:平面镶嵌
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平面镶嵌的原理
一、什么是平面镶嵌
平面镶嵌是指将小块图案和塑料或金属材料组合在一起,组成复杂的碎片图案,形成人眼无法细看而整体看上去美观的一面。
平面镶嵌历史悠久,是一种古老的装饰工艺,可以将木材、金属、玻璃、和砖石等材料组装在一起,把原材料中的功能用美学的手法达到一定的视觉效果,镶嵌的技艺具有卓越的应用价值。
二、平面镶嵌的原理
1.对角填充原理
按照平面镶嵌的原理,相对于每一个组成单元的中心点,可以得到另一个中心点,以此组成一个多边形,每一个多边形的内部,都可以放置一个图案,使得组装的图案不会出现空洞,不分行和列,也就是所谓的“对角填充”原理。
2.花砖原理
要实现这种技术,必须要使用到一种所谓的“花砖”原理,即在每一个碎片单元的最外侧,都要使用一个合适的尺寸,这样的尺寸可以使碎片合理的组装起来,置入花砖,把图案从外部组装起来,整体看上去,花砖就像拼图一样,只有所有的花砖才能够完整的形成整体图案。
三、平面镶嵌的应用
1.室内装饰
平面镶嵌广泛应用于室内装饰,比如墙面、地板、屋顶、柜台、
杂物架、墙纸等。
由于平面镶嵌可以组装出来的复杂精美的图案,所以可以给人以极大的视觉冲击,并且有利于环境的装饰。
2.服装
平面镶嵌也可以用于服装的制作。
比如服装的表面可以做成平面镶嵌的图案,色彩搭配十分精致,更能体现服装的尊贵气派。
平面镶嵌的条件平面镶嵌是一种几何问题,即如何在平面上把多边形拼接成一个封闭的区域。
在这个问题中,我们需要考虑到多边形的边界线和内部空间的交错和重叠等因素,以保证拼接后的结果是合法的。
平面镶嵌的条件非常重要。
平面镶嵌的每个多边形都必须是凸多边形。
凸多边形是指平面上的一个区域,其中连接任意两个内部点的线段都在这个区域内。
在平面镶嵌中,凸多边形可以确保拼接后的图形不会出现奇怪的空洞或凹陷。
在计算过程中,凸多边形也更容易处理。
平面镶嵌中的每个多边形必须可以通过相邻多边形的公共边缝合在一起。
这就要求相邻多边形的公共边必须完全重合,并且两边的角度要相等。
这个条件是平面镶嵌中最基本的条件,也是每个多边形都需要满足的条件。
除了上述两个基本条件外,平面镶嵌中还需要满足一些其他的条件。
平面镶嵌中不能出现两个多边形的重叠部分,也不能出现两个多边形相交的情况。
这两个条件是保证拼接后的图形没有破损或重叠的关键条件。
如果不满足这些条件,拼接后的图形就可能出现错综复杂的情况,难以判定。
在平面镶嵌中,我们还需要考虑到多边形的方向。
通常情况下,我们规定多边形的内部在左边,而外部在右边。
这种规定是为了方便计算,使得我们可以通过向量或点积等方式来确定多边形的方向。
在将多边形放置在平面上进行拼接时,也需要考虑到这个方向性。
需要注意的是,平面镶嵌中的拼接结果可能不唯一。
即使是同样的凸多边形和相邻关系,可能也会有多种不同的拼接方式。
在进行平面镶嵌时,我们需要结合实际问题来选择最合适的拼接方式。
除了以上条件,平面镶嵌还需要满足一些其他的约束条件。
在某些情况下,平面镶嵌中的多边形必须被放置在特定的位置和方向上,或者必须满足特定的拓扑结构。
这些约束条件通常与实际应用有关,例如在设计地图、计算机芯片布线、制作纹理贴图等领域中都会涉及到平面镶嵌问题。
在实际应用中,平面镶嵌的计算通常会使用算法来实现。
常用的算法包括贪心算法、分治算法、动态规划等。
这些算法分别针对不同的问题和约束条件,采用不同的方法和策略进行求解。
平面镶嵌知识点聚焦随着新课程改革的深入,中考试题也随着不断革新,在近年的中考试题中,出现了和平面镶嵌有关的问题,为了帮助大家学好平面镶嵌的问题,下面把平面镶嵌的知识要点进行简要归纳.知识点1、镶嵌的认识1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形覆盖(或平面镶嵌).2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于0360.平面密铺的含义:⑴平面图形的形状、大小完全相同;⑵拼接后彼此之间不留空隙,不能重叠;⑶若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成0360,则这些平面图形就能密铺.知识点2:实现平面镶嵌的常用方法 1、普通图形的镶嵌(1)任意三角形可以完成镶嵌 (2)任意四边形可以完成镶嵌2、用正多边形进行镶嵌:探究一:用一种正多边形镶嵌设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k 个正n 边形.根据上述限定条件有方程k ×n1802(0)一n =3600整理,得kn-2k-2n=0,即n=2k k 2一=2+2k 4一 n,k 皆为正整数, 当k=3时, n=2+234一=6 当k=4时, n=4当k=6时, n=3 进而限用一种正n 边形的镶嵌有三种情况: 正多边形的边数 一个顶点处正多边形的个数 3 6 4 4 63也就是说,若仅限于用一种正多边形镶嵌,符合条件的只有三角形、正方形和正六边形。
其相应的镶嵌图案如图1所示。
探究二:用多种正多边形镶嵌以正三角形和正四边形为例,设正三角形有x个,正四边形有y个,根据限定条件有方程600x+900y=3600整理,得2x+3y=12,得整数解x=3,y=2即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌.类似可讨论出:(1)、用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌;用2个正三角形和2个正六边形可以镶嵌;(2)、用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌,等等.(3)、用1个正三角形与2个正十二边形(4)、用1个正四边形与2个正八边形(5)、3个正三角形与2个正方形第1种情况图解第5种情况图解第4种情况图解第(1)种情况图解(用2个正三角形和2个正六边形)探究三、用多种正多边形进行镶嵌,例如:(1)、1个正方形,1个正六边形与1个正十二边形(2)、1个正三角形,2个正方形与1个正六边形(3)、1个正三角形,1个正七边形与1个正42边形(4)、1个正三角形,1个正八边形与1个正24边形(5)、1个正三角形, 1个正九角形与1个正十八边形(6)、1个正三角形,1个正十边形,1个正十五边形,第(2)种情况图解(7)、1个正四边形,1个正五边形与1个正二十边形知识点例析例1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6例2.在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中,计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面,在下面的地板砖:①正方形②正五边形③正六边形④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种例3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面(即平面镶嵌)的是( )A.正三角形和正四边形B.正四边形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形例 4.小明家用瓷砖装修卫生间还有一块墙角面未完工(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设,请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下图中画出铺设示意图,并标出所选用每块余料的编号)。
平面镶嵌形认识平面镶嵌形的特点与构造方法平面镶嵌形是一种常见的装饰和设计技术,在各个领域都有广泛的应用。
本文将就平面镶嵌形的特点和构造方法展开探讨。
一、平面镶嵌形的特点平面镶嵌形是一种通过将不同形状的图案拼接在一起,形成复杂而有序的整体的装饰方式。
它所具有的特点主要包括以下几个方面:1. 多样性:平面镶嵌形可以采用不同形状、大小、颜色的图案进行组合,创造出丰富多样的视觉效果。
这种多样性使得平面镶嵌形能够适应不同的设计需求,满足个性化的要求。
2. 组合性:平面镶嵌形是由多个小图案组合而成的,这些小图案可以根据需要进行各种组合,形成不同的整体形状。
这种组合性使得平面镶嵌形的设计具有无限的可能性,创造出独特的图案。
3. 对称性:平面镶嵌形的设计常常以对称的方式进行,通过对称的排列和重复,创造出整体的平衡和稳定感。
这种对称性使得平面镶嵌形在视觉上更为和谐,给人以美感和安定感。
二、平面镶嵌形的构造方法平面镶嵌形的构造方法主要包括以下几种:1. 浮雕法:这是一种常见的平面镶嵌形构造方法。
它通过在平面上绘制出不同形状的图案,然后使用切割等手法将它们分割开来。
最后,将分割好的图案组合在一起,形成平面镶嵌形的效果。
2. 铺砖法:这是一种以砖块为基本单元来构造平面镶嵌形的方法。
它通常将砖块按照特定的规律进行铺设,形成不同的图案和纹理。
这种方法适用于一些具有规则几何形状的图案设计,如方形、六边形等。
3. 拼贴法:这是一种将不同形状的材料进行拼接构成平面镶嵌形的方法。
拼贴法可以使用各种材料,如木块、纸片、织物等,通过剪裁、粘贴等手法将它们拼接在一起。
这种方法非常灵活,可以创造出丰富多样的平面镶嵌形。
4. 编织法:这是一种利用编织的方式构造平面镶嵌形的方法。
它可以使用绳子、线等材料进行编织,形成复杂且有趣的图案。
这种方法常用于一些需要柔软和变化的平面镶嵌形设计,如织物、毛线等。
三、结语平面镶嵌形作为一种独特的装饰和设计技术,具有多样性、组合性和对称性的特点。
平面镶嵌(密铺)
定义:从数学的角度看,用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖(不留空隙);通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌(又称就是平面图形的密铺).
一、用一种正多边形镶嵌
(正三角形,3,3,3,3,3,3,)(正四边形或正方形,4,4,4,4)
(正六边形,6,6,6)
二、用两种正多边形镶嵌
(正六边形和正三角形,3,6,3,6)(正八边形和正方形,4,8,8)
(正方形和正三角形,3,3, 4, 3,4)(正方形和正三角形,3,3,3, 4,4)
(正十二边形和正三角形,3,12,12)
三、用三种正多边形镶嵌
(正十二边形、正方形和正六边形,4,6,12)(正三角形、正方形和正六边形,3,4,6,4)
四、用一般几何图形和不规则图形镶嵌。
人教版数学八年级上册11.3数学活动《平面镶嵌》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册11.3数学活动《平面镶嵌》主要让学生通过实践活动,了解平面镶嵌的概念,掌握平面镶嵌的方法,培养学生的动手操作能力和空间想象能力。
教材中给出了镶嵌的基本方法和步骤,以及一些典型的镶嵌图案。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了平面图形的性质,具备了一定的空间想象能力。
但对于平面镶嵌这一概念和方法,可能还比较陌生,需要通过实践活动来理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能:理解平面镶嵌的概念,掌握平面镶嵌的方法,能运用平面镶嵌的知识解决一些实际问题。
2.过程与方法:通过实践活动,培养学生的动手操作能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点:平面镶嵌的概念和方法。
2.难点:如何运用平面镶嵌的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.自主探究:让学生在课堂上自主探索,发现问题,解决问题。
2.合作交流:鼓励学生之间的合作交流,共同完成实践活动。
3.引导启发:教师在课堂上引导学生思考,启发学生解决问题。
六. 教学准备1.准备一些平面镶嵌的图案,用于展示和参考。
2.准备一些平面图形,如正方形、三角形等,用于实践活动。
3.准备黑板和粉笔,用于板书。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过向学生展示一些生活中的镶嵌图案,如地砖、墙面等,引导学生思考镶嵌的概念,引发学生的兴趣。
2.呈现(10分钟)教师向学生介绍平面镶嵌的定义和方法,通过示例让学生理解平面镶嵌的过程。
3.操练(10分钟)学生分组进行实践活动,每组选择一种平面图形进行镶嵌。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
4.巩固(5分钟)教师邀请几名学生上台展示他们的镶嵌作品,让其他学生评价和思考,通过实践活动加深对平面镶嵌的理解。
5.拓展(5分钟)教师引导学生思考如何运用平面镶嵌的知识解决实际问题,如地砖的铺设、墙面的装饰等。
平面镶嵌的条件平面镶嵌是一种常见的装饰手法,它可以将不同材质、颜色、形状的物品拼接在一起,形成美观、富有层次感的图案。
平面镶嵌的应用范围非常广泛,可以用于家居装饰、建筑装饰、艺术品制作等领域。
在进行平面镶嵌时,需要注意一些条件,以确保最终效果的美观和质量。
平面镶嵌需要有一个合适的基材。
基材的选择应该考虑到所要镶嵌的物品的重量、大小、形状等因素。
一般来说,基材应该具有一定的硬度和稳定性,以确保所镶嵌的物品不会因为基材的变形而脱落或者变形。
常见的基材有木板、石板、金属板等。
平面镶嵌需要有一个合适的胶水。
胶水的选择应该考虑到所要镶嵌的物品的材质和基材的材质。
一般来说,胶水应该具有一定的粘性和耐水性,以确保所镶嵌的物品不会因为胶水的失效而脱落或者变形。
常见的胶水有环氧树脂胶、聚氨酯胶、丙烯酸胶等。
第三,平面镶嵌需要有一个合适的工具。
工具的选择应该考虑到所要镶嵌的物品的大小、形状和材质。
一般来说,工具应该具有一定的精度和稳定性,以确保所镶嵌的物品能够精确地贴合在一起。
常见的工具有锤子、钳子、切割机、打磨机等。
第四,平面镶嵌需要有一个合适的设计。
设计的选择应该考虑到所要镶嵌的物品的颜色、形状和大小。
一般来说,设计应该具有一定的美感和层次感,以确保所镶嵌的物品能够形成美观的图案。
常见的设计有几何图案、花卉图案、动物图案等。
第五,平面镶嵌需要有一个合适的施工环境。
施工环境的选择应该考虑到所要镶嵌的物品的大小、形状和材质。
一般来说,施工环境应该具有一定的光线和通风条件,以确保施工过程中能够看清楚所要镶嵌的物品,并且能够排除胶水的气味。
常见的施工环境有室内工作室、室外露天场地等。
平面镶嵌是一种非常有趣和有挑战性的装饰手法。
在进行平面镶嵌时,需要注意以上条件,以确保最终效果的美观和质量。
同时,平面镶嵌也需要一定的耐心和技巧,只有不断地练习和尝试,才能够掌握这种技艺,创造出更加美丽和独特的作品。