初四尖子生测试
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初四提优测试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A.（2π
，n ）
B.（m ，n ）
C.（m ，2n ）
D.( 2m ,2
n
)
3．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为
4．如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，以AB 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．14π
B ． 2
1-π
C ．12
D ．11
4
2π+
5.出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ） A ．（1，4） B ．（5，0） C ．（6，4） D ．（8，3）
6 下图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36
岁统计在36≤x＜38小组，
而不在34≤x＜36小组），
根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（
） A ．该学校教职工总人数是50人 B ．年龄在40≤x＜42小组的教职工人数占该学校总人数的20%
C ．教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42这一组
D ．教职工年龄的众数一定在38≤x＜40这一组
7. 如右图，直线AB 交双曲线x
k
y =于Ａ、B ，交x 轴于点
C,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，
连结OA.若OM=2MC,S ⊿OAC =12.则k
A
第4题图
第2题图
第6题图
的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．5 8．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a ，BD=b ，CD=c ，
9．如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，
10．如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数x
y =的图象的一支经过矩形对角
线的交点P ，则该反比例函数的解析式是（ ） C D
二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．函数x y 1
=与y=x －2图象交点的横坐标分别为a ，b ，则b
a 11+的值为
______________．
12．一组数据1，3，2，5，2，a 的众数是a ，这组数据的中位数是 . 13.如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、
F 分别在BC 和CD 上．下列结论：① CE=CF ；
②∠AEB=75°；③BE ＋DF=EF ；④S 正方形ABCD =2+
其中正确的序号是___________．
14.如图，在函数)0(8
>=x x
y 的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1，
点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1= ，S n = ．（用含n 的代数式表示）
A
B C
D E
F
第13题图
第8题图 第9题图 第10题图 第14题图
15．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.
三、解答题：本大题共7小题，共55分.
16．（6分）先化简，再求值：x
x x x x x
-+-÷
+--11
44)11(22
， 其中x 满足x 2+x ﹣2=0． 17．（6分）关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2﹣8x+9=0有实根． （1）求a 的最大整数值；
（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求11
87
32222+---x x x x 的值．
21．阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a +b ≥ab 2．当且仅当a=b 时，“=”成
立．
证明：∵（b a -）2
≥0，∴a ﹣ab 2+b ≥0．
∴a+b ≥ab 2．当且仅当a=b 时，“=”成立．
举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值． 解：y=2x+
≥
=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．
当x=1时，函数取得最小值，y 最小=4．
A
B
第15题图
问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（
+
）升．若该
汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升． （1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； （2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．
19、（7分）如图，已知直线y=21x 与双曲线y=x
k
（k ＞0）交于A 、B 两点，点B
的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲线y=x
k
（k ＞0）上一点，且在第一象限内，若
△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为 ．
20． (10分) （1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外做等边△ABD 和等边△ACE ．连接BE ，CD ．请你完成图形，并证明：BE=CD ；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）
A B C 第20题图
1
第19题图
（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外做正方形
ABFD 和正方形ACGE ．连接BE ，CD ．BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由．
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠
∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE ．求BE 的长．
21．（10分）烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问： （1）苹果进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
A B C F D
G
E
第20题图2
第20题图3
22．（10分）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
第22题图
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF ，QE与QF的数量关系式QE=QF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．。
