积分表

30．
∫ ax
2
x 1 b dx dx ＝ ln ax 2 + bx + c − 2 ∫ 2a 2a ax + bx + c + bx + c
x 2 + a 2 (a > 0) 的积分
＝ arsh
（六）含有 31．
∫
dx x2 + a2
x + C1 ＝ ln( x + x 2 + a 2 ) + C a
13．
∫ ∫
x 2 dx ＝ 2 (ax − 2b) ax + b + C 3a ax + b x2 2 dx ＝ (3a 2 x 2 − 4abx + 8b2 ) ax + b + C 15a 3 ax + b
1 ln b ax + b − b + C (b > 0) ax + b + b
14．
⎧ ⎪ dx ⎪ ＝⎨ 15． ∫ x ax + b ⎪ ⎪ ⎩
77．
∫
∫
c + bx − ax 2 dx ＝
x c + bx − ax
2
78．
dx ＝ −
7
（十）含有 ±
x−a 或 ( x − a )( b − x ) 的积分 x−b x−b )+C
79．
∫ ∫ ∫
∫
x−a x−a dx ＝ ( x − b) + (b − a ) ln( x − a + x−b x−b
80．
x−a x−a x−a dx ＝ ( x − b) + (b − a ) arcsin +C b− x b− x b− x dx x−a +C ＝ 2 arcsin b− x ( x − a )(b − x )

12基本积分表kdx kx C (k 是常数)1xx dxC, (u11dx In | x | C x dx2 arl tanx C1 xsin xdx cosx Csecx tanxdx secx Ccscx cot xdx cscx Ce x dx e x C a x dx-C , (a0,且 a 1)In ashxdx chx C chxdx shx C1 丄x arc tan C aa(1) (2)(3)(4)(5)(6)(7) (8) (9)(10)(11) (⑵(13)(14) (15)(16)cosxdx sinx C1)—dx cosx —V-dxsin xtan x C cot x Cydx1 dx 12 2.a xx arc sin- Ca从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式:类换元法也叫凑微分法。

务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

(17)2-ln —| C2a x a (19),1 dxa 2 x 2 ln( x .a 2x 2) C(20)dx .x 2 a 2In |x x 2 a(21) tan xdx In | cosx | C(22) cot xdx In | sinx| C (23) secxdx In | secx tanx (24) cscxdx In | cscx cotx CCI I (18)注：1、 ・2sin x2 2cos x 1,ta n x 2 2sec x,sin 2x 2sin xcosx, cos x1 cos2x，sin 2 x1 cos2x注：由 f[ (x)] '(x)dxf[ (x)]d (x)，此步为凑微分过程，所以第此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如,小结：1常用凑微分公式。

常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b C b x +-+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a-12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a -+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x⎰＝22232(34815a x abx b C a -+15．⎰(0)(0)C b C b ⎧+>< 16．⎰2a bx b -- 17．x ⎰＝b ⎰18．2d x x ⎰＝2a + （三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+< 23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b +⎰＝2d x b x a a ax b-+⎰ 25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2xxb ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)Cb ac Cb ac +<+> 30．2d xx ax bx c ++⎰＝221d ln 22b xax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．⎰＝1arsh x C a +＝ln(x C ++32．C +33．x ⎰C34．x＝C +35．2x2ln(2ax C +36．2x＝ln(x C +++37．⎰1ln aC a x -+38．⎰C +39．x2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C ++41．x ⎰C +42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x ⎰a C +44．x ⎰＝ln(x C +++(0)a >的积分45．⎰＝1arch x x C x a+=ln x C + 46．C +47．x ⎰C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++ 51．⎰1arccos a C a x +52．⎰C +53．x 2ln 2a x C -++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -+57．x ⎰arccos a a C x -+58．x ⎰＝ln x C +++(0)a >的积分59．⎰＝arcsin x C a+ 60．C +61．x ⎰＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsin x C a -+65．⎰1C a +66．⎰2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a +68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C70．x x ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a -+71．x ⎰a C ++72．x ⎰＝arcsin x C a -+(0)a >的积分73．⎰2ax b C +++74．x22ax b C ++++75．x ⎰2ax b C -+++ 76．⎰＝C +77．x 2C +78．x ⎰＝C ++79．x ⎰＝((x b b a C --+80．x ⎰＝((x b b a C -+-81．⎰＝C ()a b <82．x 2()arcsin 4b a C -+()a b < （十一）含有三角函数的积分83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C +85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan 2x C +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C +90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C +92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+ 93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++ 95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n x n x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++- 102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++- 103．d sin x a b x +⎰tan x a b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C +22()a b < 105．d cos x a b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b < 107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )b x C ab a+ 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a-+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a-+++ 111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a++ 112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+ （十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a ++ 114．arcsin d x x x a⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+ 115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++ 116．arccos d x x a ⎰＝arccosx x C a117．arccos d x x x a⎰＝22()arccos 24x a x C a -118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+ 119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n--++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰＝lnch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π。

~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~*~ Inverse Hyperbolic Functions
-1-
a 2 + u 2 du =
-2-
23
∫
∫ ∫
a2 + u 2 a + a2 + u2 du = a 2 + u 2 − a ln +C u u
∫u ∫
∫
d (sin x) = cos x dx d (csc x) = − csc x cot x dx
∫ a du = ln a + C
au
14 17
d (cos x) = − sin x dx d (sec x) = sec x tan x dx
15 18
d (tan x) = sec2 x dx d (cot x) = − csc2 x dx
26 29
d (cosh x) = sinh x dx d (sech x) = − sech x tanh x dx
27 30
d (tanh x) = sech 2 x dx d (coth x) = − csch 2 x dx
∫ ∫u
a 2 + u 2 du =
2
u 2 a2 a + u 2 + ln(u + a 2 + u 2 ) + C 2 2 u 2 a4 (a + 2u 2 ) a 2 + u 2 − ln(u + a 2 + u 2 ) + C 8 8
42 43
29