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§1.6 基本不等式(第一课时)课程标准1.掌握基本不等式： ab ≤a ＋b 2（a >0，b >0） 2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：_________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥_____(a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥__(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则(1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当_____时，和x ＋y 有最___值2p . (简记：积定和最小)(2) 如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，积xy 有最___值p 24. (简记：和定积最大)注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)“x ＞0且y ＞0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( )二、练牢教材小题1．(人教B 版必修①P73例1改编)若x ＜0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－22．(人教A 版必修①P46例3改编)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是________．3．(北师大版必修①P28T4改编)已知x ＞2，则x ＋1x －2的最小值是________．考法(一) 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________；(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(3)已知 ,则[方法技巧]配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．考法(二)常数代换法求最值[例2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则 + 的最小值为________．[方法技巧] 1．常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．常数代换法求解最值应注意的问题(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．变式1：已知a>0，b>0，3a＋2b＝2，则 + 的最小值为________．2.已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．ab的最大值为________________考法（三）消元法求最值[例3] 已知a>0，b>0，3a＋b＋ab＝9，则a＋b的最小值为________．[方法技巧] 利用消元法求最值的技巧消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．变式：(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则12a＋12b＋8a＋b的最小值为________．。
授课内容：基本不等式授课班级：高三七班
授课教师：授课时间：第17周(周三上午第1节)
教学三维目标：
1.知识与能力目标：
掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值
2.过程与方法目标：
体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。
3.情感态度与价值观目标：
通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯
教学重难点：
重点：基本不等式在解决最值问题中的应用
难点：基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件
学情分析与学法指导：
基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正，二定，三相等”的应用条件一方面容易被忽略，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形，又可以转化成运用基本不等式的类型，学生解决起来有一定的困难。
在本节高三复习课中，结合学生实际编制了教案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发引导学生课前自主预习。
设计说明：
1.设计课前导学旨在引导学生逐步养成自主预习的学习习惯。
2.设计答疑解惑环节旨在结合学生自主预习中找出的疑惑点，更有针对性的解答学生的疑惑。
3.设计回顾反思环节旨在逐步引导学生及时总结规律方法，逐步养成解题后反思的学习习惯。
课前导学（夯实基础）
知识梳理
一、基本不等式ab≤a＋b 2
1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
2.等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 几何背景：半径不小于半弦(右图) 二、几个重要的不等式 a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)． 2)2
(b a ab +≤(a ，b ∈R )； 222)2(2b a b a +≥+(a ，b ∈R )． 三、算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2，几何平均数为ab ，基本不等
式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
四、利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则：
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24
.(简记：和定积最大)
例题讲解：教材90页基础自测1、2、5题 考点二第一题
练习：教材92页第1题和第3题
小结：
1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
2.对于公式a ＋b ≥2ab ，2)2
(b a ab +≤，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．
3.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b
2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
说课稿
一、说教材
用基本不等式 ab b a ≥+2
(a ＞0，b ＞0)求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点．三个必要条件——即一正(各项的值为正)二定(各项的和或积为定值)三相等(取等号的条件)更是相关考题瞄准的焦点．本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。
主要是二元均值不等式。
它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。
就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。
就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。
二.说教法
针对本节课的教学目标和学生的实际情况，先通过复习基本不等式，然后找出重要不等式和基本不等式成立的不同条件，再通过具体的条件讲解怎么样正确的应用基本不等式及其变形来解决函数的最值问题。
三.说学法
首先从形式上理解如何才能构建出用均值不等式的结构，其次从形式上配凑出用均值不等式的结构，并把握住三大条件：“一正；二定；三相等教学目标。
借助例题引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步引导学生领会运用基本不等式2
b a ab +≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，结合变式思考提升学生解决问题的能力，体
会方法与策略。
四.说教学过程
1.检查课前预习情况
2.复习回顾基本不等式的知识点
3.讲解基础自测与考点二利用基本不等式求函数最值的方法
4.学生练习
五.说教学预测
通过本节课的教学，学生能掌握一般较为简单的不等式求最值的方法，但是在不等式求最值时的变形应用和取等号成立的条件时，肯定会存在一定的问题。
