+ B.21y x =+ C.1y x =+ D.21y x =-+6.函数2()sin 3f x x x π=-的零点个数是（）A.5B.6C.7D.87.函数()f x 的定义域为R ，(21)f x +是奇函数，当1x >时()12()log 21x f x -=-，则()0f x ≥的解集是（）A.[0,1)[2,)⋃+∞B.[0,1][2,)⋃+∞ C.(,0)[2,)-∞⋃+∞ D.(,0][2,)-∞⋃+∞8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为4CH ，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点ABCD 处，碳原子位于正四面体的中心O 处.若正四面体ABCD 的棱长为1，则平面OAB 和平面OCD 位于正四面体内部的交线长度为（）A.22B.33C.63D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数()cos 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数，且最小正周期为4B.若(1,1)a = ，2a b ⋅=，则b 往a 2C.P 是抛物线22y x =上一点，(1,0)A ，则PA 的最小值为1D.已知两直线1:210l mx y +-=与2:(1)10l x m y +-+=，则“2m =”是“1l ，2l 互相平行”的充分不必要条件10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中m 名男生的数学平均成绩为77分，n 名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩~(,16)X N μ，μ近似为样本均值，则下列正确的是（）参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9974P X μσμσ-<<+≈A.200m =B.总体是35万人C.样本均值为73.5D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人11.已知A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，离心率为e ，()00,P x y 为双曲线上位于第一象限内任意一点，设PAB α∠=，PBA β∠=，PAB △的面积为S ，则下列说法正确的是（）A.||||PA PB 的值随着0x 的增大而减小 B.tan tan αβ是定值C.2tan tan b aαβ-≤ D.若2tan()0S a αβ⋅++≥，则12e <≤第II 卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比不为1的等比数列{}n a ，11a =且13a ，22a ，3a 成等差，则2025a =________.13.已知2221:210C x y ax a +--+= 与2222:(1)(1)(0)C x y r r -++=> ，若存在实数a 的值使得两圆仅有一条公切线，则r 的最小值为________.14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()sin 22)f x x x x =+-∈R .（1）求函数()f x 的单调递减区间和对称中心；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()0f A =，32AB BC ⋅=- 且c =，求a .16.（15分）如图四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，平面PCD ⊥平面PAD ，PA AD =，PA BC ⊥.（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）求二面角B PC D --的余弦值.17.（15分）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭是Γ上一点，离心率2e =.（1）求Γ的方程；（2）斜率为12的直线l 交Γ于A ，B 两点，P 在以AB 为直径的圆上，求OP 的最大值.18.（17分）已知函数()ln 2bf x a x x x=++，其中0a ≠.（1）已知2b =-，若()f x 在定义域内单调递增，求a 的最小值；（2）求证：存在常数m 使得()m f x f a x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，并求出b 的值；（3）在（2）的条件下，若方程2()0f x a -=存在三个根1x ，2x ，()3123x x x x <<，且311x x e +<+，求a 的取值范围.19.（17分）第一组数据()12,,,n x x x ，其中12n x x x <<< ，第二组数据()121,,,,n n z z z z + ，这1n +个数互不相等，1z ，2z 分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少k 次对换得到最终数据()12,,,n y y y ，简记()k τ.若用直线y a bx =+拟合点列(),(1,2,,)i i i P x y i n =，相关系数niix ynxyr -=∑（1）第一组数据(3,0,2,5,9)-，第二组数据(10,8,2,5,1,4)-，若剔除10，经过()1k τ后得到(8,5,4,2,1)-拟合最佳；若剔除8，经过()2k τ得到(1,2,4,5,10)-最佳.求12k k +的值；（2）在一组互不相等的数的排列()12,,,n a a a 中，定义在i a 的右边比其小的数的个数称为i a 的逆序数.已知1a ，3a 的逆序数分别为1n -，3n -，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过()k τ后将这n 个数从小到大顺序排列，求k 的所有可能取值；（3）若剔除1z 后经过至少1m 次对换()1m τ后得到拟合效果最佳，相关系数为1r .剔除2z 后经过至少2m 次对换()2m τ后得到拟合效果最佳，相关系数为2r .若120r r <，求证：12m m +为定值，并求出该定值.景德镇市2025届高三第一次质检试题数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1234567891011DDBCABBABCADABD1．D 【解析】{}0,1,2--=A ，[]1,3B =-，A B =I {}10，-．故选D ．2．D 【解析】()()1213255i i i iz i +-++===+，∴35i z -=对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D ．3．B 【解析】()202，a b -=-，22a b -= ．故选B ．4．C 【解析】()25sin 22sin cos sin cos 19ααααα==+-=-，故选C ．5．A 【解析】()232f x x '=+，点A 不在曲线上，由已知可求得切线过点()1,4--，得直线方程为，51y x =+，故选A ．6．B 【解析】数形结合．故选B ．7．B 【解析】∵()12+x f 是奇函数，∴()()01212=+-++x f x f ，即()x f 关于()0,1点对称．又函数()x f 的定义域为R ，故()01=f ．且当1>x 时()()12log 12-=-x x f ，令()0≥x f ，即()⎩⎨⎧>≥--1012log 12x x ，解得2≥x ．根据对称性可知当1<x 时，10<≤x ．综上所述，()0≥x f 的解集是[][)+∞,21,0 ．故选B ．8．A 【解析】分别取,AB CD 的中点,E F ，不难发现平面OAB 即平面FAB ，平面OCD 即平面ECD ，∴平面OAB 和平面OCD 位于正四面体内部的交线为线段EF ，∵正四面体ABCD 的棱长为1，不难计算得出2EF =．故选A ．EF二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．9．BC 【解析】∵πππcos sin 222x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，显然()f x 是奇函数，故A 错误；b 往a 方向上的投影长为2a b a ⋅=，故B 正确；设()00,P x y ，其中2002y x =，∴()22001PA x y =-+()220001211x x x =-+=+，即PA 的最小值为1，故C 正确；∵12,l l 互相平行，∴()12m m -=，解得2m =或1m =-，经检验1m =-时两直线重合，∴“2m =”为“12,l l 互相平行”的充要条件，故D 错误．故选BC ．10．AD 【解析】由分层随机抽样的特征可知：2035020035m =⨯=，故A 正确；总体是35万考生的数学成绩，故B 错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值201577703535x =⨯+⨯=74，故C 错误；∵274,16μσ==，266μσ-=，()10.954420.02282P X μσ-<-≈=，∴小于66分的人数约为3500000.02287980⨯=人，故D 正确．故选AD ．11．ABD 【解析】在△PAB 中，由正弦定理可知()sin πsin sin sin PA PB ββαα-==，显然π,βα-均为锐角且随着0x 的增大分别减小与增大，即()sin π,sin βα-随着0x 的增大分别减小与增大，∴PAPB的值随着0x 的增大而减小，故A 正确；200022000tan tan PA PB y y y k k x a x a x a αβ⋅=-=-⋅=-+--，由于2200221x y a b -=，∴()2222002b y x a a =-，∴22tan tan b aαβ⋅=-为定值，故B 正确；22000000022222000000222tan tan y y x y x y x b x a x a x a y x a y a αβ-=+==⋅=⋅+---，而00y b x a <，∴2222tan tan a b bb a aαβ->⋅=，故C 错误；0012S AB y ay ==，00002222220202tan tan tan()1tan tan 1a y a b yx a a b x a x a y aαβαβαβ-+-++==-=⋅-⋅+-+，∴222220222222022tan()a y a a b S a b x a a b αβ⋅+=-=-+-+，∴2222220a b a a b-+≥+，解得a b ≥，∴1e <≤D 正确．故选ABD．第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．12．20243【解析】由题知：∵1233,2,a a a 成等差，∴21343a a a =+，又{}n a 是公比不为1的等比数列，∴243q q =+，∴3q =，20242025=3a ．故答案为20243．13．2【解析】()221:1C x a y -+= ，∴()1,0C a ，半径为1，()()2222:11C x y r -++= ，∴()21,1C -，半径为r ．若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，∴121C C r =-．由于121C C =≥，故11r -≥，2r ≥，即r 的最小值为2．14．51【解析】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为112，第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为0，第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为29，第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为19，∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率111212151299=++．故答案为51．四、解答题：本大题共5小题，满分77分．15．（本小题13分）解：（1）()33π2sin 232cos 32sin -⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=x x x x f ，…………………………2分该函数的单调递减区间为：()Z ∈⎦⎤⎢⎣⎡++k k k 127ππ12ππ……………………………………4分令π3π2k x =+，解得()6π13-=k x ，∴函数)(x f 的对称中心坐标为()⎪⎭⎫⎝⎛--3,6π13k ，其中Z ∈k ．……………………………6分（2）∵0)(=A f ，∴233π2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+A ，∴3π3π2=+A 或32π，∵()π,0∈A ，∴6π=A ．…………………………………………………………………………………………8分∵()223c bc AB AC AB BC AB -=-⋅=⋅，…………………………………………………9分且23-=⋅BC AB ，b c 3=，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-bc c bc 323232，解得：⎩⎨⎧==31c b …………………11分由余弦定理可知，1cos 222=-+=A bc c b a ．…………………………………………13分16．（本小题15分）解：（1）取PD 中点E ，连接AE ，∵PA AD =，故AE PD ⊥．∵AE PD ⊥，平面PCD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴AE ⊥平面PCD ，∴AE CD ⊥．…………………………………………………………4分又∵AD CD ⊥，∴CD ⊥平面PAD ．………………………………………………………6分（2）由上可知CD PA ⊥，又PA BC ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ．…………………………………………………………………………7分如图以A 为坐标原点，AB,AD,AP 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系．……………………8分∴()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1A B C D P ，……………………………………9分设平面PBC 的法向量()1111,,n x y z = ，则110n BC y n PB x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，解得()11,0,1n =．………………………………………………………………………………11分同理，平面PDC 的法向量()20,1,1n =，……………………………………………………13分∴平面PBC 与平面PDC 夹角余弦值1212121cos ,2n n n n n n ⋅==…………………………14分∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为12-． (15)分17．（本小题15分）解析：（1）由题意2231142a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆Γ的方程为2214x y +=．………………………………………………………………5分（2）设直线l 为12y x m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，设AB 中点为M ，联立221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒222220x mx m ++-=，根据韦达定理可知12212222x x m x x m +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，其中()()222242202m m m ∆=-->⇒<．………………………………………………8分∴,2m M m ⎛⎫-⎪⎝⎭，OM =．∴12AB x =-==，………………………10分∴(122OP OM AB m ≤+=+，…………………………………………12分令π0,2m θθ⎡⎤∈ ⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⎪⎝⎭，∴sin )2sin )π(42m θθθ=+=+≤，等号当且仅当π4θ=，即1m =时取到，满足22m <………………………………………14分∴||OP ≤||OP．……………………………………………………15分18．（本小题17分）解：（1）依题意可知当0>x 时，()0222≥++='xx a x f 恒成立，…………………………1分即022≥++x x a ，而xx 22+的最小值为4，故04≥+a ，………………………………3分解得4-≥a ，即a 的最小值为4-．……………………………………………………………4分（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛+x m x m m b m a m bx xm x m a x b x x a x m f x f 2ln 2ln 2ln ，……………………………………………………………………………………………………6分∵a x m x m m b m a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2ln ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=02ln mmb am a ，解得⎩⎨⎧-==e b e m 2．即当e b 2-=时，()a x e f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+．…………………………………………………………9分（3）构造函数()()222ln 2a x e x x a a x f x g --+=-=，则方程()02=-a x f 存在三个根即函数函数()x g 存在三个零点．∵()a x e f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴()0=⎪⎭⎫⎝⎛+x e g x g ．………………10分令e x =，得()0=e g ，于是e 为()x g 的一个零点．…………………………………11分若()x g 存在零点3x ，且e x >3，由()033=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x e g x g 可知，则()x g 必存在相应的零点1x ，且e x ex <=31．∴()x g 必在()+∞,e 上存在唯一零点3x ．……………………………13分若()0222≥++='x e x a x g 恒成立，即02≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++x e x a 成立，解得e a 4-≥，此时()x g 在()+∞,e 上单调递增，无零点；………………………………………………………………14分若e a 4-<，则()04<+='e a e g ，且()()043>--=''xe ax x g ，∴()x g '在()+∞e 上单调递增，故()x g '在()+∞,e 上存在零点0x ，当()0,x e x ∈时，()0<'x g ，()x g 单调递减，当()+∞∈,0x x 时，()0>'x g ，()x g 单调递增．……………………………………………15分∵113+<+e x x ，即133+<+e x ex ，解得e x <3，………………………………………16分∴()()03=>x g e g ，即e a 44->．综上所述，a 的取值范围是()e e 4,44--．…………………………………………………17分19．（本小题17分）解：（1）第一次将()4,1,5,2,8-对换得到()1,2,4,5,8-，∴31=k ．…………………………2分第二次将()4,1,5,2,10-对换得到()10,5,4,2,1-，∴72=k ．故1021=+k k ．…………………………………………………………………………………4分（2）∵1a 的逆序数分别为1-n ，∴1a 必为这n 个数中的最大数．3a 的逆序数分别为3-n ，则3a 可能是这n 个数中第二大或者第三大的数．………………5分若3a 是第二大的数，先将1a 对换到末位需要1-n 次对换，再将3a 对换到倒数第二位需要3-n 次对换，而后将其余各数对换到相应位置分别需要0,1,,2,3 --n n 次对换，则222--=n n k ；…………………………………………………………………………………6分若3a 是第三大的数，则2a 只能是第二大的数，同理1a 需要对换1-n 次，2a 需要对换2-n 次，3a 需要对换3-n 次，…，∴22n n k -=．……………………………………………………8分综上所述，222--=n n k 或22nn k -=．……………………………………………………9分（3）先证明排序不等式，不妨假设n n b b b a a a <<<<<< 2121,,n k k k ,,21是n ,21，，的一个排列，{}n j i ,,2,1, ∈∀，不妨假设j i >，则()()ni j n j i k n k j k i k k k n k j k i k k b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ++++++-++++++ 21212121()()j i k k j i b b a a --=，于是()()n i j n j i k n k j k i k k k n k j k i k k b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ++++++>++++++ 21212121成立的充要条件为j i k k >，于是经过若干次对换后得：∑∑∑===-+<<ni i i n i k i ni in i b a b a ba i 1111．……………………………………………………………………………………………………12分假设()n y y y ,,,21 经过若干次对换后得到()n y y y ''',,,21，其中n y y y '<<'<' 21，则∑∑∑===-+'<<'ni i i n i i i ni in iy x y x y x 1111．∵∑∑∑===---=ni ini ini iiyn yxn xyx n yx r 1221221，其中∑∑==--ni ini iy n yxn x122122与y x n 均为正常数，要使得拟合效果最佳，则1→r ．∵021<r r ，不妨假设0,021<>r r ，则1,121-→→r r ．……………………………………………………………………………………………………13分设()13,,,+n n z z z 的所有逆序数之和为q ，反之，正序数之和为p ，由于这1-n 个数互不相等，则21-=+n C q p ．∵剔除1z 后要使得拟合效果最佳且11→r ，即∑=ni iiyx 1尽可能大，则应将()132,,,,+n n z z z z 按从小到大的顺序排列．将()13,,,+n n z z z 中的数按大数优先对换的原则，则将该组数按从小到大的顺序排列共需q 次对换，再将2z 排最前面有1-n 次对换，故q n m +-=11．………………………………14分∵剔除2z 后要使得拟合效果最佳且12-→r ，即∑=ni iiyx 1尽可能小，则应将()131,,,,+n n z z z z 按从大到小的顺序排列．而()13,,,+n n z z z 中的数按小数优先对换的原则，则将该组数按从大到小的顺序排列共需要p 次对换，1z 位置不变，故p m =2．……………………………………………………15分∴21122121nn Cn q p n m m n -=+-=++-=+-．…………………………………………16分若0,021><r r ，同理可得2221nn m m -=+．综上所述，2221nn m m -=+为定值．………………………………………………………17分。
