完全平方公式学案

因式分解学案：用完全平方公式进行因式分解学案导语因式分解是数学中的重要内容之一，它有助于我们研究多项式的性质和解决实际问题。

在因式分解中，完全平方公式是一项非常有用的工具。

本学案将重点介绍如何使用完全平方公式进行因式分解，并结合一些实际例子来帮助学生更好地理解和掌握。

一、什么是完全平方公式完全平方公式是一种用于因式分解的工具，它能够将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。

完全平方公式的一般形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$其中，$a$和$b$为任意实数。

二、应用完全平方公式进行因式分解的步骤使用完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 首先，观察多项式是否符合完全平方公式的形式。

即判断多项式中是否存在两个项的和的平方。

2. 如果存在两个项的和的平方，将多项式化简为完全平方形式。

3. 将多项式因式分解为两个完全平方的乘积。

下面通过具体的例子来详细说明应用完全平方公式进行因式分解的步骤。

例子1：将多项式$x^2+6x+9$进行因式分解。

解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。

$x^2+6x+9$可以化简为$(x+3)^2$。

因此，多项式$x^2+6x+9$的因式分解为$(x+3)(x+3)$。

例子2：将多项式$x^2-10x+25$进行因式分解。

解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。

$x^2-10x+25$可以化简为$(x-5)^2$。

因此，多项式$x^2-10x+25$的因式分解为$(x-5)(x-5)$。

通过以上两个例子，我们可以发现，完全平方公式能够帮助我们将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，从而简化计算和分析的过程。

三、完全平方公式在实际问题中的应用完全平方公式不仅仅是一种数学工具，它也有着广泛的应用。

下面通过一个实际问题来展示完全平方公式的应用。

问题：一块长方形的草坪，长为$x+5$米，宽为$x$米。

假设整个草坪是用来修剪的，修剪时只修剪草坪周边的一段宽度为$x$米的土地。

完全平方公式【知识要点】1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++； ②()2222a b a ab b -=-+.2．完全平方公式相关变形及推广：○1()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；○2ab b a b a 4)()(22=--+;○3()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦；○4()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；○5()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++【典型例题】例1．课前热身训练：（1）()23a b + （2）()23x y -+ （3）210151⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x （4）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd （5） ()22x y z +- （6） 2199 （7）22)2131(y x - （8）)2)(2(4)2(2y x y x y x +--- 例2．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和ab 的值例3．(1) 已知13a a +=，求221a a +和441a a+的值. (2)若xy y x y x -+-=-2,322求 的值. 例4．若a+b+c=0, 222a b c ++=1,试求bc+ac+ab 的值.例5．（1）已知：式子481162++kx x 是一个完全平方式，求k 的值. （2）已知223a x x +-是完全平方式.求a 的值.例6．下列各式可以写成完全平方公式的有（ ）①22y xy x ++ ②2241b ab a +- ③2244n mn m ++ ④291a a +-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例7. 如果0136422=+--+y x y x ，求xy. 【初试锋芒】1．（35x + ）2=22962525x xy y ++ 2．22216______9(_______)b a +-= 3．22____)(_____10+=++x x x 4．()2a b c -+=5．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+=6．如果m ab a +-30252 是一个完全平方式，那么m=________.7．下列等式不成立的是（ ）A. ()222396a b a ab b -=-+B. ()()22a b c c a b +-=--C. 2221124x y x xy y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭D. ()()()2244x y x y x y x y +--=- 8．下列各式中计算结果是222ab a b --的是（ ）A. ()2a b -B. ()2a b --C. ()2a b -+D. ()2a b +9．下列各式中，能直接用完全平方公式计算的是（ ）A. )35)(53(a b b a ---B. )45)(53(b a b a +--C. )35)(53(a b b a +--D. )53)(53(b a b a +-10. 观察下面等式的规律： ①()()22221122121+⨯+=⨯+；请写出第n 个的等式： 11. (1)()234x y -- (2) 222)2(x x - (3) 28.99 12．已知1452=-x x ，求1)1()12)(1(2++---x x x13．已知b a b ab b a +=+--+求,0444522 【大展身手】1．22)815()(4525y x xy x -=+- 2．141(______)22+-=y y 3．已知222221,32y xy x y x +-=-则的值是_______. 4．212a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭运算结果是（ ）A. 2214a b +B. 2214a b -C. 2214a ab b ++D. 221124a ab b ++ 5．运算结果是24221m n mn -+的是（ ）A. 22(1)mn -B. 22(1)m n -C. 22(1)mn --D. 22(1)mn + 6．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ）A. 0B. 2m nC. 22m n -D. 24m n 7．若249x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ）A. 6，-6B. 12C. 6D. 12，-128． 若3n m =+，则的值为（ ）A ．12B ．C ．3D ．0 9．已知y x y x y x >=+=+且,7,2522，则x-y 的值等于10．若___________,,124)2(22==+-=-N M N x x M x 则 11. 已知110a a +=，求221a a +和21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 12． 已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值． 13．已知：3,1a b ab +==.求 ①22a b + ②2()a b - ③22ab a b + ④11a b + 14．101322)(,014613x y x x y xy x ⋅+=+-+-求 的值.222426m mn n ++-6。

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课题：9.12完全平方公式（1）班级__________ 姓名__________ 学号_____【学习目标】1、知道完全平方公式与多项式乘法的关系，理解完全平方公式的意义；2、熟悉完全平方公式的结构特征，能熟练地应用完全平方公式进行计算；【新课阅读】一、复习引入：1、计算：（1）)2)(2(y x y x -+； （2）)2131)(2131(n m n m +-；（3）)2)(2(x y y x --+-； （4）))((b a b a ++；2、想一想：如何计算()223x y +呢？二、学习新知：1、观察完全平方公式，并回答：（1）公式的左边有什么特点？ ___________________________________________；公式的右边有什么特点？ ___________________________________________；（2）你能用自己的语言叙述这个公式吗？2、猜想：()2a b -＝__________________________；说明：3、归纳：完全平方公式口诀表述：。

4三、例题讲解：1、根据例题，计算：（1）()22x y -； （2）()24a b --； （3）21132m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（4）21243a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （5）2)221(+-mn ； （6）2)3443(n m --；归纳：中间项符号法则：_________________________________。

四、阅读检测： 1、运用完全平方公式计算：（1）2102；（2）2197；（3）21142⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）279.8；2、计算：（1）()()()22m n m n m n +--； （2）()()()2222a b a b a b ⎡⎤++--⎣⎦；（3）221133a b a b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()()()23232y x y x x y +-+-+；3、先化简，再求值：()()22233a b a b ++-，其中12a =，12b =-。