线性代数知识点1至5章

第一章 矩阵

矩阵的概念：

nmA

*（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)

矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律

数乘

nmijkakA

*)(---------分配、结合律

乘法nml

kjiknlkjlmikbabaBA

*

1**)()(*)(*



（一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0）

转置：AATT

)(

TTT

BABA)(

TT

kAkA)(

TTT

ABAB)(

方幂：

2121kkkk

AAA



2121)(kkkk

AA



逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的，

且BA1

矩阵的逆矩阵满足的运算律：

1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且AA11

)(

2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且111

)(

A

kkA

3、可逆矩阵A的转置T

A

也是可逆的，且TT

AA)()(11



4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且111

)(

ABAB

，但是两个可逆矩

阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但11

)(

BABA

。A为N阶方阵，若|A|=0，

则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

5、若A可逆，则1

1



AA

逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B一定是方阵 ②BA=AB=I则A与B一定互逆；

③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。

分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵

转置：每块转置并且每个子块也要转置

注：把分出来的小块矩阵看成是元素

初等变换：

1、交换两行（列）

2.、非零k乘某一行（列）

3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）

初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆

初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

等价标准形矩阵











OOOI

Dr

r

第二章 行列式

N阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和

1

第一章 行列式

4.计算下列各行列式：

（1）71100251020214214； （2）2605232112131412； （3）efcfbfdecdbdaeacab； （4）dcba100110011001

解

(1)7110025102021421434327cccc0100142310202110214=34)1(143102211014=143102211014

321132cccc1417172001099=0

(2)260523211213141224cc260503212213041224rr0412032122130412 14rr0000032122130412=0

(3)efcfbfdecdbdaeacab=ecbecbecbadf=111111111adfbce=abcdef4

(4)dcba10011001100121arrdcbaab100110011010=12)1)(1(dcaab101101 2 23dcc010111cdcadaab=23)1)(1(cdadab111=1adcdababcd

5.证明: (1)1112222bbaababa=3)(ba; (2)bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax=yxzxzyzyxba)(33;

(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa;

(4)444422221111dcbadcbadcba))()()()((dbcbdacaba))((dcbadc;

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精彩文档 线性代数复习要点

第一部分 行列式

1. 排列的逆序数

2. 行列式按行（列）展开法则

3. 行列式的性质及行列式的计算

行列式的定义

1. 行列式的计算：

① (定义法)1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa1

②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

1122,,0,.ijijinjnAijaAaAaAij 实用标准文案

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③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

11221122***0**0*00nnnnbbAbbbb

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精彩文档 ④ 若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1

例 计算 2-100-1300001100-25

解 2-100-1300001100-25=2-1115735-13-25

⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaO1

⑥ 范德蒙德行列式：1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxx111

例 计算行列式

实用标准文案

精彩文档 ⑦ ab型公式：1[(1)]()nabbbbabbanbabbbabbbba

⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨ (递推公式法) 对n阶行列式nD找出nD与1nD或1nD,2nD之间的一种关系——称为递推公式，其中

nD,1nD,2nD等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法.

线性代数知识点总结

第一章 行列式

第一节：二阶与三阶行列式

、 a ii

把表达式 a ii a22 ai2a2i称为

a 21 a 12

12所确定的二阶行列式，并记作

a 22

a11 ai2 ai3 8ii 812 813

表 a21 a22 a23 所确定的三阶行列式，记作 821 822 823 。

a31 a32 a33

831 832 833

ai1 ai2 ai3

即 a21 a22 a23 = 811822833 812823831 813821832 811823832 812821833 813822 831,

a31 a32 a33

二三阶行列式的计算：对角线法则（课本 P2，P3）

注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组和三元方程组：

对二元方程组 aii

a21 a22 ai1 a22 ai2a2i.结果为一个数。 （课本P1）

同理，把表达式 aiia22a33 ai2a23a31 ai3a2ia32 aiia23a32 ai2a2ia33 3|3822*31,称为由数 ai1 ai2

a 2i ai2

设D 8ii 812 0 Di

821 822

bi ai2

则Xi Di b2 822

D 811 ai2

821 8 22

811X1 812X2

对三兀方程组 821 X| 822X2

831X1 832X2

8ii 812 813

设D 821 822 823 0 ,

831 a32 833

D ^2

b? 822 D2 811

821 3 ・

8ii bi

D2

X2 D 821 b2

811 812 ・（课本P2）

821 8 22

813X3 bi

823X3 b2 ,

833X3 b3

a〔i X| a^2

X2 a?i X|