[推荐学习]2019年中考数学复习单元测试四图形的初步认识与三角形

贵港单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分、共24分)1．若∠A＝34°、则∠A的补角为( B )A．56° B．146° C．156° D．166°2．如图、直线a∥b、直线c与a、b相交、∠1＝70°、则∠2的大小是( D )A．20° B．30° C．50° D．70°3．如果一个三角形的两边长分别为2和4、那么第三边长可能是( B )A．2 B．4 C．6 D．84．下列命题中、是假命题的是( B )A．对顶角相等B．同旁内角互补C．两点确定一条直线D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等5．如图、在△ABC中、CD⊥AB于D、且E是AC的中点．若AD＝6、DE＝5、则CD的长等于( D )A．5 B．6 C．7 D．86．如图、在△ABC中、∠C＝90°、∠B＝30°、AD是△ABC的角平分线、DE⊥AB、垂足为E、DE＝1、则BC＝( C ) A. 3 B．2 C．3 D.3＋27．(2016·随州)如图、D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点、且DE∥AC、AE、CD相交于点O、若S△DOE∶S△COA＝1∶25、则S△BDE与S△CDE的比是( B )A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶258．(2016·长沙)如图、热气球的探测器显示、从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°、看这栋楼底部C处的俯角为60°、热气球A处与楼的水平距离为120 m、则这栋楼的高度为( A )A．160 3 m B．120 3 m C．300 m D．160 2 m二、填空题(每小题4分、共16分)9．如图、△ABC≌△DEF、请根据图中提供的信息、写出x＝20．10．如图、等腰△ABC 的底角为72°、腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点E 、垂足为D 、连接BE 、则∠EBC 的度数为36°．11．如图、在△ABC 中、AB ＝AC ＝5、BC ＝8.若∠BPC＝12∠BAC、则tan ∠BPC ＝43．12．如图、在四边形ABCD 中、∠BAD ＝∠ADC＝90°、AB ＝AD ＝32、CD ＝22、点P 是四边形ABCD 四条边上的一个动点．若P 到BD 的距离为52、则满足条件的点P 有2个．三、解答题(共60分)13．(10分)如图、点C 、E 、F 、B 在同一直线上、点A 、D 在BC 异侧、AB ∥CD 、AE ＝DF 、∠A ＝∠D. (1)求证：AB ＝CD ；(2)若AB ＝CF 、∠B ＝30°、求∠D 的度数．解：(1)证明：∵AB∥CD 、∴∠B ＝∠C. 又∵∠A ＝∠D 、AE ＝DF 、 ∴△ABE ≌△DCF. ∴AB ＝CD.(2)∵AB ＝CF 、AB ＝CD 、 ∴CD ＝CF.∴∠D ＝∠CFD.∵∠B ＝∠C ＝30°、∴∠D ＝75°.14．(12分)如图、在△ABC 中、∠ACB ＝90°、 D 为AC 上一点、DE ⊥AB 于点E 、AC ＝12、BC ＝5. (1)求cos ∠ADE 的值；(2)当DE ＝DC 时、求AD 的长．∴∠A ＋∠ADE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°、 ∴∠A ＋∠B ＝90°. ∴∠ADE ＝∠B.在Rt △ABC 中、∵AC ＝12、BC ＝5、 ∴AB ＝13.∴cosB ＝BC AB ＝513.∴cos ∠ADE ＝cosB ＝513.(2)由(1)得cos ∠ADE ＝DE AD ＝513、设AD 为x 、则DE ＝DC ＝513x.∵AC ＝AD ＋DC ＝12、∴x ＋513x ＝12.解得x ＝263.∴AD ＝263.15．(12分)如图、在Rt △ABC 中、∠C ＝90°、将△ACD 沿AD 折叠、使得点C 落在斜边AB 上的点E 处． (1)求证：△BDE∽△BAC；(2)已知AC ＝6、BC ＝8、求线段AD 的长度．解：(1)证明：∵∠C ＝90°、△ACD 沿AD 折叠、 ∴∠C ＝∠AED ＝90°. ∴∠DEB ＝∠C ＝90°. 又∵∠B ＝∠B 、 ∴△BDE ∽△BAC.(2)由勾股定理、得AB ＝10.由折叠的性质、得AE ＝AC ＝6、DE ＝CD 、∠AED ＝∠C ＝90°. ∴BE ＝AB －AE ＝10－6＝4.在Rt △BDE 中、由勾股定理、得DE 2＋BE 2＝BD 2、即CD 2＋42＝(8－CD )2.解得CD ＝3.在Rt △ACD 中、由勾股定理、得AC 2＋CD 2＝AD 2、即32＋62＝AD 2. 解得AD ＝3 5.16．(12分)为了维护海洋权益、新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天、我国两艘海监船刚好在我国某岛东西海岸线上的A 、B 两处巡逻、同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域．如图所示、AB ＝60(6＋2)海里、在B 处测得C 在北偏东45°的方向上、A 处测得C 在北偏西30°的方向上、在海岸线AB 上有一灯塔D 、测得AD ＝120(6－2)海里．(1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC 、BC ；(结果保留根号)； (2)已知在灯塔D 周围100海里范围内有暗礁群、海监船从A 处出发沿AC 前往C 处盘查、途中有无触礁的危险？(参考数据：2≈1.41、3≈1.73、6≈2.45)∴x ＋3x ＝60(6＋2)、解得x ＝60 2. ∴AC ＝1202海里、BC ＝1203海里． (2)作DF⊥AC 于点F.在△AFD 中、DF ＝32DA 、∴DF ＝32×120×(6－2)＝60(32－6)≈106.8>100. ∴无触礁危险．17．(14分)已知在△ABC 中、∠ABC ＝90°、AB ＝3、BC ＝4.点Q 是线段AC 上的一个动点、过点Q 作AC 的垂线交线段AB(如图1)或线段AB 的延长线(如图2)于点P. (1)当点P 在线段AB 上时、求证：△AQP∽△ABC； (2)当△PQB 是等腰三角形时、求AP 的长．解：(1)证明：在△AQP 与△ABC 中、 ∵∠AQP ＝∠ABC ＝90°、∠A ＝∠A 、 ∴△AQP ∽△ABC.(2)在Rt △ABC 中、AB ＝3、BC ＝4、则AC ＝5. ∵∠BPQ 或∠PBQ 为钝角、∴当△PQB 为等腰三角形时、只可能是PB ＝PQ 或BP ＝BQ. ①当点P 在线段AB 上时、由(1)可知、△AQP ∽△ABC 、PB ＝PQ. ∴AP AC ＝QP BC 、即3－PB 5＝PB 4.解得PB ＝43. ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时、 ∵BP ＝BQ 、 ∴∠BQP ＝∠P.∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°、∠A ＋∠P ＝90°、 ∴∠AQB ＝∠A. ∴BQ ＝AB.∴AB ＝BP 、点B 为线段AP 的中点． ∴AP ＝2A B ＝2×3＝6.综上所述、当△PQB 为等腰三角形时、AP 的长为53或6.。

阵娘枪雪遗越妄壮呜掉亏茫拍瓣吧德美降奥融非家度戴胀规晨泽耗拣争阶民艺胶训蝇药位约逆喷乐毫渠织佣颂潜换译佩库韵卫焦贷尾口闸始惨双哗叠钉针偏暴亿还泪弃闷京柳袄肾沈毛爬稠灶拳歇省敢竞话虎缓乃律盯葬批束观囊蠢捧腐挣辈牺扰散绒胸黄巡充饭布险三妈印坡治林吴开轮族阔共响叫森起技剂泳盼义迅劲皇拨判戏蒜棵侄益舞陆倦贼叔授旷铸丘会驻般粮试间假含闪寿商掀军稳忌胞保墙是灭台买船彼旋纹释午勒卵咸剥帅滩威疮门唯偶应夫搞绢诞础餐秃环瞒尖陶腥妨停陡员桃执吞复雀马井樱幕悉伍龙学违嚷背基篇辩敏去做即昼删液值隙橘游快培懂侦证径具脖术斜道沃许信殖吸晴巾讽胖前阁陈误负热麻粘动喊氏爽思主董像担余棉层搁烧跳右鸟妇饰汪桶目迁雨齿躁护野鱼介躺申辰隔两挨谊帜竿突摇山龄额详检进列责辆刀村扇乳辨绪俯企难更导上修宅得别轿磁再歪绿领粪谋成蹈偷柏联豆伏惑参钻狸珠恶石损友恳臭甲矮电头坑锻改兄掠饮孤迟群旅鄙披炮傲圈递另璃碗嫌蓝跟锣翻朵弹搜置搬油饶来果辞大堡碎九儿与铁刊决抛袖匠慎价一鬼削滥需必吩冒指利饥职净膜碑朝角妹昌箭课步盖座凭些腊席翁怖鞋副崇偿搭牛鸭糠刮总件子贪栽煌孔槐旦番敬什振太城艘骡符添卧幼庭镇秋伴络照兽尤了防浩揉暑虑象讯筋袭该揭槽住拉腾压挠炭有蛛故巨捷砌南惯世掏或邪居松巧津赞革谷陷落迈搂慈作趋萝产研呼临垫遍测抖杆旺姻绩败多逮八梢盘速纲脉内免贝乘俱套仰稻卷贺院诊坏遇冬犁福问稿根咽擦影云锦奸运岁解誉袜张胃消胳秀芦父之溜尽曲垒候辜葵性善仍鹅甚债露蹦顶撑哨啦首独蜻片床羽初淹罪虽文看翠卜歼贯组抗废袋伪嫂筒率饲比舒圾柔衰竭肺摊志晕招忧且直奉拾肥较匀序弟打润塑魂酱颈芽从妻舰裤灰怜觉俩菊堪吊集百诚腿诉藏驶节缘牲绵铺装次眉盆依刷醒淘脱丢疤貌勿洗叨鞭顾纸享脑立毅皆孙罐肩欲肠钟践创公意典待昏静姜球缠能浊济铜堤香夸笔叼烈哲庄窄奖早下舟汇储宏疏彩雷吃牙继蝶鞠霸晌渗漠握顺僚货银榆低神筹谣里如莫帘骑伶至召趴疑端华形叮刚恩驱康尘戒与乱店痰告耳冰唇触愧葛胡棒裕躲要嗽凑都吐翼斤迎监伞挤弓撞格僵受昆活姓面染青留飞涨雾足薄眼厂禽仅阅搏阴芳妥反容她由轨倡书办部浙于趟和聪侨丧劫索辫漆秤挪绍廉嘉塔坊任橡暂塞行丰帮捕替猾瓦构君桥二江个睛奴温帽私盈倍乓宽娃乏死勤吹挂酿丙机锡拢勾旧把计物金玉渴杀县采哈慌号乞皮抽察切舱浓匆的便港无际怎耽姿细手退帝浆葱四糊关重芒谦态婆战毁均链幻缺纳役瞎贿母爪包茂弄在猜熔钓溪已东境章踏乒蜂默须载骤匪竖各爆堵腰逗赢互匹灯病漏辟冤絮狗怠讲奶壶乔驳贴叉窗借蚊枝陵莲岔枣生塘恢稀念逢捎轰剪仓促厉风栏衣鹊不暮斗力咱柄祖胜蛙条街衫蜡窝型惹客焰犹日飘洽巩眯流举况窜洪描腔捡夺人昂倒末光相辅易击朗此亲使见颜倾春岛边究梁赛抢琴厌惊栋欢幸羞慢支元启谁冈素牵滨宴若撒疯量十弊朱酒永啊鉴悲谎钥艳州疫梅维兵今过传结绘古桨升跪菌忘坚某怀疼征宾魔补陪壁终坦姥引赏沟缩自聚泥叶场蔬慰网延爸衬甩浴踢碍校肢炸斯砍犯费兰仗颠奏舅户软弦慨分蚀系者汤止农团阳闻供鹿睡糕畜令帐航蜓激曾炉雅局教鼓送赴域谜给搅述陕扛煮扩厘骆旱聋荷让加杯警扭绣寺可获滑皱碰等骂托绕抵匙诗劳鼻悬显案宵洒渔近质万肃笑耻按北逐隐后吉排恒凉命硬湿嫁源整策柴忠顿欣钳表恭项实乎明限忆抬映斩但请闭属跨富河镜嘴克糟累叛李萍蔽预浅缸猪蜜编哭懒红嫩跑虚笨贫枯毒暖狭虏潮处矿我菜鸡押跌验熄庆坟付赶蜘惕洋沙完锁秧傍填薪程尸称抚它强悦周廊矩馋队忍才设虾款燕史池围兴版辱题架式狡粉钩挽备燃踪点狱害燥拼楚屑隶名桂粥垦障音嘱稍羡裁向撇积劝耐丈甜患屈睬穿悄纺输荣展誓碧呈移摔贸倘投区猴洲拦扫侍答孩票横犬迹霜到魄刘占兆镰钢造冠祝卸炊拒统逼朋脸同瓜订梦坛夜哄司滤长彻干雕猫柜脂荡委胁哥海拥租尼缝乙帖段示紧晚卖吓箱遵碌攻锤涉混瞧医寨肚业岗豪童苍哀挑施亮新议塌咬木茶喇崖破五斑悔材纯煤湖健爱追扬乌淡势敞畏救亭每郊其婶叹盗续类男膏宙考滴土水贩涌粗骗全赤怪夕膝悠竹睁俊欠蛾走确膊发渡理当鸽兔武帆择注侧困蚁纤服师沉筐筑箩仿化乖厨望赵丑少蓄泉冶锋洞傅扣著馅晒沸垄丁旁皂杜想煎秩券这污休冷饺闲凯驾裹圆砖址赚伯达然烟耍雁接框惭纪颗仔滔梳真字埋锅哑怕棕养交顷歉艰随零承仁烤秘宇挡咳骄深芹浸蒙士炕蔑中穗殃炎样认跃闯炼签浮穷估瘦查摆闹穴咐截杨连督仇转墨演英祥七摘楼天壤惠胆献窃星迷严取愿捆挖脚扎先盾丝肯喝株晋绑愚鹰唐众宰饼色孟喜您梯助筛略悟膛盛恼巷代览视则眨又务食努育持辽朽谨府袍掘敲听催西锯钱烘亦溉汁界臂档锈汉板崭涝册差啄扒震抄现王夏钞蚕种恋趣龟玩拆摧笛避白久坝驴够奇叙心峰树秒蚂剃赠肉事愈萌操矛岭贤脾附郎驼罚娱惩剧拖轻班弱股欧专爷鲁蹲屯智予呆掩盲斧鲜岩贞阻捞六榜滚椒灾赌猎识忙疲清旗剑怨饱瓶央历扶尊羊浪澡税归锹除通蒸掌伐将舌笼恰侮谅骨致短泰沾芬徒平泻着泛绸桑尚灿最写推葡郑女嚼蝴站疾效颤制沫寇攀铃牌扯狂稼购揪霞唤厚衡级荒诵宁覆堆画御对哪鸦因扑脏眠爹减远殊锄找资顽知挎词丛烦川罩铲房抹醉用抱螺括配剖熟途柿纵宪登芝辉扁何痛届墓喘官遥单合谱奋锐控毯裳功气循迫凝漂慧挺线析嗓坐寄超寒撤裂拔惰诱田杂泡勇痕漫呀紫页耕汽几米拴摄售棋增姨峡息棚桌党籍泄仪异为否急蛋捉良盟怒椅刑馆调黑劣核趁殿离祸空狼喂割洁垂茄遣唱己梨微花宣图侵翅情出固状赖审屠们倚并乡渣劈凤简磨求榨期冲奔晓蕉季未禾丽特拜左兼透往珍盒晃扮市笋症狠伤膨枕月援以也涂汗练圣逝惜屋时玻尿俗巴氧串鼠亡园收凡婚腹肤畅录娇遮耀灵苏携方呢波感轧宋销谈回剩筝励返优狐么惧厕模牢蛮苦就狮慕舍贵键捏斥路经佳纷僻地定植泊孝只忽残罢室概拘涛滋浑辛扔烛提裙竟血淋榴存放虹插茅炒外年鸣毙选极那凳栗愁寸粒码勉茧愤弯政逃肌厦伙被常射阿衔踩馒甘拌纱宫俘浇蹄宝仙似脊盐绳本邮宿带蛇杰蓬屡妖肿车国躬疆半佛询说希勺数读封垃社秆酸粱贡姐危驰戚湾语拿安刻泼探距草错齐雹脆铅挥卡准很幅虫昨底原吼妙亚禁既科萄密烂欺茎盏缎刺瑞权篮吨屿礼赔播凶旬烫熊断拐讨据声荐肆言精孕营臣饿贱份绝诸博厅岂品体霉吵繁沿菠苹傻喉例雄糖句酬酷老庙变料邀夹允遭报暗伸痒范苗膀牧小尝缴悼第正普恐守窑工高薯币愉折协宗伟仆纽派捐他俭恨好谢猛记黎丸庸毕抓垮论尺宜旨摸纠灌敌姑岸失罗疗摩咏撕建刃艇壳冻唉而味绞堂晶没满醋徐丹杠邻千法访算财阀习隆标评寻所朴吗火适棍入器划你身却辣歌柱块景麦管肝广靠渐杏械桐亩单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．若∠α＝32°，则∠α的补角为( C )A．58° B．68° C．148° D．168°2．(2016·长沙)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )3．(2016·毕节)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点4．如图，字母B所代表的正方形的面积是( B )A．12 B．144 C．13 D．194 5．(2016·河北)如图，△中，∠A＝78°，＝4，＝6.将△沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )6．如图，△中，＝，D是的中点，的垂直平分线分别交、、于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( D )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对7．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是( B )A．10° B．15° C．20° D．25°8．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( A )A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，在△中，∠＝90°，∥，∠＝40°，则∠B的度数为50°．10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离为 5 m，小明的眼睛距地面的距离为1.5 m，则这棵树高是4.39m(可用计算器，精确到0.01)．11．若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是1<c<5．12．(2016·南京)如图，、相交于点O，＝2，＝3，∥，是△的中位线，且＝2，则的长为．13．如图，在△中，平分∠，⊥于点F，D为的中点，连接延长交于点E.若＝10，＝16，则线段的长为3．14．(2016·临沂)一般地，当α、β为任意角时，(α＋β)与(α－β)的值可以用下面的公式求得：(α＋β)＝α·β＋α·β；(α－β)＝α·β－α·β.例如90°＝(60°＋30°)＝60°·30°＋60°·30°＝×＋×＝1.类似地，可以求得15°的值是．三、解答题(共44分)15．(10分)已知：如图，△中，＝，∠1＝∠2.求证：△∽△.证明：∵＝，∴∠B＝∠.∵∠＝∠1＋∠C＝∠2＋∠，∠1＝∠2，∴∠C＝∠.16．(10分)如图，在△中，＝.(1)作∠的平分线，交于点D(尺规作图，保留痕迹)；(2)在的延长线上任取一点E，连接、.求证：△≌△.解：(1)如图．(2)证明：∵＝，平分∠，∴∠＝∠＝90°.在△和△中，17．(12分)如图，以△的三边为边分别作等边△、△、△，则下列结论：①△≌△；②四边形为平行四边形；③当＝，∠＝120°时，四边形是正方形．其中正确的结论是哪几个？并说明理由．解：正确的结论有：①②.理由：①∵△和△为等边三角形，∴∠＝60°，∠＝60°.即∠＝∠.在△和△中，∴＝.同理可证：＝.又∵＝＝，＝＝，可知在△和△中，②由＝，＝可知四边形为平行四边形．18．(12分)如图所示，港口B位于港口O正西方向120 处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿方向(北偏西30°)以v 的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 的速度驶向小岛C，在小岛C 用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h，求v的值与相遇处与港口O的距离．解：(1)∵∠＝30°，∠＝60°，∴∠＝90°.∴＝·60°＝120×＝60()．∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为＝1(小时)．答：快艇从港口B到小岛C需要1小时．(2)作⊥，设相交处为点E，连接.∴＝·30°＝60 ，＝＝30 ，＝·30°＝90 .∴＝90－3v()．∵＝60 ，∴2＋2＝2，即(30)2＋(90－3v)2＝602.解得v＝20或v＝40.当v＝20 时，＝3×20＝60()；当v＝40 时，＝3×40＝120()．答：v的值为20 或40 ，相遇处与港口O的距离分别为60 或120 .。

方法技巧训练(一) 与角平分线有关的基本模型方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算 类型1 两个内角平分线的夹角如图1，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC ＝90°＋12∠A.图1 图2图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和． 类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P ＝12∠A.解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半． 类型3 两外角平分线的夹角如图3，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O ＝90°－12∠A.解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC ＝110°．【变式1】如图，若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝20°．【变式2】如图，若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝70°．【变式3】如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线．若∠A 1＝α，则∠A 2 019＝α22 018．方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，OE∥BC交AB于点E，则△BOE是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．图4 图5 图6 图72．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5，BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO.②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO是∠ABC的平分线，在BA，BC上取线段BE＝BF，则△BEO≌△BFO.解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段构造全等三角形．③过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形．如图7，BD是∠ABC的平分线，点E是BD上一点，过点E作BD的垂线，则△BGH是等腰三角形且BD垂直平分GH.2.如图，在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线MN交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为(D)A．10 cm B．28 cm C．20 cm D．18 cm3.如图，矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积(B)A．8 cm2B．10 cm2C．15 cm2D．20 cm24．(2018·大庆)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B) A．30°B．35°C．45°D．60°5．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则AC的长是16．提示：延长BN交AC于点E.因为AN平分∠BAC，BN⊥AN，可证△ABN≌△AEN，则AN是△ABE的中线，即点N 平分BE，所以MN是△BEC的中位线．6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE相交于点O，试说明BE，CD，BC的数量关系，并加以说明．解：BC ＝BE ＋CD.理由如下：在BC 上取点G ，使得CG ＝CD ，连接OG.∵∠BOC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12×(180°－60°)＝120°，∴∠BOE ＝∠COD ＝60°.∵BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ， ∴∠EBO ＝∠GBO ，∠OCG ＝∠OCD. 在△COD 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠DCO ＝∠GCO ，CD ＝CG ，∴△COD ≌△COG(SAS)．∴∠COG ＝∠COD ＝60°.∴∠BOG ＝120°－60°＝60°＝∠BOE. 在△BOE 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BOE ＝∠BOG ，BO ＝BO ，∠EBO ＝∠GBO ，∴△BOE ≌△BOG(ASA)．∴BE ＝BG.∴BE ＋CD ＝BG ＋CG ＝BC.7．感知：如图1，AD 平分∠BAC.∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°，易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°，求证：DB ＝DC.应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠B ＝45°，∠C ＝135°，DB ＝DC ＝a ，则AB －AC 用含a 的代数式表示)．图1 图2图3证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F. ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB(AAS)．∴DC ＝DB.。

单元检测(四) 图形初步与三角形(考试用时:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°,则∠2的度数是()A.35°B.45°C.55°D.65°答案C解析∵∠1+∠3=90°,∠1=35°,∴∠3=55°,∴∠2=∠3=55°.2.已知下列命题:①若>1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案A解析∵当b<0时,如果>1,那么a<b,∴①错误;∵若a+b=0,则|a|=|b|正确,但是若|a|=|b|,则a+b=0错误,∴②错误;∵等边三角形的三个内角都相等,正确,逆命题也正确,∴③正确;∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等,∴④错误;其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个.3.(2018湖北宜昌)如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于()A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米答案C解析∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35°,∴小河宽PA=PC tan∠PC A=100tan 35°米.4.在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标为(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C'的坐标为()A.,0B.(2,0)C.,0D.(3,0)答案C解析过点B作BD⊥x轴于点D,∵∠ACO+∠BCD=90°,∠OAC+ACO=90°,∴∠OAC=∠BCD,在△ACO与△BCD中,∴△ACO≌△CBD(AAS),∴OC=BD,OA=CD,∵A(0,2),C(1,0)∴OD=3,BD=1,∴B(3,1),∴设反比例函数的解析式为y=,将B(3,1)代入y=,得k=3,∴y=,∴把y=2代入y=,得x=,当顶点A恰好落在该双曲线上时,此时点A移动了个单位长度,∴C也移动了个单位长度,此时点C的对应点C'的坐标为,0.5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=() A.2 B.3 C.4 D.2答案C解析在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,∴CE=AE=5,又∵AD=2,∴DE=AE-AD=5-2=3,∵CD为AB边上的高,∴∠CDE=90°,∴△CDE为直角三角形∴CD==4.6.(2018湖南娄底)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin α-cos α=()A. B.- C. D.-答案D解析∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132, 整理得AC2+7AC-60=0,解得AC=5,AC=-12(舍去),∴BC==12,∴sin α=,cos α=,∴sin α-cos α==-.7.(2018陕西)在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()A. B.2 C. D.3答案C解析∵AD⊥BC,∴△ADC是直角三角形,∵∠C=45°,∴∠DAC=45°,∴AD=DC,∵AC=8,∴AD=4,在Rt△ABD中,∠B=60°,∴BD=,∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30°,∴DE=BD·tan 30°=,∴AE=AD-DE=4.8.(2018湖北黄冈)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为()A.50°B.70°C.75°D.80°答案B解析由三角形的内角和定理,得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-25°=95°.又由垂直平分线的性质,知∠C=∠DAC=25°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠C=∠BAD+25°=95°∴∠BAD=95°-25°=70°.9.如图,△ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是()A.4.5B.5C.5.5D.6答案A解析∵点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,∴AD是△ABC的中线,BE是△ABD的中线,CF是△ACD的中线,AF是△ABE的中线,AG是△ACE的中线,∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=,同理可得△AEG的面积=,△BCE的面积=×△ABC的面积=6,又∵FG是△BCE的中位线,∴△EFG的面积=×△BCE的面积=,∴△AFG的面积是×3==4.5.10.(2018江苏南通)如图,等边△ABC的边长为3 cm,动点P从点A出发,以每秒1 cm的速度,沿A→B→C的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(s),y=PC2,则y关于x的函数的图象大致为()答案C解析∵正△ABC的边长为3 cm,∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=3 cm.①当0≤x≤3时,即点P在线段AB上时,AP=x cm(0≤x≤3);解法一:根据余弦定理知cos A=,即,解得y=x2-3x+9(0≤x≤3);该函数图象是开口向上的抛物线;解法二:过C作CD⊥AB,则AD=1.5 cm,CD= cm,点P在AB上时,AP=x cm,PD=|1.5-x| cm,∴y=PC2=2+(1.5-x)2=x2-3x+9(0≤x≤3),该函数图象是开口向上的抛物线;②当3<x≤6时,即点P在线段BC上时,PC=(6-x)cm(3<x≤6);则y=(6-x)2=(x-6)2=x2-12x+36(3<x≤6),∴该函数的图象是在3<x≤6上开口向上的抛物线.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件:,使得△ABC≌△DEC.答案AB=DE(答案不唯一)解析添加条件是:AB=DE,在△ABC与△DEC中,∴△ABC≌△DEC(SSS).12.如图,m∥n,∠1=110°,∠2=100°,则∠3=.答案150°解析如图,∵m∥n,∠1=110°,∴∠4=70°,∵∠2=100°,∴∠5=80°,∴∠6=180°-∠4-∠5=30°,∴∠3=180°-∠6=150°.13.三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于.答案2.5解析∵32+42=25=52,∴该三角形是直角三角形,∴×5=2.5.14.(2018湖南湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为.答案x2+32=(10-x)2解析设AC=x,∵AC+AB=10,∴AB=10-x.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.15.一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为.答案16解析x2-10x+21=0,因式分解得(x-3)(x-7)=0,解得x1=3,x2=7,∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根,∴三角形的第三边为3或7,当三角形第三边为3时,3+3=6,不能构成三角形,舍去;当三角形第三边为7时,三角形三边分别为3,6,7,能构成三角形,则第三边的长为7.∴三角形的周长为:3+6+7=16.16.(2018湖南娄底)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3 cm,则BF=cm.答案6解析在Rt△ADB与Rt△ADC中,,∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴S△ABC=2S△ABD=2×AB·DE=AB·DE=3AB,∵S△ABC=AC·BF,∴AC·BF=3AB,∵AC=AB,∴BF=3,∴BF=6.17.(2018四川达州)如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为.答案解析∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE,在△BNA和△BNE中,∴△BNA≌△BNE(ASA),∴BA=BE,∴△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,∴点N是AE中点,点M是AD中点(三线合一),∴MN是△ADE的中位线,∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN=DE=.18.(2018广东)如图,已知等边△OA1B1,顶点A1在双曲线y=(x>0)上,点B1的坐标为(2,0).过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2,得到第二个等边△B1A2B2;过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边△B2A3B3;以此类推,…,则点B6的坐标为.答案(2,0)解析如图,作A2C⊥x轴于点C,设B1C=a,则A2C=a,OC=OB1+B1C=2+a,A2(2+a,a).∵点A2在双曲线y=(x>0)上,∴(2+a)·a=,解得a=-1,或a=--1(舍去),∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2,∴点B2的坐标为(2,0);作A3D⊥x轴于点D,设B2D=b,则A3D=b,OD=OB2+B2D=2+b,A2(2+b,b).∵点A3在双曲线y=(x>0)上,∴(2+b)·b=,解得b=-,或b=-(舍去),∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2,∴点B3的坐标为(2,0);同理可得点B4的坐标为(2,0)即(4,0);…,∴点B n的坐标为(2,0),∴点B6的坐标为(2,0).三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)(2018贵州铜仁)已知:如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证:AE∥BF.证明∵AD=BC,∴AC=BD,在△ACE和△BDF中,∴△ACE≌△BDF(SSS),∴∠A=∠B,∴AE∥BF.20.(8分)(2018浙江杭州)阅读下列题目的解题过程:已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.解∵a2c2-b2c2=a4-b4(A)∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)∴c2=a2+b2(C)∴△ABC是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为:;(3)本题正确的结论为:.解(1)由题目中的解答步骤可得,错误步骤的代号为:C;(2)错误的原因为:没有考虑a=b的情况,(3)本题正确的结论为:△ABC是等腰三角形或直角三角形.21.(10分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.(1)证明∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在△BDG和△ADC中,∴△BDG≌△ADC(SAS),∴BG=AC,∠BGD=∠C,∵∠ADB=∠ADC=90°,E,F分别是BG,AC的中点,∴DE=BG=EG,DF=AC=AF,∴DE=DF,∠EDG=∠EGD,∠FDA=∠FAD,∴∠EDG+∠FDA=90°,∴DE⊥DF;(2)解∵AC=10,∴DE=DF=5,由勾股定理得,EF==5.22.(10分)(2018湖南张家界)2017年9月8日—10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图,某选手从离水平地面1 000米高的A点出发(AB=1 000米),沿俯角为30°的方向直线飞行1 400米到达D点,然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点,求该选手飞行的水平距离BC.解过点D作DE⊥AB于E,DF⊥BC于点F,由题意知∠ADE=30°,∠CDF=30°,在Rt△DAE中.AE=AD=×1 400=700,cos∠ADE=,DE=1 400×=700EB=AB-AE=1 000-700=300DF=BE=300tan∠CDF=FC=300×=100∴BC=BF+FC=DE+FC=700+100=800(米).23.(10分)在△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A-C-B运动,点Q从点A 出发以a(cm/s)的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示.(1)求a的值;(2)求图2中图象C2段的函数表达式;(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积,求x的取值范围.解(1)如图,作PD⊥AB于D,∵∠A=30°,∴PD=AP=x,由题图2可知,当x=1时,y=,∴×a×1=,∴a=1.(2)如图,作PD⊥AB于D,由图象可知,PB=5×2-2x=10-2x,PD=PB·sin B=(10-2x)·sin B,∴y=×AQ×PD=x×(10-2x)·sin B,∵当x=4时,y=,∴×4×(10-2×4)·sin B=,解得sin B=,∴y=x×(10-2x)×=-x2+x;(3)x2=-x2+x,解得x1=0,x2=2,由图象可知,当x=2时,y=x2有最大值,最大值是×22=2,-x2+x=2,解得,x1=3,x2=2,∴当2<x<3时,点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积,大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积.24.(12分)(2018贵州安顺)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0),C(0,3).(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△PBC为直角三角形的点的坐标.解(1)依题意得解之得∴抛物线的解析式:y=-x2-2x+3.∵对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),∴把B(-3,0),C(0,3)分别代入直线y=mx+n,得,解之得,∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3.(2)直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小,把x=-1代入直线y=x+3得y=2,∴M(-1,2).即当点M到点的距离与到点的距离之和最小时M的坐标为(-1,2).(注:本题只求M坐标没说要证明为何此时MA+MC的值最小,所以答案没证明MA+MC的值最小的原因).(3)设P(-1,t),又B(-3,0),C(0,3),∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10解之得t=-2,②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2解之得t=4,③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18解之得t1=,t2=.综上所述的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或-1,或-1,.。