高三基本不等式复习

基本不等式复习讲义类型一：利用基础性质求解最值例1 函数y ＝x ＋1x(x >0)的最小值为________．【变式1】 函数y ＝x ＋1x (x < 0)的最小值为________.【变式2】 若x <54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最大值为________．【变式3】 若0,0x y ≥≥，且26xy x y +-=，则x y +的最小值为_________．练习1．已知0x >，则下列说法正确的是（ ） A ．12x x+-有最大值0 B ．12x x+-有最小值为0 C ．12x x+-有最大值为－4 D ．12x x+-有最小值为－4 练习2．已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值4练习3.（多选题）下列说法正确的是（ ） A ．()10x x x+>的最小值是2B 2C 2的最小值是2D ．423x x--的最小值是2-类型二：常数代换法求最值例2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【变式1】 母题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．【变式2】 母题的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．【变式3】 若母题条件变为“已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3”，则2a ＋1b 的最小值为________．例3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为________.【变式4】若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是________．【变式5】已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为__________.练习1若0m >，0n >，且2m n +=，则12m n+的最小值为（ ）．A ．3+BC ．3D ．52练习2已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9练习3正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( )A.13B.1C.2D.59练习4．（多选题）若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法错误的是（ ）A ．ab 有最小值14B ．C ．11a b+有最小值4 D ．22a b +练习5．（多选题）已知正数a ，b 满足21a b +=，则（ ）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8D ．1a a+的最小值为2类型三：“和”与“积”的互换例4.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________.【变式1】已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________.【变式2】已知实数y x ,满足1422=-+xy y x ，则y x +2的最大值是_________.【变式3】已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.练习1若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________.练习2已知0,>y x 且满足3=++y x xy 则xy 的最大值是____________.类型四：二次一次 或 一次二次的处理方法 例5.已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________例6.当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【变式1】已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则1222+++b b a a 的最小值是___________.【变式2】设y x ,是正实数，且1=+y x ，则1222+++y y x x 的最小值是___________.类型五：基本不等式求解恒成立问题例7已知0a >，0b >，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为__________.【变式1】已知0a >，0b >，若不等式122ma b a b+≥+恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7练习1 设102m <<，若2212k m m +≥-恒成立，则k 的最大值为___________.练习2 若两个正实数x ，y 满足141x y+=，且不等式28x y m m +≤-有解，则实数m 的取值范围是______．练习3 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8类型六：其它基本不等式题型综合1.设z y x ,,为正实数，032=+-z y x ，则xzy 2的最小值是____________.2. 若正实数z y x ,,满足02=+-z y x ，则zy xz+的最大值是____________.3. 已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值是____________.4.已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.5.正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13 B.1 C.2D.596.(多选题)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋b ＋c ≤3 B.(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c ≥23D.a 2＋b 2＋c 2≥17.2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足 x = 4−21m +. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为816xx+万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍. (1)将2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？课后作业1.（多选题）已知0,0x y >>，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．xy 有最小值1 B ．22x y +有最小值2 C ．22x y+有最小值4D ．x y +有最小值42.若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．2ab ≥ B ．2a b +≤ C ．213a b+≥D ．222a b +≥3.（多选题）已知正数a ，b 满足21a b +=，则（ ）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为8D ．1a a+的最小值为24.（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a +b ＝1，求ab 的最大值； （2）若a ＞0，b ＞0，且a +b ＝4，求的最小值．5.如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽2m ，苗圃与通道之间由栅栏隔开．(1)若苗圃面积25000m ，求栅栏总长的最小值；(2)若苗圃带通道占地总面积为25000m ，求苗圃面积的最大值．。

专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。

基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，

高中4个基本不等式的公式
高中4个基本不等式：√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。

平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。

基本不等式两大技巧“1”的妙用。

题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。

如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。

（当且仅当a=b时，等号成立）
（2）√(ab)≤(a+b)/2。

（当且仅当a=b时，等号成立）
（3）a²+b²≥2ab。

（当且仅当a=b时，等号成立）
（4）ab≤(a+b)²/4。

（当且仅当a=b时，等号成立）
（5）||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。

（当且仅当a=b时，等号成立）。