y ＝4 x ＝1
平面图形的镶嵌
初二十五班 刘泽洋
一． 研究原因
课堂上，老师讲解了如何通过计算说明平面图形如何进行大面积镶嵌，对此我产生了浓厚的兴趣。
于是便有了如下研究。
二．
研究内容 用边长相等的正六边形与正三角形进行平面镶嵌 三．
研究过程 1. 理论计算
∵n 边形内角和为﹙n －2﹚·180°
则可得知正六边形一个内角为﹙6－2﹚·180°÷6＝120°
正三角形一个内角为﹙3－2﹚·180°÷3＝60°
设当边长相等的正六边形与正三角形镶嵌成一个拼接单元时，正六边形数量为x ，正三角形数量为y 。
则可得 120°x + 60°y ＝ 360°
∵x 、y 均为正整数
∴{ ∴有两种方式：1个正六边形与4个正三角形或2个正六边形与2个正三角形。
2. 图案设计
四. 感悟
通过本次对平面镶嵌的研究，我感受到几何学科的奥妙。
发现了数学这门学科在生活的巨大应用与价值。
在生活中应用数学，是我这次研究的最大收获。
{y ＝2 x ＝
2。
镶嵌（八年级上P26）1.平面图形的镶嵌(密铺)概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌(密铺)。
2.理解平面图形的密铺：(1)要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。
(2)单一多边形密铺：任意三角形(6个)、四边形(4个)、正六边形(3个)能够密铺；(3)单一正n边形密铺的条件：假设360°除以正n边形的一个内角等于整数，则能够单独用它密铺；就是说：正多边形的一个内角度数能整除360°。
(4)多种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：a. n个正多边形中的一个内角的倍数的和是360°；b. n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。
典型例题为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形能够是()A.正三角形B.正五边形C.正六角形D.正三角形或正八边形答案：D解析:分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形能够；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n=360°，m=4-4/3n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴正八边形能够．应选D．。
七年级《数学》学教案（课题：22.9平面图形的镶嵌）学习目标1．知识目标（1）了解平面图形镶嵌的含义.（2）掌握哪些平面图形可以镶嵌及多边形镶嵌的条件.2．能力目标能运用三角形、正方形、正六边形等几种图形进行简单的镶嵌设计. 3．情感目标通过镶嵌图案的展示和设计，体会数学源于生活并应用于生活的道理．学习重点、难点重点：以三角形、四边形和正六边形的镶嵌.难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以镶嵌的条件.预习导航1.什么是平面图形的镶嵌？2.多边形镶嵌的条件是什么？墙面地面七巧板回答问题：它们都是由什么平面图形拼出来的呢图案？）从学生非常熟悉的问题入手，使数学贴近生活,讲课时也可以引发学生例举生活中自己见到的类似的图案.通过拼图，使学生展开对平面图形镶嵌的探索，激发学生的图1 图2③仅用同一种全等的正五边形或正八边形能否进行镶嵌？谈谈你的理由. 问题：这些镶嵌图形是由哪些多边形进行镶嵌的？兴趣，使探究成为学生的自觉行动强化镶嵌的条件的结论，为学生进一步探索提供可能.引导学生认识两种多边形组合进行的镶嵌，使学生进一步认识镶嵌.这组练习，从多个角度考察学生掌握及运用新知的情况，在学生独立完成过程中，既巩固图3生形成自己对数学知识的理解，发展了思维。
本环节使知识更加系统化，帮助学生归纳，整理，有利于知识体系的形成.附：板书设计22.9平面图形的镶嵌1.镶嵌的概念2.镶嵌的条件：如果拼接某种多边形时，能在每个拼接点处恰好拼成平角或周角，那么用这种多边形就可以进行镶嵌.3.镶嵌需注意的问题：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.。
