2015-2016高中数学 人教A版选修1-2 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念 学案

3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
姓名 ： 班级 ： 编制：陈永军 审核:方德兴
课前双击预习案A
一 学习目标
1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程。

2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到负数集出现一些基本概念。

3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件。

二 重难点
1.复数的概念及运算性质。

2.复数相等的充要条件。

三 教学过程
1 复数定义；
2．虚数单位i.
(1)它的平方等于－1，即i 2＝－1．
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
3．复数的代数形式．
(1)形如z ＝a ＋b i (a ，b ∈R)的数叫做复数，a ＋b i 叫做复数的代数形式，a 和b 分别叫做复数z 的实部和虚部．
4. 复数的分类
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的分类．
复数⎩⎨⎧实数（b ＝0）
虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0，且b ≠0）非纯虚数（a ≠0，b ≠0）
5．复数相等的充要条件．
复数a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)⇔a ＝c 且b ＝d (把复数问题划归为实数问题)．
自我小测 例题讲解
1．复数(2＋3)i 的实部是( )
A ．2 B. 3 C ．2＋ 3 D ．0
2．如果C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，那么有(D )
A ．C ＝R∪I
B ．R∩I＝{0}
C ．R ＝C∩I
D ．R∩I＝Ø
3．下列命题：①i 是－1的一个平方根；②－i 是一个负数；③如果a ＋b i ＝3＋4i(a 、b ∈C)，则a ＝3，b ＝4.其中正确的命题的个数是________________________________________________________________________．归纳小结：
（一）虚数单位i 及其性质
为了解决x 2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i ，叫做虚数单位，它的平方等于－1，它可以与实数进行四则运算．
（二）复数的代数形式和复数的分类
(1)复数的代数形式z ＝ a ＋b i 要求a 和b 必须是实数，否则不是代数形式．
(2)若z 是纯虚数，可设z ＝b i (b≠0，b ∈R)；若z 是虚数，可设z ＝a ＋b i(b ≠0，b ∈R)；若z 是复数，可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)．
(3)形如z ＝b i 的数不一定是纯虚数，只有b ≠0，b ∈R 时，才是纯虚数，否则不是纯虚数．
（三）复数相等的概念
(1)两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别相等，它是把复数问题转化为实数问题的主要手段．
(2)应用复数相等的充要条件时，首先要把“＝”左右两边的复数形式写成代数形式，即分离实部和虚部，然后列出方程求解．
注意：(1)根据复数相等的定义，在a ＝c ，b ＝d 两式中，只要有一个不相等，则a ＋b i ≠c ＋d i .
(2)若两个复数全是实数，则可以比较大小．反之，若两个复数能比较大小，
则它们必是实数(如a ＋b i ＞0⇔⎩
⎨⎧a ＞0，b ＝0) (3)若两个数不全是实数，则不能比较大小．
课后小结
1．虚数单位i 具有两条性质：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1.
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立．
2．关于复数的代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)，注意以下几点：
(1)a，b∈R，否则不是代数形式．
(2)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数．
反之，若z是纯虚数，可设z＝b i(b≠0，b∈R)；
若z是虚数，可设z＝a＋b i(b≠0，b∈R)；
若z是复数，可设z＝a＋b i(a，b∈R)．
(3)形如b i的数不一定是纯虚数，只有b≠0且b∈R时，才是纯虚数．
3．两个复数只能说相等或不相等，不一定能比较大小．
关于这一点的理解要注意以下几点：
(1)根据复数a＋b i与c＋d i(a，b，c，d∈R)相等的定义，可知在a＝c，b ＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋b i≠c＋d i.
(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
课后提升限时练B
1．(2013·广州一模)已知i是虚数单位，则复数1－2i的虚部为( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
2．若复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
3．若x，y∈R，且3x＋y＋3＝(x－y－3)i，则x＝______，y＝______．
4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，求实数m的值．
5．已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则z∈R的充要条件是( )
A．a＋b＝a－b i B．a＋b i＝－a＋b i
C．ab＝0 D．a＝b＝0
6．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
7．(3－1)i的实部是( )
A. 3 B ．1 C ．－1 D ．0
8．i 是虚数单位，1＋i 3等于( )
A ．i
B ．－i
C ．1＋i
D ．1－i
9．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋(a 2－1)i ，a ∈R ，i 是虚数单位}，若A ⊆R ，则a ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．±1 D．0
10．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件
11.m ＝________时，复数lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是实数．
12.若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x ＝________．
13.已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{1，－1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m .
14．已知，关于实数x ，y 的方程组：
⎩⎨⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ， ①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②
有实数解，求实数a ，b .
►品味高考
1．(2014·江苏高考改编)已知复数z ＝25＋20i ＋4i 2(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ．
2．(2013·安徽卷改编)设i 是虚数单位，若复数(a －3)－i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3。