自控原理论文
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对于非线性系统的分析
摘要:对于一个系统,不论是线性的还是非线性的,都是需要按照生产需求来设计的,所以,是线性系统也好,非线性系统也好,对于一个系统的基本要求就是快速性、准确性与稳定性。
关键字：非线性系统、线性系统、线性化、分析方法在以前的章节中,分析对象都是线性系统,而在实际控制系统中完全线性是不存在的,任何系统都不同程度带有非线性度的性质。
根据“小偏差理论”，多数的控制系统在一定工作范围内可以近似为线性系统来研究，实践证明，这在解决多数控制系统的设计计算时是可行的。
但是，对于另一些系统，由于非线性严重，以致于无论多么小的工作范围内，线性化都是不可能的，这些非线性系统称为“本质非线性”。
具体本质非线性的系统必须按照非线性系统的理论来分析、研究。
首先给出非线性系统的定义，所谓非线性系统就是系统中含有非线性元件的系统，这些含有非线性部分的部分就是非线性环节。
非线性系统的研究对象一般都是针对不能采用小偏差线性化方法进行处理的本质非线性系统。
由于非线性系统概括了所有除线性以外的数学关系，包含的范围非常广，因此，目前还没有统一的方法来分析和综合。
在分析线性系统时，系统都满足叠加原理，系统分析的一般方法就是现将信号分解为基本信号的叠加，求在基本信号作用下
系统的响应，最后将基本信号响应叠加起来即可得任意输入信号作用下系统的响应。
但是在对非线性系统分析时，非线性系统不满足叠加原理，因此不能用脉冲响应或阶跃响应来表征系统的动态特征，也就不能用系统函数的概念来分析非线性系统。
作为系统函数的一种，频率特性法原则上也就不能用来描述非线性系统的动态性质。
对于非线性系统的分析,就是对系统稳定性的分析、自激振荡的分析和利用非线性特性改善系统性能。
同时,在分析非线性系统的时候,我们会发现非线性系统动态性能与输入信号有关,稳定性与其初期的输入量有关,在串联环节互换的时候也可能导致稳定系统变得不稳定或使系统发生根本性变化,而且非线性系统常会产生持续振荡,即自激振荡,而且到目前为止对于非线性系统没有系统性的或普遍性的解决方案。
非线性系统的具体分析与设计方法有相平面法、描述函数法、逆系统法和软件仿真等。
首先介绍的第一种方法就是相平面法。
相平面法是推广运用时域分析法的一种图解分析法。
相平面法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳定精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。
在所有分析方法中，相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见的非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统。
该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始条件下解的运动形式。
相平面法仅适用于一阶和二阶系统。
在相平面分
析方法中，最基本的就是等倾线法。
在等倾线法绘制相轨迹曲线时，要注意三点，即三个参数：等倾线斜率β、相轨迹切线斜率α和初始条件。
相轨迹切线斜率α,等倾线斜率，而初始条件就是在t=0是速度与位置的值。
一般得出α与β的关系式和初始条件就能绘制出该系统的相轨迹图，而根据相轨迹曲线就能轻易得到速度时间曲线与位置时间曲线，这样就能判断系统的响应速度与稳定性能等一系列参数化从而得到系统的性能指标。
对于二阶系统，有些相轨迹曲线是规则的，这样又是不必绘制对于的图形就能得到一系列参数。
比如椭圆形的，双曲线形的或者是抛物线形的曲线，这些曲线都能用一些曲线方程式表示出来，这些方程就是该系统的特征方程，求出其特征根，根据根的情况就能判断相轨迹收敛或发散从而了解系统的性能。
并确定系统的极点，同时也可以反过来，通过特征根的情况也可以了解其极点类型。
描述函数是基于频域分析法和非线性谐波线性化的一种图解分析法。
该方法对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。
是频率法在非线性系统分析中的推广。
这种方法不受阶次的限制。
描述函数的基本思想就是：当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量
来近似，由此可导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。
这时非线性系统就近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。
对于描述函数法反洗一个系统，该系统一定要满足一定的条件：１非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式；２非线性环节的输入输出特性应是奇函数；３系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。
描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题，并且不受系统阶次限制，一般都能给出比较满意的结果，因而获得了广泛的应用。
但是由于描述函数对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定的要求，其本身也是一种近似的分析方法，因此该方法的应用有一定的限制条件。
另外，描述函数法只能用来研究系统的频域响应特性，不能给出时间响应的确切信息。
利用描述函数法来确定系统的稳定性,其主要依据就是G(jw)曲线与-1/N （Ａ）曲线的交点情况，其判定规则是：在复平面上，Ｇ（ｊｗ）曲线不包围－１／Ｎ（Ａ）曲线，则非线性系统稳定，反之则不稳定。
在两曲线交点处若－１／Ｎ（Ａ）曲线沿着Ａ增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时，该交点对应的周期运动是稳定的。
反之，若－１／Ｎ（Ａ）曲线沿着Ａ增大的方向由稳定区域变为不稳定区域时，该交点对应的周期运动是不稳定的。
另外还有就是逆系统法和计算机求解法。
逆系统法是利用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以此为基础，设计外环
控制网络。
该方法应用数学工具直接研究非线性控制问题，不必解求非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的一个发展方向。
计算机求解法是利用计算机高速运算能力对非线性微分方程的一种数值解法。
几乎是分析和设计复杂非线性系统的唯一有效方法
在以上任何一种分析方法中无非得到系统的一些性能指标，在设计系统时不仅要得到这些性能指标，而且要能够控制这些指标，以做出符合生产要求的系统。
无论是线性系统还是非线性系统，对于系统的要求无非是快速性、稳定性与准确性。
对于非线性系统，其稳定性不仅仅取决于系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关。
并且线性系统等幅振荡状态在实际物理系统中不存在，而非线性系统的自由运动可能存在稳定的等幅振荡状态，即自激振荡现象。
在正弦信号作用下，线性系统稳定输出是同频率的正弦量。
非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复杂的情况：（1）跳跃谐振和多值响应；（2）分频振荡和倍频振荡。
正是由于输出信号的复杂情况，所以对于非线性系统至今都没有一个普遍的分析方法。
以上无论怎样的分析方法都是理论分析，对于设计者有一定的帮助，但不能完全依赖于这些分析出来的数据，毕竟理论计算与实践是有差距的。
相对于生产者而言，相信更多人会相信结果而不是这些仅仅是通过计算而的出来的数据，所以在计算以上数据之后，在设计时对于系统应留有一定的余地，并且在实际建造
时能够随机应变，对于预料之外的突发事件要有足够的认识，并理智的解决问题。
