抽象代数期末考试试卷及答案教学提纲

抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1----------。

3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。

抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。

A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。

A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。

A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。

5、环Z8的零因子有 -------------- 。

&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。

9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。

《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)=x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x +C. 245x x ++D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。

A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。

A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。

A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B )A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。

一、 单选题
二、 判断题
1.
A 、1
B 、2
C 、3
D 、不能确定
答案： A
2.设A 、B 、C 为集合，下列关系式中不正确的是：（ ）
A 、
null
B 、
null
C 、
null
D 、
null
答案： D
3.指出下列那些运算是代数运算（ ）
A 、
null
B 、
null
C 、
null
D 、
null
答案： D 4.
A 、
null
B 、
null
C 、
null
D 、
null
答案： D 1.
A 、正确
B 、错误
答案： 错误
2.集合X 到Y 的一个映射，如果既是单射又是满射，则称该映射为X 到Y 的一个双射。

三、 填空题
四
、 证明题
A 、正确
B 、错误
答案： 正确
3.若群中元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，则当ab=ba 时，有丨ab 丨=mn 。

A 、正确
B 、错误
答案： 错误
4.环是对规定的加法作成群，对规定的乘法作成半群的代数系统.。

A 、正确
B 、错误
答案： 错误
5.
A 、正确
B 、错误
答案： 正确
1.
答案：
2.
答案：
3.
答案： -4
4.
答案：
5.
答案： abx+ac+c
1.
2.试证：群G的两个子群H，N的交也是G的子群。

答案： <p><br></p>。

抽象代数考试试题及答案
在这份3000字的抽象代数考试试题及答案内容中，将为您详细解
析各种抽象代数考试题目，并给出相应的答案，帮助您更好地理解和
掌握这一领域的知识。

第一题：给定一个环R，证明R中每个理想都是主理想。

解答：首先，我们知道一个环中的理想是一个包含于该环的子集，
并且满足加法和乘法封闭性，对于任意r∈R和a，b∈I（I为R的一个
理想），有ra, rb∈I。

要证明R中每个理想都是主理想，即对于任意理想I，存在一个元
素r∈R，使得I = rR。

我们可以取r为I的一个生成元素，即r为使得I = rR的最小生成元素。

第二题：证明一个整数环不一定是唯一分解整环。

解答：反例：考虑整数环Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，Z并不是唯一
分解整环，因为在Z中存在不满足唯一分解性质的元素。

例如，2可以被分解为2 = (-1)(-2) = 1 * 2，即存在不同的唯一分解形式。

第三题：给定一个域K，证明K[x]（K上的多项式环）是唯一分解
整环。

解答：首先证明K[x]是整环。

然后证明K[x]是主理想整环（PID），意味着K[x]中的每个理想都是主理想。

再进一步证明K[x]是唯一分解
整环（UFD），即K[x]中每个非零元素都可以被分解为不可约元素的
乘积，且这个分解是唯一的。

通过以上试题及解答，我们可以看出在抽象代数领域中，需要深入
理解环、理想、整环、唯一分解整环等概念，并掌握相应的证明方法，才能较好地解决相关问题。

希望以上内容对您有所帮助，祝您学业有成！。

东华大学2014~ 2015学年第一学期期末试题A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称 抽象代数 使用专业 数学2012级 姓名__________学号_________一、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1.设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A 的一个等价关系。

2.设(G ，·)是一个群，那么，对于∀a ，b ∈G ，则(ab)－1＝___________。

3.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的置换之积)。

4.如果G 是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于∀a ∈G ，则元素a 的阶只可能是___________。

5.在3次对称群S 3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的一个正规子群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________。

6.设Z 6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是___________。

7.设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么，n 是___________。

8.设Z ［x ］是整系数多项式环，(x)是由多项式x 生成的主理想，则(x)＝________________________。

9.设高斯整数环Z ［i ］＝{a ＋bi|a ，b ∈Z}，其中i 2＝－1，则Z ［i ］中的所有单位是______________________。

10. 在多项式环Z 11［x ］中，（［6］x ＋［2］）11＝ 。

二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）。

A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等2、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

《抽象代数02009》试卷及标准答案
四、简答题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
26、A,{1,2,3}，B,{a,b}写出AXB及BXA的所有元素。

27、找出模5剩余类环的所有可逆元，并指出其逆元。

Z5
28、假定一个环R对加法来说作成一个循环群，证明:R是交换环。

29、证明两个不变子群的交集还是不变子群。

30、简述一个环作成域的条件，并指出域有几个理想。

31、群G中元a,b,若a,b的阶均有限，问ab的阶是否有限,
32、假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明:HN是G的子群。

五、证明题(本大题共3小题，第33、34小题各7分，第35小题6分，共20分) 233、证明任意偶数阶的有限群至少有一个元a?e，使(e是群G的单位元)。

a,e
34、设R是偶数环，证明:(4)是R的最大理想，但R/(4)不是一个域。

35、假定[a]是整数模n的一个剩余类，证明:若a同n互素，那么所有[a]中的数都同n 互素。

贵州师范大学数学与计算机科学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。

注：本试题共三个大题，16个小题。

满分100 分。

一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。

每小题3分，共15分）1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是( )。

(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。

2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是( ) 。

(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G关于H的所有右陪集；(D) H的所有共轭g(1Hg。

3、设是环同态, 则同态的核( ) 。

(A) Ker(()={a(S: (b(R, ((b)=a}；(B) Ker(()={a(R: ((a)=a}；(C) Ker(()={a(R: ((a)=1}；(D) Ker(()={a(R: ((a)=0}。

4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是( ) 。

(A) ；(B) ；(C) (2；(D) 。

5、设I是交换环R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是( ) 。

(A) R一定是特征为3的域; (B) 商环R/I中有27个元素;(C) R可能是域且I是R的子域，[R : I]=3;商环R/I一定是特征为3的域。

二、简答题（每小题6分，共30分）6、剩余类环Z6是域吗？为什么？7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？8、300阶群G有7阶元吗? 为什么？9、x3(2是实数(1在有理域上的极小多项式吗？为什么？10、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。

三、解答题11、(7分) 把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积12、(8分) 计算20072007 (mod 5)13、(10分) 设f(x)=x4+x+1(Z2[x],(1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式;(2) 证明: f(x)在Z2[x]中不可约;14、(10分) 设G是群, Z(G)={a(G: (g(G, ga=ag}是G的中心. 证明:(1) Z(G)是G的正规子群;(2) 如果商群是循环群, 则G是交换群。

抽象代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 群的元素满足的运算性质不包括以下哪一项？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 恒等元答案：C2. 以下哪个不是环的基本性质？A. 加法和乘法的封闭性B. 加法的结合律C. 加法和乘法的交换律D. 乘法对加法的分配律答案：C3. 向量空间的基具有什么性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 可以是任何一组向量D. 包含向量空间中所有向量答案：A4. 以下哪个不是群同态的性质？A. 保持群的运算B. 保持群的恒等元C. 保持群的逆元D. 保持群的子群答案：D5. 有限群的拉格朗日定理表述了什么？A. 群的阶数等于其任意子群的阶数B. 群的任意子群的阶数能整除群的阶数C. 群的任意子群的阶数等于群的阶数D. 群的阶数能整除其任意子群的阶数答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个群G的元素a的阶是最小的正整数n，使得______。

答案：a^n = e2. 如果环R中任意两个元素a和b满足ab=ba，则称R为______。

答案：交换环3. 向量空间V的一个子集W，如果W非空且对向量加法和数乘封闭，则称W为V的一个______。

答案：子空间4. 线性变换T: V → W，如果对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，都有T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)且T(cv) = cT(v)，则称T为______。

答案：线性的5. 一个群G的所有子群构成的集合，在包含关系下构成一个______。

答案：格三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述群的同态和同构的定义。

答案：群的同态是指两个群之间的函数，它保持群的运算。

具体来说，如果有两个群(G, *)和(H, ·)，函数f: G → H是一个同态，当且仅当对于所有a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) · f(b)。

同构是指一个双射同态，即同态f既是单射也是满射，这意味着G和H在结构上是相同的。

班号学号姓名成绩《抽象代数》期末考试卷注意事项：1、请大家仔细审题2、千万不能违反考场纪律题目：一、判断题（每小题2分，共20分）(⨯) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。

(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。

(√) 3、任何群都与一个变换群同构。

(√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。

(√) 5、素数阶群必为循环群。

(⨯) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。

(√) 7、环的理想构成其子环。

(⨯) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。

(⨯) 9、格保序映射必为格同态映射。

(√) 10、设A⊆S，则< P(A)，⊆ > 是格< P (S)，⊆ > 的子格。

二、填空题（10分）1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。

2、设〈G，*〉为群且a∈G。

若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；并且 a k = e 当且仅当__n | k3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。

4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+25、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。

对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。

三、计算题（40分，每小题8分）1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。

解：所有子群是：<{1}, •11 ><{1, 3, 4, 5, 9}, •11 ><{1, 10}, •11 >< N11—{0}，•11 >2、试求群 < N 7 ，+7 > 的所有自同态。

解：设f 为群 < N 7 ，+7 > 的自同态，则：f(x) = f (1) +7 f (x-1) = f (1) +7 f (1) +7f (x-2) =… = x f (1) mod 73、设有置换：试求 P 2 和Q ︒ P 。