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北京市东城区2013届高三上学期期末统一练习数学理科试题含答案

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东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i 1ia +-是纯虚数，则a 等于（A ）1- （B ）1 （C（D） （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179xy-=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△A F K 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ．（10）图中阴影部分的面积等于 ．（11）已知圆C ：22680x y x +-+=，则圆心C 的坐标为 ；若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第四象限，则k = ． （12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ． （13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价%p ,第二次提价%q ；方案乙：每次都提价%2p q +，若0p q >>，则提价多的方案是 .（14）定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f = ，(,2)f n = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．（16）（本小题共13分）已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N .（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .（17）（本小题共14分）如图，在菱形A B C D 中，60DAB ∠= ，E 是A B 的中点， M A ⊥平面A B C D ，且在矩形A D N M 中，2AD =，7AM =．（Ⅰ）求证：A C ⊥B N ； （Ⅱ）求证：A N // 平面M E C ； （Ⅲ）求二面角M E C D --的大小.（18）（本小题共13分）已知a ∈R ，函数()ln 1a f x x x=+-．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值．（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△AO B 面积的最大值，若存在，求出△AO B 的面积；若不存在，说明理由.ABCDENM（20）（本小题共14分）已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x 满足条件：①10ni i x ==∑； ②11ni i x ==∑.(Ⅰ) 当2n =时，求1x ，2x 的值；（Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥ ,且1n a a >(2)n ≥，求证：111()2ni i n i a x a a =≤-∑.东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）45-（10）1 （11）(3,0) 4-（12）75+ （13）乙（14）2 22n -注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）1cos 2()222xf x x a +=++1s i n (2)62x a π=+++.……………………………………………3分所以T =π．……………………………………………………………4分 由3222262k x k πππ+π≤+≤+π，得263k x k ππ+π≤≤+π．故函数()f x 的单调递减区间是2[,]63k k ππ+π+π（k ∈Z ）．…………………7分（Ⅱ）因为63x ππ-≤≤， 所以52666x πππ-≤+≤．所以1sin(2)126x π-≤+≤．…………………………………………………………10分因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和1113(1)()2222a a +++-++=， 所以0a =．…………………………………………………………………………13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）当1n =时，112S a a ==+.………………………………………1分当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=.…………………………………………………3分因为{}n a 是等比数列，所以111221a a -=+==，即11a =.1a =-.……………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1(21)(21)2n n n b n a n -=-=-⋅.则23111325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⋅ . ①2312123252(23)2(21)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ . ②①-②得 2111222222(21)2n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ …………………9分 2112(222)(21)2n n n -=++++--⋅114(21)(21)2n nn -=+---⋅(23)23nn =--⋅-.…………………………………………………12分所以(23)23nn T n =-⋅+.……………………………………………………………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）连结B D ，则A C B D ⊥. 由已知D N ⊥平面A B C D ， 因为DN DB D = ，所以A C ⊥平面N D B .……………………2分 又因为B N ⊂平面N D B ，所以A C B N ⊥.……………………4分 （Ⅱ）C M 与B N 交于F ，连结E F . 由已知可得四边形B C N M 是平行四边形，所以F 是B N 的中点. 因为E 是A B 的中点，所以//A N E F .…………………………7分 又E F ⊂平面M E C ，A N ⊄平面M E C ，所以//A N 平面M E C . ……………………………………………………………9分（Ⅲ）由于四边形A B C D 是菱形，E 是A B 的中点，可得D E AB ⊥. 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，0,0)E , (0,2,0)C ，1,7M -.2.0)C E =- ，(0,1,)7EM =- .…………………………………………10分设平面M E C 的法向量为(,,)x y z =n .则0,0.C E EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以20,0.7y y z -=⎨-=⎪⎩令2x =.所以3=n .……………………………………………………………12分又平面A D E 的法向量(0,0,1)=m ，所以1cos ,2⋅<>==m n m n m n.所以二面角M E C D --的大小是60°. ………………………………………14分 （18）（共13分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln 1f x x x=+-，),0(+∞∈x ，所以22111()x f x xxx-'=-+=，),0(+∞∈x .………………………………2分因此1(2)4f '=．即曲线)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线斜率为14. …………………………4分又1(2)ln 22f =-，所以曲线)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线方程为11(ln 2)(2)24y x --=-，即44ln 240x y -+-=．……………………………………………6分 （Ⅱ）因为()ln 1a f x x x=+-，所以221()a x a f x xxx-'=-+=．令()0f x '=，得x a =． ……………………………………………8分①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0e a <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，当(],e x a ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],e a 上单调递增，所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．………………………………10分 ③若e a ≥，则当(]0,e x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 所以当e x =时，函数()f x 取得最小值ea ．…………………………………12分综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值；当0e a <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当e a ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ea ．……………13分（19）（共13分）解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．……………………………………………………………………………3分 故曲线C 的方程为2214xy +=． …………………………………………………5分（Ⅱ）存在△AO B 面积的最大值. …………………………………………………6分 因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则221,4 1.x y x m y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y m y +--=．…………………………………7分 由22(2)12(4)0m m ∆=++>． 设1122()()A x y B x y ，，，．解得124m y m +=+224m y m -=+．则21||4y y m -=+因为1212AO B S O E y y ∆=⋅-24m ==+． ………………………10分设1()g t t t=+，t =t ≥．则()g t在区间)+∞上为增函数．所以()3g t ≥．所以2AO B S ∆≤，当且仅当0m =时取等号，即m ax ()2AO B S ∆=．所以AOB S ∆的最大值为2．………………………………………………………………13分（20）（共14分）(Ⅰ)解：12120,(1)1.(2)x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由（1）得21x x =-，再由（2）知10x ≠，且20x ≠.当10x >时，20x <.得121x =，所以121,21.2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………………2分当10x <时，同理得121,21.2x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………………4分（Ⅱ）证明：当3n =时，由已知1230x x x ++=,123=1x x x ++.所以12311233322()x x x x x x x x ++=+++-13x x =-131x x ≤+≤.………………………………………………9分（Ⅲ）证明：因为1i n a a a ≥≥，且1n a a >(1,2,3,,)i n = .所以1()()i i n a a a a ---1()()i i n a a a a ≤-+-1n a a =-,即112n i n a +a a a a -≤- (1,2,3,,)i n = .……………………………11分1n i ii a x=∑n1i 1111122nniii n i i i a xa x a x ====--∑∑∑111(2)2nin i i aa a x ==--∑111(22nn i i i a a a x =≤+-∑)111()2nn i i a a x =≤-∑1112nni i a a x ==-∑11()2n a a =-.……………………………………………………………14分。

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2013年北京市东城区高三一模数学理科含答案

2013年北京市东城区高三一模数学理科含答案

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4}（C ）{1,2} （D ）{2,3}（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b（C ）-b a （D ）--a b（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）22 （B ）62（C ）322 （D ）362（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50（6）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（A ）52（B ）3 （C ）2（D ）31+（7）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-（8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n nk θ=，则y x -等于 （A ）1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- （B ）1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- （C ）1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- （D ）1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷含答案)

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2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分,共40分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1,0,1},B={x |－1≤x ＜1},则A∩B= ( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1}2.在复平面内,复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为A.1B.23C.1321D.610987 5.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度,所得图象与y =e x 关于y 轴对称,则f (x )=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --6.若双曲线22221x y a b-=3则其渐近线方程为 A.y =±2x B.y =2x C.12y x =± D.22y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 B.2 C.83162 8.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0)满足x 0－2y 0=2,求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20,a 3＋a 5=40,则公比q = ;前n 项和S n =.11.如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D,PA=3,916PD DB =,则PD= ,AB= .12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少一张,如果分给同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 .13.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa ＋μb (λ,μ∈R ),则λμ=14.如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题,共80分。

北京东城区高三上册理科数学联考试题带答案

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适用精选文件资料分享北京东城区高三上册理科数学12 月联考试题（带答案）东城区一般校 2012-2013 学年第一学期联考试卷高三数学（理科）命题校： 125 中 2012 年 12 月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．选出吻合题目要求的一项填在机读卡上． 1. 若会集，且，则会集可能是（）A．B．C．D． 2. 复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．B．C．D．3.已知是两条不一样直线，是三个不一样平面，以下命题中正确的选项是（）A．B．C．D．4.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是（）A． B ． C． D．正视图侧视图 5 ．设变量满足拘束条件，则目标函数的最大值为（） A． B． C． D． 6 ．已知数列为等比数列，，，则的值为（） A． B． C． D． 7．已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是（）A ．B ．C．D．8 ．设、分别为双曲线的左、右焦点 . 若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷 ( 非选择题，共 110 分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9 ．已知，且为第二象限角，则的值为 . 10．已知向量．若为实数，∥，则的值为 . 11．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 . 12．若曲线的某全部线与直线平行，则切点坐标为，切线方程为 . 13. 若，则以下不等式对全部满足条件的恒建立的是 . ( 写出全部正确命题的编号 ) ．①；②；③；④；⑤14. 已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒建立，则实数的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ．（本小题满分分）已知：在中, 、、分别为角、、所对的边，且角为锐角，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，求及的长．16．（本小题满分分）已知：函数的部分图象以以下图．（Ⅰ）求函数的分析式；（Ⅱ）在△中，角的分是，若的取范．17．（本小分分）已知：如，在四棱中，四形正方形，，且，中点．（Ⅰ）明： // 平面；（Ⅱ）明：平面平面；（Ⅲ）求二面角的正弦． 18 ．（本小分13 分）已知：数列的前和，且足， . （Ⅰ）求：，的；（Ⅱ）求：数列的通公式；（Ⅲ）若数列的前和，且足，求数列的前和 . 19．（本小分 14 分）已知：函数，此中 . （Ⅰ）若是的极点，求的；（Ⅱ）求的区；（Ⅲ）若在上的最大是，求的取范 . 20 ．（本小分分）已知的离心率，短的一个端点与两个焦点构成的三角形的面 . （Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）已知直与订交于、两点 . ①若段中点的横坐，求斜率的；②若点，求：定 .城区一般校 2012-2013 学年第一学期考答案高三数学（理科）参照答案（以下分准供参照，其他解法自己依据状况相地分）一二.填空 9 ． 10 ． 11 ． 12 ．（1，2）， 13 ．①③⑤ 14 ．15．（本小分分）解：（Ⅰ）解：因cos2C=1-2sin2C=，及所以 sinC= . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）解：当 a=2，2sinA=sinC，由正弦定理，得c=4 ⋯⋯⋯7分由cos2C=2cos2C-1= ，及得cosC= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2－b- 12=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分解得b=2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分 16 ．（本小分分）解：（Ⅰ）由像知，的最小正周期，故⋯⋯ 2 分将点代入的分析式得，又故因此⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）由得所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因因此⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分17．（本小分分）解：（Ⅰ）明： BD交 AC于点 O， EO．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 O BD中点， E PD中点，∴EO//PB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 EO 平面 AEC，PB 平面 AEC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴ PB// 平面 AEC．（Ⅱ）明： PA⊥平面 ABCD．平面 ABCD，∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分又在正方形 ABCD中且，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分∴CD 平面PAD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又平面 PCD，∴平面平面．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅲ）如，以 A 坐原点，所在直分，，建立空直角坐系．⋯⋯⋯8分由 PA=AB=2可知 A、B、C、D、P、 E的坐分 A(0, 0, 0), B(2,0, 0),C(2, 2, 0), D( 0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1,1)．⋯⋯⋯⋯⋯9分 PA 平面 ABCD，∴ 是平面 ABCD的法向量， =（0, 0, 2）．平面AEC的法向量, ,即∴ ∴ 令, . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分∴ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分二面角的正弦⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分18（．本小分 13 分）解：（Ⅰ）令，解得；令，解得⋯⋯⋯⋯⋯2分（Ⅱ）因此，（）两式相减得⋯⋯⋯⋯⋯4 分因此，（）⋯⋯⋯⋯⋯5 分又因因此数列是首，公比的等比数列⋯⋯⋯⋯⋯6 分因此，即通公式（）⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅲ），因此因此⋯⋯9分令① ② ①－②得⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因此⋯⋯ 13 分 19 ．（本小分 14 分）（Ⅰ）解：. 依意，令，解得 . ，，吻合意 . ⋯⋯4分（Ⅱ）解：① 当， . 故的增区是；减区是 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分②当，令，得，或. 当，与的状况以下： ? K ? J ? K 因此，的增区是；减区是和 .当，的减区是 . 当，，与的状况以下： ? K? J ? K 因此，的增区是；减区是和 . ③当，的增区是；减区是 . 上，当，的增区是，减区是；当，的增区是，减区是和；当，的减区是；当，的增区是；减区是和 . ⋯⋯ 11 分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上增，由，知不合意 . 当，在的最大是，由，知不合意 . 当，在减，可得在上的最大是，吻合意 . 因此，在上的最大是，的取范是 . ⋯⋯⋯⋯14分20．（本分分）解：（Ⅰ）因足，，⋯⋯⋯⋯2 分。

北京市东城区2012-2013第一学期高三年级期末数学统一练习理科

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东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）2- （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。