自动控制课件第2章.ppt(2011)

第2章控制系统的数学模型(Mathematical Modeling of Control Systems)2-1 控制系统的微分方程2-2 非线性微分方程的线性化2-3 传递函数2-4 系统传递函数方框图2-5 反馈控制系统的传递函数2-1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程是在时间域表述系统动态性能的数学模型。

1、建立微分方程的步骤1）确定系统的输入量、输出量；2）建立初始微分方程组；3）消除中间变量、微分方程标准化。

2、例题例1 RC 电路（1）确定输入量和输出量输入量输出量iu cu （2）建初始微分方程组（3）消中间变量方程标准化0c idu RC u u dt+=RC 电路是一阶常系数线性微分方程。

c iiR u u +=cdui C dt={例2 机械位移系统（1）确定输入量和输出量输入量()f t 输出量()y t （2）建立初始微分方程组1()()dy t f t cdt=2122()()()()d y t M f t f t f t dt=--{2()()f t ky t =（3）消中间变量方程标准化22()()()()d y t dy t M c ky t f t dt dt++=机械位移系统是二阶常系数线性微分方程。

例3 他励直流电动机(1) 确定输入量和输出量输入量a u 输出量ω干扰量LT (2) 建立初始微分方程组电枢回路方程a a d a di L i R e u dt ++=dde k ω={a a d a di L i R k u dt ω++=电动机动力学方程Ld J T T dtω=-m aT k i ={m a L d J k i T dt ω=-(3)消中间变量, 方程标准化2211L a L d m d m d d m d m dT LJ d RJ d L u T k k dt k k dt k k k dt k k ωωω++=--,/,/(),1//ad mmdd mmL R T RJ k k T k C T J C====22L a m m d a m a m L dT d d T T T C u C T C T dt dtdt ωωω++=--他励电动机数学模型是二阶常系数线性微分方程。

线性微分方程求解+ 2y (t )= x (t )+2d 2y (t )dt 2dy (t )dtx (t ) =δ(t ), y (0) = y'(0) = 0已知求y (t )解方程两边求拉氏变换：s 2Y (s ) + 2sY (s )+ 2Y (s )= X (s )Y (s )= s 2 + 2s +21X (s ) = 1=(s+1)2 + 11求拉氏反变换:y (t ) = e –t sin t拉氏变换求解微分方程的基本思想：线性微分方程（时域t）拉氏变换代数方程（复数域s）求解代数方程的解（复数域s）拉氏反变换线性微分方程的解（时域t）2-2 非线性微分方程的线性化例4 铁芯线圈电路。

r l u u Ri=+由KVL 定律：()l d i u Wdtφ=ru i 输入：输出：电感电压与磁通关系：()r d i u W Ridtφ=+磁通是电流的非线性函数（磁化曲线）：()r d i diu W R idi dtφ=+⋅铁芯线圈数学模型是非线性微分方程。

绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。

当参数范围不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。

非线性可分为非本质非线性和本质非线性。

非本质非线性本质非线性()r d i diu WR idi dtφ=+⋅例4(续)铁芯线圈模型的线性化(1)在平衡点时00220002()1()()()()()2!i i i id i d i i i i i i i di di φφφφ===+-+-+ 00(,)r u i (2)忽略高次项00()()()()i i d i i i i i di φφφ==+-令0()i i d i L di φ==则有00()()()i i L i i φφ=+-00()()()i i L i i φφ-=-（4）增量化方程L iφ∆=∆()i Liφ=(3) 整理非本质非线性模型的线性化处理的特点线性化针对某一平衡点：平衡点不同，得到的线性化方程的系数亦不相同。

线性化的精度：若要使线性化有足够的精度，调节过程中变量偏离平衡点的偏差必须足够小。

线性化后，运动方程的初始条件：线性化后的运动方程式是相对于平衡点来描述的。

因此，可认为其初始条件为零。

不具备线性化的情况：有一些非线性（如继电器特性）是不连续的，不能满足展开成泰勒级数的条件，就不能进行线性化，对于这类属于本质非线性问题要用非线性控制理论来解决。

2-3 传递函数利用拉式变换，还可将线性微分方程转换为复数域的数学模型--传递函数。

传递函数是对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具。

2-3-1 传递函数的定义与特点2-3-2 典型环节的传递函数2-3-1 传递函数的定义与特点系统的结构图0()X s ()i X s 输入的拉氏变换()i X s ()i x t 零初始条件下输出的拉氏变换0()x t 0()X s 系统传递函数的定义：零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。

0()()()i X s G s X s例5 求RLC 电路的传递函数。

(1) 输入量()r u t ()c u t 输出量(2) 电路的微分方程()()r c di u t Ri L u t dt =++(3) 零初始条件下拉氏变换22()()()()c c c r d u t du t LC RC u t u t dt dt++=()cdu i t C dt =2()()()()c c c r LCs U s RCsU s U s U s ++=(4) 传递函数2()1()()1c r U s G s U s LCs RCs ==++传递函数的一般表达式11()()()()00()()1001011n n m m i i n n m m i n n m m d x t d x t d x t d x t a a a x t b b b x t dt dt dt dt------+++=+++ n 阶线性微分方程零初始条件下拉氏变换1110010()()()()nn mm n n n n i a s a sa X sb s b sb X s ----+++=+++ 传递函数101101110()()()mm m m n n i n n X s b s b s b s b G s X s a s a s a s a ----++++==++++ n m≥传递函数的特点(1)传递函数只适用于线性定常系统，仅反映零初始条件下的系统运动过程。

(2)传递函数只与系统的结构和参数有关，与输入量的形式和大小无关，反映系统的固有特性。

(3)传递函数分母中的阶数n 不小于分子中的阶数m 。

(4)传递函数的零点和极点1011011101212()()()()()()()()()mm m m n n i n n m n X s b s b s b s b G s X s a s a s a s a k s z s z s z s p s p s p ----++++==++++---=--- S =z 1 , z 2 ··· , z m—传递函数的零点S =p 1 , p 2 ··· , p n—传递函数的极点k —零极点形式下的放大系数传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。

2-3-2 典型环节的传递函数例6 齿轮传动ix 0x 1z 2z 输入转速输出转速1、比例环节ix 0x 输入齿轮齿数输出齿轮齿数1z 2z 102i x z x z =运动方程：拉氏变换：102()()i X s z X s z =传递函数：012()()()i X s z G s KX s z ===K 齿轮传动比放大系数增益例7 运算放大器输入电压输出电压12R R u u r c -=拉氏变换后得传递函数放大系数u iu 电路方程：0()()()i U s G s KU s ==21R K R =-0()X s ()i X s K比例环节的传递函数0()()()i X s G s KX s ==比例环节方框图比例环节特点输出不失真、不延迟、成比例复现输入信号的变化。

比例环节的单位阶跃响应11K >)()()(00t kx t kx dtt dxci =+2、惯性环节例8弹簧-阻尼系统)(0t x c k)(t x i 输入位移输出位移)(0t x c 为阻尼系数k 为弹簧刚度拉氏变换得：)()()(00s kX s kX s csX i =+由牛顿定律：0))()(()(00=-+t x t x k dt t dx c i 传递函数为11)()()(0+=+==Ts k cs ks X s X s G i k c T =为惯性环节的时间常数本系统之所以成为惯性环节，是由于含有弹性元件k 和阻性耗能元件c 。

0()X s ()i X s 11Ts +惯性环节的传递函数11)(+=Ts s G 惯性环节的方框图惯性环节的微分方程00()()()i dx t T x t x t dt+=惯性环节的单位阶跃响应3、振荡环节u(t)r R u(t)C c i(t)输入量u r (t )输出量u c (t )微分方程：c r di(t)L Ri(t)u (t)u (t)dt ++=c du (t)i(t)Cdt=2c c c r 2d u (t)du (t)LC RC u (t)u (t)dtdt++={例R-L-C 电路)()()()(2s U s U s RCsU s U LCs r c c c =++拉氏变换并求传递函数设LCT =L C R 2=ξ则121)()()(22++==Ts s T s U s U s G r c ξ11)()()(2++==RCs LCs s U s U s G r c 设Tn 1=ω或写成2222222121)(n n n s s Ts T s T s G ωξωωξ++=++=220002()()2()()i d x t dx t T T x t x t dt dtξ++=振荡环节环节的微分方程01ξ<<振荡环节环节的传递函数222()2nn nG s s s ωξωω=++振荡环节环节的方框图0()X s ()i X s 2222nn ns s ωξωω++单位阶跃响应：)sin(11)(20βωξξω+--=-t et x n t nt()i x t 0()x t ()i x t 0()x t 特点：若输入为一阶跃信号，其动态响应具振荡的形式.4、微分环节例2-10 运放电路输入电压输出电压u iu 电路方程：01i du i Cdt u Ri Ri⎧=⎪⎨⎪=-=-⎩0idu u RCdt=-零初始条件下的拉氏变换：0()()i U s RCsU s =-传递函数：T RC=时间常数0()()()i U s G s TsU s ==（不考虑负号）理想微分环节的运动方程()0()i dx t x t Tdt =理想微分环节的传递函数0()()()i X s G s TsX s ==理想微分环节的方框图0()X s ()i X s Ts 理想微分环节的单位阶跃响应1T δ理想微分环节，要求在瞬间能提供无限大的能源、系统中不存在惯性，这在实际中是不可能实现的。