抽象代数模拟试卷(答案)

《抽象代数》考试模拟试卷（答案） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分。

注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。

2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。

一、判断和计算题（共10分） 判断下列代数结构是否为群，并计算群中每个元素的阶： 1）〈 N 6, +6 〉 2）〈 N 6－{0}，∙ 6 〉 答：〈 N 6, +6 〉是群，（7分） 〈 N 6－{0}，∙ 6 〉不是群。

（3分） 学号： 姓名：学院：年级：专业：-------------------------------------------------密－封－线---------------------------------------------------二、证明题（共10分）证明两个群〈G1, + 〉与〈G2, * 〉的积代数〈G1×G2, ⊕〉是群。

答：设G1的幺元为e1，G2的幺元为e2。

对任意21(,),(,),(,)a xb y b y G G∈⨯，1212(,)(,)(,*)(,)a x e e a e x e a x⊕=+=，12(,)e e是G1×G2的幺元。

（3分）((,)(,))(,)((),(*)*)((),*(*))(,)((,)(,))a xb yc z a b c x y za b c x y za xb yc z⊕⊕=++=++=⊕⊕运算⊕是可结合的。

（4分）111112(,)(,)(,*)(,)a x a x a a x x e e----⊕=+=，每个元素存在逆元。

（3分）故〈G1×G2, ⊕〉是群。

三、计算题（共10分）设123456314265a⎛⎫= ⎪⎝⎭，123456514326b⎛⎫= ⎪⎝⎭求a、b和ab在对称群S6中的阶。

答：a的阶是4；（3分）b的阶是6；（3分）123456632415ab⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是6。

（4分）四、证明题（共10分） 设G 是群，且H ≤K ≤G 。

证明：若H G ，K G ，则K /H G /H 。

证明：易证H K 。

（2分） 对任意aH ∈G /H ， kH ∈K /H ，有 111()()()()aH kH aH aHkHa H aka H ---== （3分） 因为aka −1∈K ，所以，11()()()()/aH kH aH aka H K H --=∈。

（3分） 故K /H G /H 。

（2分）五、证明题（共10分） 若A 和B 为环<R ，+，·>的子环，证明A ∩B 也是<R ，+，·>的子环。

证明：显然，0,1A B ∈。

（2分） 对任意,x y A B ∈， 因,x y A x y B +∈+∈，则有x y A B +∈；（3分） 因,x y A x y B ⋅∈⋅∈，则有x y A B ⋅∈；（3分） 因,x A x B -∈-∈，则有x A B -∈；（2分） 故A ∩B 是<R ，+，·>的子环。

号： 姓名： 学院： 年级： 专业： ------------------------------------------------ 密－封 － 线------------------------------------------------------六、计算题（共10分） x + x + 1是<N 5，+5，·5>上的2次不可约多项式。

求域251[]x x N x ++的阶和域中元素x+1的乘法阶。

答：251[]x x N x ++的阶为2525= （4分） 2(1)x x += 32(1)4x x x +=+= 4(1)44x x +=+ 5(1)4x x += 6(1)1x += （6分） 元素x+1的乘法阶为5。

七、证明题（共10分） 证明域Q(i)与域21[]x Q x +同构。

证明：(){|,}Q i a bi a b Q =+∈，21[]{|,}x Q x a bx a b Q +=+∈ 定义映射()f a bi a bx +=+。

显然f 是Q(i)到21[]x Q x +的双射。

（2分） (()())(()())()()()()f a bi c di f a c b d i a c b d x a bx c dx f a bi f c di +++=+++=+++=+++=+++ （4分） (()())(()())()()f a bi c di f ac bd ad bc i ac bd ad bc x ++=-++=-++ 22()()()(1)()()a bx c dx ac ad bc x bdx bd x ac bd ad bc x ++=+++=++-++ 即21()()[()()]()()x f a bi f c di a bx c dx ac bd ad bc x +++=++=-++ （4分） 故f 是同构映射。

10分）设<L，*，⊕>是分配格，a,b∈L。

设X = {x| x∈L 且a*b≤x≤a}Y = {y| y∈L 且b≤y≤a⊕b}且令：f(x) = x⊕b , x∈X。

证明：1）X，Y是L的子格；2）f是X到Y的同构映射。

答：①对任意x1, x2∈X, ∵x1≤a , x2≤a ∴x1*x2≤x1⊕x2≤a∵a*b≤x1, a*b≤x2, ∴ a*b≤x1*x2≤x1⊕x2即x1*x2∈X，x1⊕x2∈X所以X是L的子格。

（2分）②对任意y1, y2∈Y, 同理可证Y是L的子格。

∵y1≤a⊕b , y2≤a⊕b ∴y1*y2≤x1⊕x2≤a⊕b∵b≤y1, b≤y2, ∴b≤y1*y2≤y1⊕y2即y1⊕y2∈Y。

（2分）③∵x ⊕b ≤a⊕b，x⊕b≥(a*b) ⊕ b＝b，即x⊕b∈Y。

∴f对任意y∈Y, 因b≤y, 有a*b≤y*a≤a,f(y*a)=(y*a)⊕b=(y⊕b)*(b⊕a)=y*(b⊕a)=y即f是满射, 所以，f是双射函数。

（2分）④对任意x1, x2∈X, 因为f(x1*x2)=(x1*x2)⊕b=(x1⊕b) * (x2⊕b)= f(x1)*f(x2) （2分）f(x1⊕x2)=(x1⊕x2)⊕b=(x1⊕b)⊕ (x2⊕b)= f(x1)⊕f(x2) （2分）所以f是X到Y的同构映射。

八、应用题（共10分）画出格〈S30，D〉和〈S45，D〉的哈斯图。

指出其中的有补格和分配格。

答：〈S30，D〉和〈S45，D〉的哈斯图：（4分）〈S30，D〉是有补格和分配格。

（4分）〈S45，D〉是分配格。

（2分）九、证明题（共10分）证明在任何布尔代数中下述结论成立：a = b⟺( a * b′ ) ⊕ ( a′ *b ) = 0证明：1）a = b⟹( a * b′ ) ⊕ ( a′ * b ) = 0( a * b′ ) ⊕ ( a′ * b ) = ( a * a′ ) ⊕ ( a′ * a ) = 0 （2分）2) ( a * b′ ) ⊕ ( a′ * b ) = 0 ⟹a = b( a * b′ ) ⊕ ( a′ * b ) = 0 ⟹a * b′ = 0 且a′ * b = 0 （2分）因0(*)()*()a a a ab a a a b a b''=⊕=⊕=⊕⊕=⊕（3分）0(*)()*()b b b b a b b a b a b''=⊕=⊕=⊕⊕=⊕（3分）故a = b。

：姓名：学院：年级：专业：---------------------------------------------密－封－线-------------------------------------------。