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第七章 7.6第6课时课时作业（三十七）一、选择题1．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是( )A ．f (2.5)<f (1)<f (3.5)B ．f (2.5)>f (1)>f (3.5)C ．f (3.5)>f (2.5)>f (1)D ．f (1)>f (3.5)>f (2.5) 答案 B解析 函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴y ＝f (x )关于x ＝2对称，又∵函数y ＝f (x )在(0,2)上单增，∴在(2,4)上单减，∴f (1)＝f (3)，∴f (2.5)>f (3)>f (3.5)， ∴选B.2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 答案 B3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18答案 D解析 取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D.4．(2011·东北育才学校一模)若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2中，正确的不等式是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 C解析 取a ＝－1，b ＝－2，验证即可．5．已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 2(1 )＋f (2 )f (1 )＋f 2(2 )＋f (4 )f (3 )＋f 2（3）＋f （6 ）f （5）＋f 2(4 )＋f (8 )f (7 )＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16 答案 D解析 根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )得f (2n )＝f 2(n )，又f (1)＝2，则f (n ＋1)f (n)＝2.由f 2(1 )＋f (2 )f (1 )＋f 2(2 )＋f (4 )f (3 )＋f 2（3）＋f （6 ）f （5）＋f 2(4 )＋f (8 )f (7 )＝＝2f (2)f (1)＋(2)f (4 )f (3 )＋(2)f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝16. 二、填空题 6．(2011·山东泰安一模)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确．．命题的序号为________(把所有正确．．命题的序号都．填上) 答案 ①②④解析 ∵x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0， ∴f (x )在[0,3]上递增．∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得f (3)＝f (－3)＋f (3)， ∴f (－3)＝f (3)＝0.①对．∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )周期为6，画出示意图如下：由图象知，②④正确，③不正确，故填①②④. 7．(2011·天津滨海新区五校联考)给出下列四个命题中： ①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定“∀x ∈R ，x 2＋1>3x ”；②若不等式(－1)na <2＋(－1 )n ＋1n 对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为[－2，32]③设圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)与坐标轴有4个交点，分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，C (0，y 1)，D (0，y 2)，则x 1x 2－y 1y 2＝0；④将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin(2x －π6)． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 ①中命题的否定应为∀x ∈R ，x 2＋1≤3x .②当n 为偶数时，a <2＋(－1 )n ＋1n ＝2－1n ，∵2－1n ≥32，∴a <32，当n 为奇数时，a >－2－1n ，∵－2－1n <－2，∴a ≥－2，综上，－2≤a <32，故②正确． ③令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴y 1y 2＝F ， 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴x 1x 2＝F ， ∴x 1x 2－y 1y 2＝0，故③正确．④y ＝cos2x 平移后：y ＝cos2(x －π3)＝cos(2x －2π3)＝cos(2x －π6－π2)＝sin(2x －π6)．综上，故填②③④.8．(2011·山东日照一模)给出下列四个命题：①若a <b ，则a 2<b 2；②若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；③若正整数m 和n 满足；m <n ，则m (n －m )≤n 2；④若x >0，且x ≠1，则ln x ＋1ln x ≥2.其中真命题的序号是________．(请把真命题的序号都填上) 答案 ②③解析 对于①，a ＝－2<b ＝－1，a 2>b 2，故①错． 对于④，ln x 不一定为正数，故0<x <1时，ln x ＋1ln x ≤－2.x >1时，ln x ＋1ln x ≥2，故④错． 三、解答题9．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .解析 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b 2≥ab ，b ＋c 2≥bc ，c ＋a2≥ca ，∴lg a ＋b 2≥12(lg a ＋lg b )，lg b ＋c 2≥12(lg b ＋lg c )，lg c ＋a 2≥12(lg c ＋lg a )．以上三式相加，且注意到a 、b 、c 不全相等，故得lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )<0. (1)求证：f (x )为奇函数；(2)求证：f (x )为R 上的增函数． 解析 (1)f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)即f (0)＝0.再令y ＝－x ，f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 由已知得f (x 1－x 2)<0，∴f (x 1－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在R 上是增函数． 11．(2011·吉林长春一模)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)f (3)>0， (1)若a ＝1，求f (2)的值；(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1，x 2，且3<x 1＋x 2<5.分析 本小题主要考查二次函数图象及性质，二次函数、二次方程、二次不等式的关系．解析 (1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2. (2)证明：首先说明a ≠0，∵f (1)f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )>0， 若a ＝0，则f (1)f (3)＝－b 2≤0与已知矛盾， ∴a ≠0，其次说明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2， ∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，∴若a >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而此时f (2)<0， ∴若a <0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而此时f (2)>0. 故二次函数图象必与x 轴有两个不同的交点． ∴二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1，x 2，(或利用Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (6a ＋2b )＝b 2＋8ab ＋24a 2＝(b ＋4a )2＋8a 2>0来说明)∵a ≠0，∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )两边同除以－a 2得(b a ＋3)(ba ＋5)<0，∴－5<b a <－3，∴3<x 1＋x 2＝－ba <5.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)．其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列．分析 本题主要考查使用定义证明等差数列、等比数列，证明方法属于综合法，解题的关键是恰当地处理递推关系．证明 (1)∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， ∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3. ∴(3＋m )a 1＝m ＋3. ∵m ≠3，∴a 1＝1.由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ， ∵m ≠－3， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3.∵m 为常数，且m ≠－3， ∴{a n }是等比数列．(2)由(1)知，b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， ∴n ∈N *，且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1 ⇒1b n －1b n －1＝13.∴{1b n}是首项为1，公差为13的等差数列．13．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求证：{a n ＋3}为等比数列，并求{a n }的通项公式．(2)数列{a n }是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明 ∵S n ＝2a n －3n (n ∈N *)， ∴a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3.又由⎩⎨⎧S n ＝2a n －3n ，S n ＋1＝2a n ＋1－3 n ＋1得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3， ∴a a ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)．(2)解 假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r <s <t )，它们可以构成等差数列． 由(1)知a r <a s <a t ，则2a s ＝a r ＋a t ，∴6(2s －1)＝3(2r －1)＋3(2t －1)，即2s ＋1＝2r ＋2t ， ∴2s ＋1－r ＝1＋2t －r (*)∵r 、s 、t 均为正整数且r <s <t ， ∴(*)左边为偶数而右边为奇数，∴假设不成立，即数列{a n }不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．教师备选题1．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：①a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；②a n ≤M .其中n ∈N *，M 是与n 无关的常数．(1)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n ，且{b n }∈W ，求M 的取值范围；(2)设数列{c n}的各项均为正整数，且{c n}∈W，证明：c n≤c n＋1.解析(1)∵b n＋1－b n＝5(n＋1)－2n＋1－5n＋2n＝5－2n，∴当n≥3时，b n＋1－b n<0，此时数列{b n}单调递减；当n＝1,2时，b n＋1－b n>0，即b1<b2<b3.因此，数列{b n}中的最大项是b3，且b3＝7.于是，M≥7，即M的取值范围是[7，＋∞)．(2)假设存在正整数k，使得c k>c k＋1.由数列{c n}的各项均为正整数可得c k≥c k＋1＋1，即c k＋1≤c k－1.∵{c n}∈W，∴c k＋c k＋22≤c k＋1，∴c k＋2≤2c k＋1－c k≤2(c k－1)－c k＝c k－2.由c k＋2≤2c k＋1－c k及c k＋1－c k≤－1，得c k＋2≤c k＋1－1.∵c k＋1＋c k＋32≤c k＋2，∴c k＋3≤2c k＋2－c k＋1≤2(c k＋1－1)－c k＋1＝c k＋1－2≤c k－3.依次类推，可得c k＋m≤c k－m(m∈N*)．设c k＝p(p∈N*)，则当m＝p时，有c k＋p≤c k－p＝0，这显然与数列{c n}的各项均为正整数矛盾．所以假设不成立，即对于任意n∈N*，都有c n≤c n＋1成立．。