1电磁场与电磁波 答案 1-6章
- 格式：pdf
- 大小：292.28 KB
- 文档页数：24
R 1 即： ( ) = 3 R R
第二章 习题解答
2.5 试求半径为 a，带电量为 Q 的均匀带电球体的电场。 解：以带电球体的球心为球心，以 r 为半径，作一高斯面， 由高斯定理
S
D dS =Q，及 D E 得，
Q 4 r 2 ，得 4 2 3 a 3
1.10 在圆柱体 x + y =9 和平面 x=0，y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域，设此区域的表面为 S: ⑴求矢量场 A 沿闭合曲面 S 的通量，其中矢量场的表达式为
2
2
A = ax 3 x 2 + a y （3y+z）+ az (3z x)
1.3 有一个二维矢量场 F(r) = ax （ y）+ a y (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由 dx/( y)=dy/x,得 x 2 + y =c
2
1.6 求数量场 =ln（ x 2 + y + z ）通过点 P（1，2，3）的等值面方程。
2 2
解：等值面方程为 ln（ x + y + z ）=c 则 c=ln(1+4+9)=ln14 那么 x + y + z =14 1.9 求标量场 （x,y,z）=6 x y + e 在点 P（2，-1，0）的梯度。
s a a b s a Eห้องสมุดไป่ตู้d r 1 dr 1 ln a a r 0 b 0
b
⑶要使 >0 的区域外电场强度为 0，即：
s a s b b 2 er =0，得 S1 = s2 E= 1 0r a
2.9 一个半径为 a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为 Q 的电荷，球壳上又另充了电量为 Q 的电荷，已知内部的电场为 E ar ( ) 4 ，计算： ⑴球内电荷分布； ⑵球的外表面的电荷分布； ⑶球壳的电位； ⑷球心的电位。 解：⑴由 E
即： A dl = A ds ，得证。
l S
1.15 求下列标量场的梯度： ⑴u=xyz+ x 2
u u u + ay + az = ax (yz+zx)+ a y xz+ a z xy u = ax y x z
'
1 R 解：⑴ r = ax x+ a y y+ a z z;
⑷ ( ) 。
r ' = ax x’+ a y y’+ az z’
⑵ R = r r = ax （x x’）+ a y （y y’）+ a z （z z’）
r a
r 3 v ，得 04 a 0
⑵ E er E
s er D er 0 E 0
⑶由高斯定理
S
D dS = 4 r 2 D =q
当 r a 时，q=2Q，Q= 4 a 2 0
I S 1
G=
2U d 2 1 d1 2
1 2 S I = U d 2 1 d1 2
⑷C
1 2 S Q D1S = U U d 2 1 d1 2
'
⑶ r = 0 , r =3 ⑷
1 1 R ( x x ') 2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
1 1 + ay + az ) ( ) =( ax y R x z R
2
2
2
2
面积分，验证斯托克斯定理。 解： A dl =
l
xdx xy dy = 4 a
2 L
4
A = az y 2
A ds = y 2 dS = 2 sin 2 d d = a 4 S 4 S S
2 2
2
2
2
2
2
3
z
解：由 = ax
3 2 + ay + az =12x y ax +18 x 2 y a y + e z a z 得 y x z
= 24 ax +72 a y + az
xoz
yoz 上 下
xoz
A dS =
曲
yoz
A dS =
xoz
(3 y z)dxdz = 6
yoz
3x dydz =0
2
27 + = (6 cos ) d d + cos d d = A d S A d S 2 上 下 上 下
r
⑷ a
2Q 2a 2 r 0
a
0
Edl 2a
r a =2-2a
2.17 一个有两层介质（ 1 ， 2 ）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为 1 和 2 ，电 容器极板的面积为 S。当外加压力为 U 时，求： ⑴电容器的电场强度； ⑵两种介质分界面上表面的自由电荷密度； ⑶电容器的漏电导； ⑷当满足参数是 1 2 21 ，问 G/C=?(C 为电容器电容) 解：⑴由 E1D1 E 2 D 2 U , J1n J 2n ，得
E1
2U 1U ， E2 d 2 1 d1 2 d 2 1 d1 2
⑵两介质分界面的法线由 1 指向 2 由 2 E2 1 E1
s ，得
s =
⑶由 J
2 1U 1 2U d 2 1 d1 2 d 2 1 d1 2
I 1 E1 ，知 S
当 b<r 时，由
S
D dS =q,得 D r l S1 a l + S2 b l
s a s b s a s b 2 2 er ， E = 1 er D= 1 r 0r
⑵ ab
⑵验证散度定理。 解：⑴ A ds =
曲
2 3 2 = (3 cos 3 sin z sin ) d d =156.4 A d S
曲
A d S + A d S + A d S + A d S + A d S
1 2( x x ') 1 2( y y ') 1 2( z z ') R R R ay 2 az 2 = ax 2 2 2 R R R2 x x ' z z' y y ' = ax a a z y R3 R3 R3 1 = 3 [ ax （x x’）+ a y （y y’）+ a z （z z’）] R R = 3 R
S
D dS =q
S
D dS =q=0，得
D =0， E =0
当 a r b 时，由
S
D dS =q,得 D r l S1 a l
S S a D = 1 er ， E 1 er r 0r
① r a 时， 由
S
D dS =
Qr D 4 a 3
E
②
Qr 4 0 a 3
r>a 时， 由
S
D dS =Q，得
Qr D 4 r 3
E
2.5
Qr 4 0 r 3
两无限长的同轴圆柱体，半径分别为 a 和 b（a<b） ，内外导体间为空气。设同轴圆柱 导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为 S1 和 S2 ，求： ⑴空间各处的电场强度； ⑵两导体间的电压； ⑶要使 b 区域内的电场强度等于零，则 S1 和 S2 应满足什么关系？ 解：⑴以圆柱的轴为轴做一个半径为 r 的圆柱高斯面，由高斯定理 及 D E 得， 当 0<r<b 时，由
第一章 习题解答
1.2 给定三个矢量 A ， B ， C ：
A = ax +2 a y -3 az B = -4 a y + az C =5 ax -2 az
求：⑴矢量 A 的单位矢量 aA ； ⑵矢量 A 和 B 的夹角 AB ； ⑶ A·B 和 A B ⑷ A· （ B C ）和（ A B ） ·C ； ⑸ A （ B C ）和（ A B ） C
第二章 习题解答
2.5 试求半径为 a，带电量为 Q 的均匀带电球体的电场。 解：以带电球体的球心为球心，以 r 为半径，作一高斯面， 由高斯定理
S
D dS =Q，及 D E 得，
Q 4 r 2 ，得 4 2 3 a 3
1.10 在圆柱体 x + y =9 和平面 x=0，y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域，设此区域的表面为 S: ⑴求矢量场 A 沿闭合曲面 S 的通量，其中矢量场的表达式为
2
2
A = ax 3 x 2 + a y （3y+z）+ az (3z x)
1.3 有一个二维矢量场 F(r) = ax （ y）+ a y (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由 dx/( y)=dy/x,得 x 2 + y =c
2
1.6 求数量场 =ln（ x 2 + y + z ）通过点 P（1，2，3）的等值面方程。
2 2
解：等值面方程为 ln（ x + y + z ）=c 则 c=ln(1+4+9)=ln14 那么 x + y + z =14 1.9 求标量场 （x,y,z）=6 x y + e 在点 P（2，-1，0）的梯度。
s a a b s a Eห้องสมุดไป่ตู้d r 1 dr 1 ln a a r 0 b 0
b
⑶要使 >0 的区域外电场强度为 0，即：
s a s b b 2 er =0，得 S1 = s2 E= 1 0r a
2.9 一个半径为 a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为 Q 的电荷，球壳上又另充了电量为 Q 的电荷，已知内部的电场为 E ar ( ) 4 ，计算： ⑴球内电荷分布； ⑵球的外表面的电荷分布； ⑶球壳的电位； ⑷球心的电位。 解：⑴由 E
即： A dl = A ds ，得证。
l S
1.15 求下列标量场的梯度： ⑴u=xyz+ x 2
u u u + ay + az = ax (yz+zx)+ a y xz+ a z xy u = ax y x z
'
1 R 解：⑴ r = ax x+ a y y+ a z z;
⑷ ( ) 。
r ' = ax x’+ a y y’+ az z’
⑵ R = r r = ax （x x’）+ a y （y y’）+ a z （z z’）
r a
r 3 v ，得 04 a 0
⑵ E er E
s er D er 0 E 0
⑶由高斯定理
S
D dS = 4 r 2 D =q
当 r a 时，q=2Q，Q= 4 a 2 0
I S 1
G=
2U d 2 1 d1 2
1 2 S I = U d 2 1 d1 2
⑷C
1 2 S Q D1S = U U d 2 1 d1 2
'
⑶ r = 0 , r =3 ⑷
1 1 R ( x x ') 2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
1 1 + ay + az ) ( ) =( ax y R x z R
2
2
2
2
面积分，验证斯托克斯定理。 解： A dl =
l
xdx xy dy = 4 a
2 L
4
A = az y 2
A ds = y 2 dS = 2 sin 2 d d = a 4 S 4 S S
2 2
2
2
2
2
2
3
z
解：由 = ax
3 2 + ay + az =12x y ax +18 x 2 y a y + e z a z 得 y x z
= 24 ax +72 a y + az
xoz
yoz 上 下
xoz
A dS =
曲
yoz
A dS =
xoz
(3 y z)dxdz = 6
yoz
3x dydz =0
2
27 + = (6 cos ) d d + cos d d = A d S A d S 2 上 下 上 下
r
⑷ a
2Q 2a 2 r 0
a
0
Edl 2a
r a =2-2a
2.17 一个有两层介质（ 1 ， 2 ）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为 1 和 2 ，电 容器极板的面积为 S。当外加压力为 U 时，求： ⑴电容器的电场强度； ⑵两种介质分界面上表面的自由电荷密度； ⑶电容器的漏电导； ⑷当满足参数是 1 2 21 ，问 G/C=?(C 为电容器电容) 解：⑴由 E1D1 E 2 D 2 U , J1n J 2n ，得
E1
2U 1U ， E2 d 2 1 d1 2 d 2 1 d1 2
⑵两介质分界面的法线由 1 指向 2 由 2 E2 1 E1
s ，得
s =
⑶由 J
2 1U 1 2U d 2 1 d1 2 d 2 1 d1 2
I 1 E1 ，知 S
当 b<r 时，由
S
D dS =q,得 D r l S1 a l + S2 b l
s a s b s a s b 2 2 er ， E = 1 er D= 1 r 0r
⑵ ab
⑵验证散度定理。 解：⑴ A ds =
曲
2 3 2 = (3 cos 3 sin z sin ) d d =156.4 A d S
曲
A d S + A d S + A d S + A d S + A d S
1 2( x x ') 1 2( y y ') 1 2( z z ') R R R ay 2 az 2 = ax 2 2 2 R R R2 x x ' z z' y y ' = ax a a z y R3 R3 R3 1 = 3 [ ax （x x’）+ a y （y y’）+ a z （z z’）] R R = 3 R
S
D dS =q
S
D dS =q=0，得
D =0， E =0
当 a r b 时，由
S
D dS =q,得 D r l S1 a l
S S a D = 1 er ， E 1 er r 0r
① r a 时， 由
S
D dS =
Qr D 4 a 3
E
②
Qr 4 0 a 3
r>a 时， 由
S
D dS =Q，得
Qr D 4 r 3
E
2.5
Qr 4 0 r 3
两无限长的同轴圆柱体，半径分别为 a 和 b（a<b） ，内外导体间为空气。设同轴圆柱 导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为 S1 和 S2 ，求： ⑴空间各处的电场强度； ⑵两导体间的电压； ⑶要使 b 区域内的电场强度等于零，则 S1 和 S2 应满足什么关系？ 解：⑴以圆柱的轴为轴做一个半径为 r 的圆柱高斯面，由高斯定理 及 D E 得， 当 0<r<b 时，由
第一章 习题解答
1.2 给定三个矢量 A ， B ， C ：
A = ax +2 a y -3 az B = -4 a y + az C =5 ax -2 az
求：⑴矢量 A 的单位矢量 aA ； ⑵矢量 A 和 B 的夹角 AB ； ⑶ A·B 和 A B ⑷ A· （ B C ）和（ A B ） ·C ； ⑸ A （ B C ）和（ A B ） C
