第一章一元二次方程1．关于x 的方程ax 2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）A ． a ＞0B ． a≥0 C． a≠0 D． a=12．若关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k+1）x+1=0的两个实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．且k≠0 D．且k≠0 3．方程)3()3(+=+x x x 解是（ ）.A ．x ＝1B ．1x ＝0， 2x ＝－3C ．1x ＝1，2x ＝3D ．1x ＝1，2x ＝－34．已知α，β是方程x 2+xxx+1=0的两个根，则（1+xxα+α2）（1+xxβ+β2）的值为（ ）．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，统计共握手630次．若设参加此会的学生为x 名，根据题意可列方程为（ ）A ． ()1630x x +=B ． ()1630x x -=C ． ()21630x x -=D ． ()16302x x -=⨯6．要使关于x 的方程x 2﹣2x +3k =0有两个不相等的实数根，则下列k 的取值正确的是（ ）A ． 1B ． 2C ． 13D ． 147．一个三角形的两边长分别为5和6，第三边的长是方程（x ﹣1）（x ﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）A ． 15B ． 12C ． 15或12D ． 以上选项都不正确8．某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）A ．1185（1-x ）2=580B ．580（1+x ）2=1185C ．1185（1+x ）2=580D ．580（1-x ）2=11859．某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x ,则满足x 的方程是（ ）A ．256x )12892=+（ B ．256x )12892=-（C ．289x )12562=+（ D ．289x )12562=-（ 10．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A ．2x+1=0B ．y 2+x=1C ．x 2+1=0D ．112=+x x 11．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个根，则x 1x 2=_________．12．已知是关于方程的一个根，则的值为______． 13．若实数x 满足03)3(2)3(222=--+-x x x x ，则x x 32-的值是（ ）14．已知x=1是方程x 2+mx-3=0的一个实数根，则m 的值是 .15．一元二次方程x (x + 2) = x + 2的根是____________.16．若一个数的平方等于这个数的3倍，则这个数为_______ ．17．若关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，则a 的值是______．18．已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x 2－17x ＋66＝0的根则此三角形的周长为_______.19．已知是方程的一个根，则的值为______. 20．已知关于x 的方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．21．选择合适的方法（1）206)2(2=--x （2）12=-x x（3）x x 3182-=- （4）04)1(3)1(2=-+-+x x（5）0982=+-x x （6）22．某商场销售一种学生用计算器，进价为每台20元，售价为每台30元时，每周可卖160台，如果每台售价每上涨2元，每周就会少卖20台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元，当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？23．如图，矩形ABCD的边BC与x轴重合，连接对角线BD交y轴于点E，过点A作AG⊥BD于点G，直线GF交AD于点F，AB、OC的长分别是一元二次方程x²-5x+6=0的两根（AB＞OC），且tan∠ADB=34.（1）求点E、点G的坐标；（2）直线GF分△AGD为△AGF与△DGF两个三角形，且S△AGF：S△DGF =3:1，求直线GF的解析式；（3）点P在y轴上，在坐标平面内是否存在一点Q，使以点B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.24．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？答案：1．C解析：由关于x的方程ax2−3x+2=0是一元二次方程，得a≠0.故选；C.2．D试题分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．解：根据题意列出方程组，解得k≥﹣且k≠0．故选：D．3．D.试题分析：根据此方程特点，先移项得：x(x+3)-(x+3)=0，左边因式分解：（x-1）(x+3)=0，于是有x-1=0,x+3=0，解得：x1=1， x2=-3，故选D.4．D解析：∵α、β是方程x2+xxx+1=0的两个根，∴α2+xxα+1=0，β2+xxβ+1=0，∴（1+xxα+α2）（1+xxβ+β2）=2α•2β=4αβ，∵α、β是方程x2+xxx+1=0的两个根，∴αβ=1，∴（1+xxα+α2）（1+xxβ+β2）=4×1=4．故选C．5．D解析：每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数×（学生数-1）=总握手次数×2，设参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x-1）次，可列方程为x（x-1）=253×2.故选：D．6．D 试题解析：∵a=1，b=-2，c=3k，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×3k=4-12k＞0，解得：k＜13．故选D．点拨：此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．A解析：∵（x-1）（x-4）=0，∴x1=1，x2=4，当x=1时，1+5=6（不合题意，舍去），∴x=4，∴这个三角形的周长=5+6+4=15，故选A.8．A试题分析：本题可先解出第一次降价的手机价格，再根据第一次的售价解出第二次的售价，令它等于580即可．第一次降价的手机售价为：1185（1-x）元，则第二次降价的手机售价为：1185（1-x）（1-x）=1185（1-x）2=580；故本题选B．9．B.试题分析：第一次降价后的价格为289×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为289×（1-x）×（1-x），则列出的方程是289×（1-x）2=256．故选B.试题解析：A 、2x+1=0未知数的最高次数是1，故错误；B 、y 2+x=1含有两个未知数，故错误；C 、x 2+1=0是一元二次方程，正确；D 、是分式方程，故错误．故选C ．11．1试题分析：直接根据根与系数的关系求解．解：根据题意得x 1x 2=1．故答案为1．12．16 分析：先利用一元二次方程解的定义得到2-2=8，然后把变形为2（2-2），再利用整体代入的方法计算． 详解：∵是关于方程的一个根，， ∴2-2-8=0， ∴2-2=8， ∴=2(2-2)=2×8=16. 故答案为：16. 点拨：此题考查了一元二次方程的解，利用方程的解可以求方程中字母系数的值或与一元二次方程根有关的代数式的值，或将根代入方程，得到关于字母的代数式，充分利用含有这个字母的等量关系，将所求代数式变形或化简，求出其嗲数是的值，注意可利用整体代入思想.13．1解析：由03)3(2)3(222=--+-x x x x ，得()()223133=0x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⎣⎦⎣⎦， 则x x 32-=1或-3.当x x 32-=-3时，判别式小于零，方程无解，故x x 32-=1.14．2.试题分析：将x=1代入方程即可求出m 的值.试题解析：把x=1代入方程得：∴m=2故答案为：m=2.15． 试题解析：一元二次方程 经过整理得，应用分解因式法，可以解得 .故本题答案为. 16．3或0解析：设这个数是x, 2x =3x2x =3x230x x -=()30x x -=120 3.x x ==，17．4．解：∵关于x 的一元二次方程240x x a ++=有两个相等的实数根，∴△=42﹣4a =16﹣4a =0，解得：a =4．故答案为：4．18．17解方程x 2-17x +66=0，得x 1=6，x 2=11，①当x =6时，因3+6＞8，所以可以构成三角形；②当x =11时，因3+8=11，所以不能构成三角形．所以三角形的周长为3+8+6=17．点拨：本题主要考查一元二次方程的应用，通过解一元二次方程可以确定三角形的第三边的长，根据三角形的三边关系确定能否构成三角形，再求三角形的周长即可．19．0 解析：把代入方程可得，，即， ∴．20．m ＜1解：∵a=1，b=﹣2，c=m ，∴△=b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m ＞0，解得：m ＜1．故答案为m ＜1．21．（1）1222x x ==；（2）121122x x +==；（3）126,3x x ==-；（4）123,2x x ==-；（5）1244x x ==（6）x 1=3，x 2=-1试题分析：（1）用直接开平方法解即可；（2）用公式法解即可；（3）用因式分解法解即可；（4）用因式分解法解即可；（5）用公式法解即可．第（6）小题用因式分解法.试题解析：解：（1）206)2(2=--x22(2)6x -= 2(2)6x -=2x -=∴1222x x ==（2）12=-x x210x x --=a=1，b=-1，c=-1=1+4=5＞0x=12±∴12x x == （3）x x 3182-=-23180x x --=（x-6）（x+3）=0x-6=0或x+3=0∴126,3x x ==-（4）04)1(3)1(2=-+-+x x（x+1-4）（x+1+1）=0（x-3）（x+2）=0x-3=0或x+2=0∴123,2x x ==-（5）0982=+-x xa=1，b=-8，c=9=64-36=28＞0 x=8272± ∴1247,47x x =+=-（6）()()3340.x x x ---=30x -=或330.x --=123, 1.x x ==- 22．32试题分析：设每台计算器涨价为x 元．根据题意可以列出相应的方程，从而可以得到当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元，注意厂家规定最高每台售价不能超过33元． 试题解析：解：设每台计算器涨价为x 元．根据题意得：（30+x ﹣20）（160﹣2x ×20）=1680 解得，x 1=2，x 2=4． ∵x ≤33﹣30=3，∴x =2符合题意，∴此时计算器的售价为30+2=32（元）．答：当计算器定价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元．23．（1）E （0， 32），G （1425-， 2725）；（2）16231313y x =+；（3）存在Q 1（-4， 83）；Q 2（4， 13）；Q 3（0,4）；Q 4（0，-1）. 解析：（1）根据一元二次方程x ²-5x +6=0的解、tan ∠ADB =34，可求出点E 的坐标；由△BGH ∽△BDC ，利用相似三角形的性质可求出点G 的坐标；（2）根据G 、F 的坐标，利用待定系数法可求出直线GF 的解析式；（3）对BD 是矩形的边还是矩形的对角线进行分类讨论即可.解：（1）x ²-5x +6=0，解得x 1=2；x 2=3∵AB ＞OC ，∴AB =3；OC =2∵tan ∠ADB =34， ∴AD =BC =4；BD =5 ∴OE =32，∴E （0， 32） ∵AG ⊥BD ，则△ABG ∽△ABD ，AB BG BD AB =，即3BG 53=，BG =95， 做GH ⊥x 轴，由△BGH ∽△BDC ，∴G （1425-， 2725） （2）∵S △AGF ：S △DGF =3:1，∴AF ：DF =3:1，∴DF =1 F （1,3）设直线GF ： y kx b =+，代入G （1425-， 2725），F （1,3） ∴直线GF 的解析式为： 16231313y x =+ （3）存在Q 1（-4， 83）；Q 2（4， 13）；Q 3（0,4）；Q 4（0，-1）24．(1) 甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；(2) 当m 定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元分析：（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；（2）根据降价后甲乙每天分别卖出：（500+0.1m ×100）件，（300+0.1m ×100）件，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m ）元，（2﹣m ）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可． 详解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x ，y 元，根据题意得： 5{ 3122119x y x y +=++-=（）（），解得： 2{ 3x y ==．答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；（2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件，∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元时，甲乙每天分别卖出：（500+0.1m ×100）件，（300+0.1m ×100）件． ∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3﹣2=1元，5﹣3=2元，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m ）元，（2﹣m ）元；w =（1﹣m ）×（500+0.1m ×100）+（2﹣m ）×（300+0.1m ×100）=﹣2000m 2+2200m +1100，∴1700=﹣2000m 2+2200m +1100，解：m =0.6或0.5，∴当m 定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元． 点拨：本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数最值求法的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
