第9讲 线面、面面平行与垂直
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线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理:平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
符合表示: βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理:如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
符号表示:b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行。
符号表示: βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理:如果两个平面平行同时与第三个平面相交,那它们的交线平行。
符号表示: d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα (更加实用的性质:一个平面内的任一直线平行另一平面)三、线面垂直。
1、判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。
符号表示: α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a $:三垂线定理:(经常考到这种逻辑)在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
符号表示:PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理:垂直同一平面的两条直线互相平行。
(更加实用的性质是:一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
)四、面面垂直。
1、判定定理:经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理:已知两个平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,,欢迎您的下载,资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习资料等等打造全网一站式需求。
1线面、面面的平行与垂直一、构造模型法解题:判断空间点、线、面的位置关系是比较抽象的,我们可以借助特殊的几何模型,如长方体(正方体)、三棱锥(正四面体)来判断,因为这些几何体中的点线面的位置关系非常丰富,这样可以化繁为简,化抽象为具体。
当问题没有给出具体的图形,只是给出了相关点、线、面的关系(如平行、垂直等),要判断某些元素的位置关系时,通常可考虑构造正方体模型,把这些线、面变成正方体的线段或某一面,进而加以解决。
[例1] (1) 对于直线m 、n 和平面α,下面问题中的真命题( )A.如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线,那么n ∥αB.如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线,那么n 与α相交C.如果,a m ⊂n ∥α,m 、n 共面,那么m ∥nD.如果m ∥α,n ∥α,m 、n 共面,那么m ∥n 分析:构造正方体,如图1.对于选项A ,设a 为平面ABCD ,m 为AB ,n 为C 1C ,则n ⊥a ,故A 错。
对于选项B ,设a 为平面ABCD ,m 为AB ,n 为A 1D 1,则n ∥a ,故答案B 错。
对于选项D,设a 为平面AC ,m 为A 1B 1,n 为B 1C 1,此时m 与n 相交于B 1,故答案D 错。
∴正确答案为C ,事实上,设a 为平面ABCD ,m 为AB ,n 为A 1B 1,∵AB ∥A 1B 1,∴m ∥n.(2).空间A 、B 、C 、D 四点不共面,平面α与A 、B 、C 、D 四点的距离相等,这样的平面α有( )A .0个B .4个C .3个D .7个 [答案] D[解析] 三个点在一侧,另一点在α的另一侧(A ,B ,C )与D ,(A ,B ,D )与C ,(A ,C ,D )与B ,(B ,C ,D )与A ;两个点在α的一侧,另两点在α的另一侧,(A ,B )与(C ,D ),(A ,C )与(B ,D ),(A ,D )与(B ,C )如图所示:一类如:B ,C ,D 所在平面β与α平行,A ,B 到α距离AA ′=BB ′, 另一类如:AB ∥α,CD ∥α,B ,D 到α距离BB ′=DD ′. 二、转化的思想①解决空间线线、线面、面面平行或垂直关系的问题关键是作好下列转化线∥线线∥面面∥面 线⊥线线⊥面面⊥面②等积转化;③立几向平几转化。
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直面面垂直)如果,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若D也是圆周上一点,且与C分居直径AB的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C 的侧面11BCC B 是菱形,11B CA B证明:平面1ABC 平面11A BC 3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱CC 1的中点(Ⅰ)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 是圆O的直径,C是圆周上一点,PA 平面ABC .若AE ⊥PC ,E为垂足,F是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D 是A1B1中点.(1)求证C1D⊥平面A1B;(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论6、S是△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC. SAB7、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ,2,4AB AD ,将CBD 沿BD 折起到EBD 的位置,使平面EDB 平面ABD .求证:AB DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9、如图,在四棱锥ABCD P 中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB=AD ,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD ;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S中,平面SAB 平面SBC ,AB AS BC AB ,.过A 作SB AF ,垂足为F ,点G E,分别是棱SC SA ,的中点。
线线垂直,线面垂直,面面垂直的关系稿子一:嘿,朋友!今天咱们来聊聊线线垂直、线面垂直还有面面垂直的那些事儿。
你看哈,线线垂直就像是两个小伙伴在打架,谁也不让谁,非要争个上下。
比如说,一条直线直直地站着,另一条直线冲过来和它成了直角,这就是线线垂直啦,简单直接!那线面垂直呢,就像是一个勇敢的战士面对着一堵墙,直直地站在那,和墙面成了直角。
而且不管墙面怎么变化,这个战士都坚定不移,这就是线面垂直哦。
面面垂直可就更有趣啦!想象一下两个大板子,一个板子立得直直的,另一个板子和它碰到一起,还形成了直角,这就是面面垂直。
你说它们之间有没有关系呢?当然有啦!线线垂直可以推出线面垂直,就好像是一个小小的胜利积累成了大的成功。
而线面垂直又能推出面面垂直,就像一步一步升级打怪一样。
这三者的关系就像一个有趣的链条,一环扣一环,是不是很有意思呀?稿子二:亲爱的小伙伴,咱们来唠唠线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系呗!先说线线垂直,这就好比两根针,针尖对着针尖,谁也不退缩,这就是垂直啦,多干脆!线面垂直呢,就像是一根旗杆立在地面上,直直的,和地面成了直角,稳稳当当。
不管刮多大风,它都不会歪。
面面垂直呢,你就想想两块大木板,相互靠在一起,还成直角,是不是感觉很结实?其实呀,它们之间的关系可密切啦!如果线线垂直了,那么就有可能出现线面垂直的情况。
就好像是积累了足够多的小胜利,终于迎来了大突破。
而线面垂直一旦成立,面面垂直也就不远啦。
这就像多米诺骨牌,一个接着一个倒,顺理成章。
比如说,在一个房间里,墙面和地面就是面面垂直的,这都是因为线线垂直和线面垂直在背后起作用呢。
怎么样,是不是觉得这三者的关系很神奇,也很有趣呀?。
高中数学线面垂直概念详解1. 线面之间的关系在线性代数中,我们学习了直线和平面的方程以及二者之间的关系。
在三维空间中,一条直线可以与一个平面相交、平行或重合。
其中,与平面相交的直线特别重要,因为我们可以通过直线和平面的相交关系来研究线面垂直的概念。
2. 线面垂直的定义在线性代数中,我们称一个线与一个平面相交,并且这条线在平面上的投影为一个点,那么我们可以称该直线与该平面垂直。
3. 垂直关系的判断方法如何判断一条直线与一个平面是否垂直?以下是一种简单的判断方法:•首先,我们要求得这条直线的方向向量,通常用直线上两个点的坐标差求得;•接着,我们求得该平面的法向量;•最后,我们计算直线的方向向量和平面的法向量的点积。
如果点积等于零,则该直线与该平面垂直。
4. 点积为零的解释为什么直线的方向向量和平面的法向量的点积等于零时,可以判定直线与平面垂直?这涉及到点积的几何意义。
点积是两个向量的乘积,并且结果是一个标量。
点积等于零的几何意义表示两个向量的夹角为90度,也就是两个向量垂直。
因此,当直线的方向向量和平面的法向量的点积为零时,我们可以得出直线与平面垂直的结论。
5. 垂直关系的示例例如,考虑以下直线和平面的方程:直线方程:L: x = 2 + t, y = 3 - 2t, z = 1 - 4t 平面方程:P: 2x + 3y + 4z = -5我们可以首先计算直线的方向向量为(1, -2, -4),然后计算平面的法向量为(2, 3, 4)。
接着,计算方向向量和法向量的点积:(1, -2, -4) · (2, 3, 4) = 2 - 6 - 16 = -20。
因为点积不等于零,所以可以判定直线L与平面P不垂直。
6. 线面垂直的性质线面垂直的概念具有以下性质:•如果两个平面垂直,那么它们的法向量也垂直;•如果两条直线垂直,那么它们的方向向量也垂直;•如果一条直线垂直于一个平面,而另一条直线与该平面平行,那么这两条直线也垂直。
线面垂直、面面垂直及其证明一线面垂直的判定定理1)线面垂直定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直•(2)判定定理:如果直线I和平面内的两条相交的直线m,n都垂直,那么直线I垂直于平面.(线面垂直线线垂直)(3)三垂线定理及其逆定理①三垂线定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(4)线面垂直的证明例1已知正方体ABCD A1B1C1D1,求证:AC 面AB1D1.例2如图1所示,ABCD为正方形,SA丄平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB SC, SD于E,F,G .求证:AE SB,AG SD .例3 已知ABC 中ACB 90°, SA 面ABC,AD SC,求证:AD 面SBC.D例4在正方体ABCD A i B1C1D1中,M为CG的中点,AC交BD于点0 ,求证:A0 平面MBD .练习1在正方体ABCD ABGD I中.(1)求证:AC 平面BD i BD.(2)求证:BD1平面ACB1.练习2在三棱锥A BCD中,BC AC , AD BD,作BE CD , E为垂足,作AH BE于H.求证:AH 平面BCD.练习3在四棱锥P ABCD中,PA 底面ABCD,AB AD,AC CD,ABC 60,PA AB BC,E 是PC 的中点•(1)求证:CD AE .(2)求证:PD 面ABE.面面垂直(1) 二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面,若棱为 I ,两个面分别为, ,二面角记作为 I . (2)二面角的平面角定义:在二面角 I 棱I 上取一点0,在半平面 和 内, 从点0分别作垂直于棱I 的射线0A,0B ,射线组成 A0B .则 A0B 叫做二面角的平 面角•二面角的取值范围为[0 ,180].(3) 面面垂直定义: 若两个平面的二面角为直二面角 (平面角是直角的二面角), 则这两个平面互相垂直.(4)面面判定定理:一个平面过另一个平面,则这两个面相互垂直 .(5) 面面垂直的正面即:面面垂直 线面垂直 线线垂直.例1如图,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E 是AA 的中点.(1)求证: AC//平面 BDE ;例2如图,直三棱柱 ABC AB 1C 1中,侧棱垂直于底面, 1 ____________________________________AC BC 一 AA ,D 是棱AA 1的中点,求证:平面 BDG 平面BDC • 2(2)求证:平面 AAC 平面BDE .ACB 90(1) 平面EFG//平面ABC ; (2) BC SA •例2 (2012江苏)如图,在直三棱柱ABC ABG 中,AQ , D ,E 分别是棱BC,CCl上的点(点D 不同于点C ),且A D D E ,F 为BlCl的中点.求证: (1) 平面 ADE 平面 BCC 1B 1 ; (2)直线A.F //平面ADE .练习如图,过S 引三条长度相等但不共面的线段 SASB,SC ,且 ASB ASC 60 , BSC 90,求证:平面 ABC 丄平面 BSC .三立体几何高考证明例1 (2013江苏)如图,在三棱锥SAB BC , AS AB ,过 A 作 AF SA, SC 的中点•求证:ABC 中,平面 SAB 平面SBC ,SB ,垂足为F ,点E , G 分别是棱BBCi£C例3如图,四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为平行四四边形,DAB 60 ,(I )求证:BE DE ;(II)若/ BCD 120 ,M 为线段AE 的中点,求证:DM //平面BEC .练习2 (2011天津)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB 2AD , PD 底面ABCD . (1) 证明: PA BD (2) 设PD AD1,求棱锥D PBC 的高练习1如图,几何体E ABCD 是四棱锥V ABD 为正三角形CB CD,EC BD.ADC 45,AD AC 1,O 为 AC 的中点,PO 为PD 的中点. 平面 ABCD ,PO 2,M(I )证明:PB//平面ACM ; (I)证明:AD 平面PAC ;(m)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.。
点线面的位置关系一(线面平行和面面平行)线面平行:1、判定定理:(1)平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行,则线面平行);方法:平行四边形法则+中位线法则(2)直线所在的一个平面与此平面平行,则该直线与此平面平行(面面平行,则线面平行);2、性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行(线面平行,则线线平行);面面平行:1、判定定理:一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行(线面平行,则面面平行);2、性质定理(1)两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行;(2)两个平面平行,同时与第三个平面相交,则交线平行。
例题选讲:1、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°(1)求证:AE∥平面DCF;3、(全国卷)如图,直三棱柱111C B A ABC 中,E D ,分别是1,BB AB 的中点。
(1)证明:1BC //平面CD A 13.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC ,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;线面垂直:3、判定定理:(3)一条直线与一个平面内的两条直交直线垂直,则这条直线垂直于这个面(线线垂直,则线面垂直);(4)两平面垂直,在其中一个平面内,垂直于交线的直线,则垂直于另一个平面(面面垂直,则线面垂直);方法:主动垂直+被动垂直4、性质定理(1)直线垂直于平面,则垂直于平面内的任意一条直线;(2)垂直于同一平面的两条直线平行;面面垂直:4、判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直(线面垂直,则面面垂直);5、性质定理若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
例题选讲:1、如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面P AD⊥平面ABCD,P A⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)P A⊥底面ABCD;(2)BE∥平面P AD;(3)平面BEF⊥平面PCD.2、(全国卷)如图,三棱柱111C B A ABC -中,侧棱垂直底面ο90=∠ACB ,121AA BC AC ==,D 是侧棱1AA 的中点。
线面.面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行.
1.剖断定理:平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直
线与这个平面平行.相符暗示:
2.性质定理:假如一条直线与平面平行,经由这条直线的平面和这
个平面订交,那么这条直线和交线平行. 符号暗示:
二.面面平行.
1.剖断定理:假如一个平面内有两条订交直线分离平行于另一个平面内的两条订交直线,那么这两个平面平行.
符号暗示:
2.性质定理:假如两个平面平行同时与第三个平面订交,那它们的
交线平行. 符号暗示:倍适用的性质:一个平面内的任一向线平行另一平面)
三.线面垂直.
1.剖断定理:假如一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直,
那么这条直线垂直这个平面. 符号暗示: α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
$:三垂线定理:(经常考到这种逻辑)在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 符号暗示:
2.性质定理:垂直统一平面的两条直线互相平行.(加倍适用的性质是:一个平面的垂线垂直于该平面内任一向线.)
四、面面垂直.
1.剖断定理:经由一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2.性质定理:已知两个平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,,。