固体物理13-18参考答案
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=0
0* 0* 0* 0* φK , φK , φK , φK 左乘方程，对x积分, 可得 分别以
0 1 2 3
( E0 − E )a (0) + U K0 − K1 a ( K1 ) + U K0 − K2 a ( K 2 ) + U K0 − K3 a ( K 3 ) = 0 U K1 − K0 a (0) + ( E0 − E )a ( K1 ) + U K1 − K2 a ( K 2 ) + U K1 − K3 a ( K 3 ) = 0 U K2 − K0 a (0) + U K2 − K1 a ( K1 ) + ( E0 − E )a ( K 2 ) + U K2 − K3 a ( K 3 ) = 0 U K3 − K0 a (0) + U K3 − K1 a ( K1 ) + U K3 − K2 a ( K 2 ) + ( E0 − E )a ( K 3 ) = 0
Rs = Nearest
∑
e
− ik ⋅ Rs
将
a a k ⋅ Rs = k x i + k y j + k z k ⋅ i + j + 0k 2 2 a k ⋅ Rs = (k x + k y ) 2
2
2m
k12 − U k =
2 1 2 1
2
2m
2 k2 + U k ,
2
2m
2 2 2 2
2 k12 − k2 ) = 2 U k (
π k = ρ + a 4π m 2 2 2 2 π ( ρ1 − ρ 2 ) = π ( k1 − k2 ) = 2 U k
2 2
π k = ρ + , a
1 i ( kBiblioteka + Km ) i r ∑ a ( K m )e NΩ m
波函数中除了含有 a (0), a ( K1 ), a ( K 2 ), a ( K 3 ) 的项外，其它 项都可忽略，波函数可近似为
1 i ( k + K1 ) i r i ( k + K2 ) i r ik i r [a (0)e + a ( K1 )e Ψ k (r ) = + a ( K 2 )e NΩ i ( k + K3 ) i r ] + a ( K 3 )e
因此只有 2π 2π , , a a
2π 2π ,− − a a
,
2π 2π ,− a a
,
2π 2π , − a a
这四个倒格矢的傅氏展开系数为−U, 其余的傅氏展开系数为0。 π π 因为, k = , 在布里渊区顶处，自由电子能量是四重简 a a 并的
薛定谔方程
H 0 Ψ k (r ) + H ' Ψ k (r ) = E Ψ k (r )
0 K0 0 K1 0 K3
a ( E0 − E + U )φ + a ( K1 )( E0 − E + U )φ
0 K2
+ a ( K 2 )( E0 − E + U )φ + a ( K 3 )( E0 − E + U )φ
ρ1 ≈ ρ 2 = k0 π (ρ − ρ
2 1 2 2
) = π (ρ
(
1
+ ρ 2 )( ρ1 − ρ 2 ) = 2π k0 ⋅ ∆k0 =
2m
2
4π m
2
VG
∆k0 =
2 1
VG = VG
圆环面积 π ρ − ρ
2 2
)=
4π m
2
VG = 2π VG
习题 4.4 用紧束缚近似求出体心立方和面心立方晶体s 态原子能 级相对应的能带ES(k)函数。求相应的能带宽度。 能量本征值
∑
J ( Rs )e
− ik ⋅ Rs
ϕ s (−r ) = ϕ s (r )
J1 = J ( Rs ) = − ∫ ϕi* (ξ − Rs )[U (ξ ) − V (ξ )]ϕi (ξ )}dξ > 0
J ( Rs )
具有相同的值
s
表示为
J1 = J ( Rs )
E ( k ) = ε s − J 0 − J1
E0 − E U K2 − K3
E0 − E 0 0 −U
0 E0 − E −U 0
0 −U E0 − E 0
4
−U 0 0 E0 − E
=0
E0 − E ) − U 4 = 0 (
E 的四个根为：
E0 + U , E0 + U , E0 − U , E0 − U
因此能隙为 2U
例题15.1 某种简单立方结构晶体，按近自由电子近似求得 电子的费米能为：EF = EK/2 − |UK|+∆ 此处K = 2π/a (1,0,0)，EK/2为K/2 点自由电子的能量，UK 为 对应K 的傅立叶系数。 证明：(1) 当∆ < 0 时费米面只在第一布里渊区内 (2) 当0 < ∆ < 2|UK|时费米面与第一布里渊区的交线为一圆 周，其半径为
其中 a =4b，ω为常数 （1）试画出此势能曲线，并求其平均值。 （2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个 带隙宽度。
势能曲线
势能的平均值： V =
∫
0
L
1 − ikx 1 ikx e V ( x) e dx L L
na + b
V =N
na − b
∫
1 − ikx 1 2 2 2 1 e mω [b − ( x − na ) ] eikx dx L 2 L
由 a (0), a ( K1 ), a ( K 2 ), a ( K 3 )的系数行列式等于0
E0 − E U K1 U K2 U K3 U − K1 U K2 − K1 U K3 − K1 U − K2 U − K3 U K1 − K3 E0 − E =0
E0 − E U K1 − K2 U K3 − K 2
2m∆
2
(3) 当∆ > 2|UK|时费米球进入第二布里渊区，在布里渊区边 界上交成半径为ρ1，ρ2的两个圆，这两个圆之间的面积为
4π m
2
UK
解： (1) 当∆ < 0 时，EK/2 − |UK|+∆ < EK/2 − |UK|。因为EK/2 为 K/2 点自由电子的能量，此时自由电子费米球与第一布里 渊区边界面相切。EK/2 −|UK|是半径为K/2 的近自由电子费 米球面上电子在布里渊区边界面上属于第一布里渊区的能 量。EK/2＋|UK|是半径为K/2 近自由电子费米球面上电子在 布里渊区边界面上属于第二布里渊区的能量。因此当0 < ∆ 时，近自由电子费米球的半径将小于K/2，故费米能面只 在第一布里渊区内。
2 2 π 2 π 2 2 + k y + k z − U k = − U k + ∆ = EF 2m a 2m a 2
k +k =
2 y 2 z
2m∆
2
故交线为一圆周, 半径为
2m∆
2
(3) 第一布里渊区边界上的能隙为2|UK| 。当 ∆> 2|UK|时 EF = EK/2−|UK| + ∆ > EK/2 +|UK| 费米面进入第二布里渊区. 在布里渊区边界两侧, 费米面的 截线为两个圆。
将
i
2π n⋅ξ a
V (ξ )dξ
1 mω 2 ( b 2 − ξ 2 ) , 当 − b ≤ ξ ≤ +b V ( x) = 2 0 , 当 + b ≤ ξ ≤ −b
2π i n⋅ξ a
代入
1 +b 1 2 2 2 V ( n) = ∫ e mω (b − ξ )d ξ 2 a −b 2π 2 mω + b i a n⋅ξ 2 2 (b − ξ )d ξ = e ∫−b 2a
(−1)l f ( x − la ) ∑
l =−∞
其中f(x − la) 是个确定的函数。试求布洛赫电子在这些 状态的简约波矢。
4.3 电子周期场的势能函数为
1 2 b 2 − ( x − na ) 2 , 当 na − b ≤ x ≤ na + b mω V ( x) = 2 0 , 当 (n − 1)a + b ≤ x ≤ na − b
2π U ( x, y ) = −4U cos a
π π , 处的能隙。 a a
2π x cos y a
用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角,
解:
2π 2π 2π 2π U ( x, y ) = −2U cos x+ y + cos x− y a a a a π π π π π π π π i 2a , 2a ( x , y ) − i 2a , 2a ( x , y ) i 2a ,− 2a ( x , y ) − i 2a ,− 2a ( x , y ) = −U e +e +e +e
面心立方晶格如图所示。任意选 取一个格点为原点。有12 个最 邻近的格点，其位置为
a a , 2, 2 a, −a, 2 2 − a , a , 2 2 a a − , − , 2 2
a a 0 0, , 2 2 0, − a , a 0 2 2 , , 0, a , − a 0 2 2 a a 0 0, − , − 2 2
