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第9讲 线面、面面平行与垂直

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线面垂直_面面垂直的性质定理PPT资料(正式版)

线面垂直_面面垂直的性质定理PPT资料(正式版)

β
a l
A α
a
l
a
a l
面面垂直线面垂直
合作探究6分钟
只要在其中一个平面内找到
内12要1共2、、、、同容求重组讨熟讨及：点长论练论目讨负 时掌，标论责 ，握做：自协 随定到测调 时理全1好 记的、员小录运自积组，用测极讨争，2参、论取完与达在，善，标讨可步高1论先骤、效时一，讨达能对总论标将一结。2问.讨做题论题解然方决后法，组. 未内 两知直（,知（如只如直问思知不2垂只只知一直知思 都不不知线不如 （知垂、个识线线识线果要果线题考识但直要要识条线识考与但但识面但果线识足讨平 探 与 面 探 面 直 在 直 与 22探 要 于 在 在 探 直 与 探 3交 要 要 探 垂 要 直面 探为：:论:黑如面究平垂究垂线其线平究展同其其究线平究线展展究直展线 垂究B把时板图，垂（面直（直中面（示一中中（与面（A示示（_示直（lll地，面D与与与所，那直一垂一一垂一解个一一一一垂一解解一解一垂面随面平平平在长么，）直）个直）题平个个）个直）题题）题）面面面直抽时垂面面面平方直则平判平平判平过面平平平平判平过过平过平面面面，象记直面体线一面定面面定面程的面面面面定面程程面程面垂垂垂这为录的与A内内内A个与定与内定与，两内内与内定与，，与，与直直直两B平 ，性B地的的的平平理平找理平更条找找平的理平更更平更平）））C与条面争质面D任任任面面：面到：面重到到面两：面重重面重面平直，取定—所意意意内垂垂垂要垂条垂要要垂要垂面线旗在理A在一一一垂直直直的直相直的的直的直1与杆讨平的B条条条直的的的的交的的的平1抽论面位直直直于性性性性线性性性C面象时1垂置线线线交质质质质都质质质DA为能直关都都都线定定定定垂定定定B1直将中C，系垂垂垂的理理理理直理理理D线问，在如直直直直，垂，题平黑何，，，线则直实解面板？我我我与该吗际决A上为们们们另直？1问，A是什说说说一线D题未否么直直直个与D能能存？线线线1平此与够解在面平lll平转决与与与直垂面面化的平平平线直垂A为组面面面与。直B一长C地．D个记面垂什录垂直么好直，样，？其的准若交数备存线学展在为问示，A题质怎D？疑，样.直画线线A？1A，D1D都在平面A1ADD1内，且

线面、面面的平行垂直

线面、面面的平行垂直

直线、平面垂直的判定及性质
1、直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言 符号语言
l a, l b, a , b , a b P l
判 定 定 理
一条直线与 一个平面内 的两条相交 直线都垂直， 则该直线与 此平面垂直。
略
2、直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
证明：（1）取A'D的中点G，连接GF、GE， 1 由条件可知 FG // CD, 2 1 又BE // CD , 2 FG//BE, 故四边形 BEGF为平行四边形， BF // EG EG 平面A' DE, BF 平面A' DE BF // 平面A' DE
（2） H、F分别为CD、CA'的中点，
HF // A' D，
又A' D 平面A' DE，HF 平面A' DE,
HF // 平面A' DE 由（ 1 ）知BF // 平面A' DE, 且BF HF F ,
平面A' DE // 平面BHF
例3.
例4.
证明：
谢谢观赏
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例1.如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于 AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ。求证：PQ// 平面BEC。 解：连接AQ，并延长交BC于K，连接EK
AE BD, AP DQ, PE BQ AP DQ PE BQ 又 AD // BK
DQ AQ BQ QK AP AQ 因此 , PQ // EK PE QK

第九章立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质共63页文档

第九章立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质共63页文档
(理)如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面 ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥BE；
(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE 的中点，求证：MN∥平面DAE.
证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面 ABE，
所以AE⊥BC. பைடு நூலகம்又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， 所以AE⊥BF. 又BF∩BC＝B， 所以AE⊥平面BCE. 又(2B)证E⊂法平一：面取BDCEE的，中所点P以，A连E结⊥PAB，EP.N，因为点N
(2019·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：两条平行线中一条垂直于一个平面， 则另一条也垂直于这个平面，故选B.
(2)∵AA1＝2，∴AD1＝ A1A2＋A1D12＝ 5.
同理，AE＝ 2 ，D1E＝ 3 .∴AD12＝D1E2＋AE2.∴
D1E⊥AE.
∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面 BDD1B1.
又D1E⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1E. 又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC.
(2019·大连模拟)平面α∥平面β的一个充分 条件是
⇒a∥b
α∩β＝b
二、平面与平面平行 1．判定方法 (1)用定义：两个平面无公共点
(2)判定定理：
a∥β
b∥β
a⊂α ⇒α∥β
b⊂α

a∩b＝P
(3)其它方法： aa⊥⊥αβ⇒α∥β； αβ∥∥γγ⇒α∥β
a∥b

线面垂直面面垂直的性质定理PPT课件

线面垂直面面垂直的性质定理PPT课件
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
线面、面面垂直 的性质定理
复习回顾
1. 线面垂直判定：一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直.
2. 面面垂直判定：一个平面经过另一个平 面的垂线.
β
l ,l
l α
3.线面角：
P
α
ALeabharlann B4.面面角：β B
lO
A
[0 ,90 ]
α [0 ,180 ]
新课导入: 问题1：如果直线a，b都垂直于同一条平 面，那么直线a，b的位置关系如何？
问题2：一个平面的垂线有多少条？这些 直线彼此之间具有什么位置关系？
新课讲授： 线面垂直的性质2
垂直于同一个平面的两条直线平
行。符号语言：
a
a
b
b
a
//
b
a b
// a
b
线面垂
线线平
练习：如：已知 l,CA , 于
点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l . C β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
√ (3)在平面α内作交线的垂线，则此垂线必垂
直于平面β（ ）
2.如图，P是 ABC所在的平面外一点， 且PA 面ABC，面PAC 面PBC 求证：BC AC
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件

a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。

（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。

）四、面面垂直。

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

线线-线面-面面垂直关系

线线-线面-面面垂直关系

已知平面α和β相互垂直，直 线l在平面α内，且与β相交于 点A。过点A作直线m与α平 行。求证：m与β垂直。
由于l在α内且与β相交于点A， 根据面面垂直的性质定理我 们可以得出l与β垂直。又因为 m过点A且与α平行，根据平 行线的性质我们可以得出m与 l平行。因此m也与β垂直。
05 综合应用与拓展延伸
空间中垂直关系综合应用
01
利用线面垂直判定定理证明线面垂直
通过证明一条直线与平面内两条相交直线都垂直，可以判定该直线与平
面垂直。
02
利用面面垂直性质定理证明线面垂直
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个
平面垂直。
03
利用线面垂直性质定理证明面面垂直
如果一条直线同时垂直于两个平行平面，那么这两个平面互相垂直。
感谢您的观看
典型例题解析
例题1
解析
已知直线l1的方程为Ax+By+C1=0，直线l2 的方程为Ax+By+C2=0，且C1≠C2，求证： l1⊥l2。
由于l1和l2的A、B系数相同，因此它们的法 向量相同，根据直线间垂直的条件，可知 l1⊥l2。
例题2
解析
在三角形ABC中，已知AB⊥AC，AD是BC边 上的高，求证：AD^2=BD×CD。
如果两个平面相互垂直，那么它们的 法线也相互解析
已知平面α和β相互垂直，直 线a在平面α内，直线b在平面 β内，且a与β不垂直，b与α 不垂直。求证：a与b不平行。
假设a与b平行，由于a在α内， b在β内，且α与β相互垂直， 根据面面垂直的性质定理， 我们可以得出a与β也相互垂 直。这与题目中给出的a与β 不垂直相矛盾，因此假设不 成立，所以a与b不平行。

线面、面面的平行与垂直

线面、面面的平行与垂直

1线面、面面的平行与垂直一、构造模型法解题：判断空间点、线、面的位置关系是比较抽象的，我们可以借助特殊的几何模型，如长方体（正方体）、三棱锥（正四面体）来判断，因为这些几何体中的点线面的位置关系非常丰富，这样可以化繁为简，化抽象为具体。

当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加以解决。

[例1] （1） 对于直线m 、n 和平面α，下面问题中的真命题（ ）A.如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线，那么n ∥αB.如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果,a m ⊂n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果m ∥α,n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n 分析：构造正方体，如图1.对于选项A ，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为C 1C ，则n ⊥a ，故A 错。

对于选项B ，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为A 1D 1，则n ∥a ，故答案B 错。

对于选项D,设a 为平面AC ，m 为A 1B 1，n 为B 1C 1，此时m 与n 相交于B 1，故答案D 错。

∴正确答案为C ，事实上，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为A 1B 1，∵AB ∥A 1B 1，∴m ∥n.（2）．空间A 、B 、C 、D 四点不共面，平面α与A 、B 、C 、D 四点的距离相等，这样的平面α有( )A ．0个B ．4个C ．3个D ．7个 [答案] D[解析] 三个点在一侧，另一点在α的另一侧(A ，B ，C )与D ，(A ，B ，D )与C ，(A ，C ，D )与B ，(B ，C ，D )与A ；两个点在α的一侧，另两点在α的另一侧，(A ，B )与(C ，D )，(A ，C )与(B ，D )，(A ，D )与(B ，C )如图所示：一类如：B ，C ，D 所在平面β与α平行，A ，B 到α距离AA ′＝BB ′， 另一类如：AB ∥α，CD ∥α，B ，D 到α距离BB ′＝DD ′. 二、转化的思想①解决空间线线、线面、面面平行或垂直关系的问题关键是作好下列转化线∥线线∥面面∥面 线⊥线线⊥面面⊥面②等积转化；③立几向平几转化。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C 的侧面11BCC B 是菱形，11B CA B证明：平面1ABC 平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，AB=AD=1，AA1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D 是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC. SAB7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ，2,4AB AD ,将CBD 沿BD 折起到EBD 的位置，使平面EDB 平面ABD .求证：AB DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9、如图，在四棱锥ABCD P 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD10、如图，在三棱锥ABC S中，平面SAB 平面SBC ,AB AS BC AB ,.过A 作SB AF ，垂足为F ,点G E,分别是棱SC SA ,的中点。

第九章 立体几何9-5线面、面面垂直的判定及性质

第九章 立体几何9-5线面、面面垂直的判定及性质



∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾． ∴DE与平面ABC不垂直． 点评：①“折叠”问题一定要弄清折迭前后， 图形的哪些位置与数量关系发生了变化，哪 些没有发生变化． ②探索某种位置关系是否具备，通常是先假 定具备这种位置关系，然后结合条件进行推 理，如果产生矛盾，则不具备这种位置关系， 否则具备这种位置关系．

2．不要将“经过一点有且仅有一条直线与
平面垂直”；“经过一点有且仅有一个平面
与已知直线垂直”；“经过平面外一点有无
数条直线与已知平面平行，这无数条直线在
同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有 一个平面与已知平面平行”；“经过直线外 一点有且仅有一条直线l与已知直线平行，
4．两平面垂直时，从一个平面内一点向另一个平面 有无数个平面与已知直线平行，这无数个平 ．． 作垂线，则垂足必落在交线上． 面的交线为l”弄混错用．

(3)解：∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F， ∴BF⊥平面CDEF， 即BF⊥平面DEF. ∴BF为四面体B—DEF的高．
又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2. 四边形CDEF为直角梯形，且EF＝1，CD＝2. 1 1 2 ∴S△DEF＝ (1＋2)× 2－ ×2× 2＝ 2 2 2 1 2 1 ∴VB—DEF＝3× 2 × 2＝3.




(文)在空间中，用x、y、z表示不同的直线或 平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立， 则x、y、z分别表示的元素是( ) A．x、y、z都是直线 B．x、y、z 都是平面 C．x、y是平面，z是直线 D．x是直线，y、 z是平面 解析：垂直于同一条直线的两直线不一定平 行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不 一定平行，故B错；一条直线与一个平面都 和同一个平面垂直时，直线可能在平面内， 故C错．由线面垂直的性质知，D正确．

线线垂直,线面垂直,面面垂直的关系

线线垂直,线面垂直,面面垂直的关系

线线垂直,线面垂直,面面垂直的关系稿子一：嘿，朋友！今天咱们来聊聊线线垂直、线面垂直还有面面垂直的那些事儿。

你看哈，线线垂直就像是两个小伙伴在打架，谁也不让谁，非要争个上下。

比如说，一条直线直直地站着，另一条直线冲过来和它成了直角，这就是线线垂直啦，简单直接！那线面垂直呢，就像是一个勇敢的战士面对着一堵墙，直直地站在那，和墙面成了直角。

而且不管墙面怎么变化，这个战士都坚定不移，这就是线面垂直哦。

面面垂直可就更有趣啦！想象一下两个大板子，一个板子立得直直的，另一个板子和它碰到一起，还形成了直角，这就是面面垂直。

你说它们之间有没有关系呢？当然有啦！线线垂直可以推出线面垂直，就好像是一个小小的胜利积累成了大的成功。

而线面垂直又能推出面面垂直，就像一步一步升级打怪一样。

这三者的关系就像一个有趣的链条，一环扣一环，是不是很有意思呀？稿子二：亲爱的小伙伴，咱们来唠唠线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系呗！先说线线垂直，这就好比两根针，针尖对着针尖，谁也不退缩，这就是垂直啦，多干脆！线面垂直呢，就像是一根旗杆立在地面上，直直的，和地面成了直角，稳稳当当。

不管刮多大风，它都不会歪。

面面垂直呢，你就想想两块大木板，相互靠在一起，还成直角，是不是感觉很结实？其实呀，它们之间的关系可密切啦！如果线线垂直了，那么就有可能出现线面垂直的情况。

就好像是积累了足够多的小胜利，终于迎来了大突破。

而线面垂直一旦成立，面面垂直也就不远啦。

这就像多米诺骨牌，一个接着一个倒，顺理成章。

比如说，在一个房间里，墙面和地面就是面面垂直的，这都是因为线线垂直和线面垂直在背后起作用呢。

怎么样，是不是觉得这三者的关系很神奇，也很有趣呀？。

课件1：线面、面面垂直的判定与性质

课件1：线面、面面垂直的判定与性质
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
[练一练] 1．(2014·南通期末)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β.给出
下列命题： (1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥
m⇒α∥β. 其中正确的命题是________(填序号)． 解析：(1)正确；(2)中 l 与 m 还可以是异面或相交的位置
与平面 M 垂直”的________条件(填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”， 反之可以，所以应该是必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2014·盐城摸底)设 m，n 是两条不同的直线，α 是一个平面，
[典例] (2014·连云港期末)如图，在直三棱柱
ABC-A1B1C1 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E 为 BD 的中点，F 在 AC1 上，且 AC1＝4AF.求证：
(1)平面 ADF⊥平面 BCC1B1； (2)EF∥平面 ABB1A1.
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平 面 ABC，而 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
[类题通法] 解决此类问题常用的方法有
(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形
作出判断； (2)否定命题时只需举一个反例； (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．
[典例] (2013·重庆高考)如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2 3，BC
＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF＝7FC，求三棱锥 P

线面垂直面面垂直性质课件

线面垂直面面垂直性质课件

判定定理
判定定理一
如果一条直线与某一平面内的两条相 交直线都垂直，则这条直线与该平面 垂直。
判定定理二
如果一条直线与某一平面内的两条平 行直线都垂直，则这条直线与该平面 垂直。
性质定理
性质定理一
如果一条直线与某一平面垂直，则该直线与平面内的任意直 线都垂直。
性质定理二
如果两条直线分别与某一平面垂直，且这两条直线相交，则 它们之间的夹角为直角。
建筑学应用
建筑设计
在建筑设计中，线面垂直和面面垂直的 性质被广泛应用。例如，利用线面垂直 性质确定建筑物的立面线条，利用面面 垂直性质确定建筑物的空间布局和结构 。
VS
施工测量
在建筑施工过程中，利用线面垂直和面面 垂直的性质可以进行精确的测量和定位， 以确保建筑物的各个部分按照设计要求进 行施工。
详细描述
根据线面垂直的性质定理，如果一条直线与某一平面垂直，那么这条直线所在的任何平面都与另一平面垂直。同 样地，如果两个平面互相垂直，那么它们之间的交线也与对方垂直。
相交关系
总结词
当一个平面与另一平面相交但不垂直 时，它们之间的交线与对方不垂直。
详细描述
如果两个平面相交但不垂直，那么它 们之间的交线与对方不垂直。这是因 为两个平面相交时，它们的法向量不 共线，因此它们的交线与对方不垂直 。
THANKS
圆锥的线面垂直和面面垂直关系相对较为复杂，需要学生 具备一定的空间想象力。通过观察圆锥的侧面与底面、侧 面与侧面的关系，可以深入理解线面垂直和面面垂直的性 质，提高学生的空间思维能力。
实例三：球体中的线面垂直与面面垂直
总结词
抽象但富有启发性
详细描述
球体是一种非常特殊的几何体，其线面垂直和面面垂直 关系非常抽象。通过研究球体的任意两个大圆、任意纬 度圈与其球心之间的关系，可以引导学生探索线面垂直 和面面垂直的深层次性质，激发他们的学习兴趣和探究 精神。

高中数学线面垂直面面垂直

高中数学线面垂直面面垂直

高中数学线面垂直概念详解1. 线面之间的关系在线性代数中，我们学习了直线和平面的方程以及二者之间的关系。

在三维空间中，一条直线可以与一个平面相交、平行或重合。

其中，与平面相交的直线特别重要，因为我们可以通过直线和平面的相交关系来研究线面垂直的概念。

2. 线面垂直的定义在线性代数中，我们称一个线与一个平面相交，并且这条线在平面上的投影为一个点，那么我们可以称该直线与该平面垂直。

3. 垂直关系的判断方法如何判断一条直线与一个平面是否垂直？以下是一种简单的判断方法：•首先，我们要求得这条直线的方向向量，通常用直线上两个点的坐标差求得；•接着，我们求得该平面的法向量；•最后，我们计算直线的方向向量和平面的法向量的点积。

如果点积等于零，则该直线与该平面垂直。

4. 点积为零的解释为什么直线的方向向量和平面的法向量的点积等于零时，可以判定直线与平面垂直？这涉及到点积的几何意义。

点积是两个向量的乘积，并且结果是一个标量。

点积等于零的几何意义表示两个向量的夹角为90度，也就是两个向量垂直。

因此，当直线的方向向量和平面的法向量的点积为零时，我们可以得出直线与平面垂直的结论。

5. 垂直关系的示例例如，考虑以下直线和平面的方程：直线方程：L: x = 2 + t, y = 3 - 2t, z = 1 - 4t 平面方程：P: 2x + 3y + 4z = -5我们可以首先计算直线的方向向量为(1, -2, -4)，然后计算平面的法向量为(2, 3, 4)。

接着，计算方向向量和法向量的点积：(1, -2, -4) · (2, 3, 4) = 2 - 6 - 16 = -20。

因为点积不等于零，所以可以判定直线L与平面P不垂直。

6. 线面垂直的性质线面垂直的概念具有以下性质：•如果两个平面垂直，那么它们的法向量也垂直；•如果两条直线垂直，那么它们的方向向量也垂直；•如果一条直线垂直于一个平面，而另一条直线与该平面平行，那么这两条直线也垂直。

线面垂直、面面垂直

线面垂直、面面垂直

线面垂直、面面垂直及其证明一线面垂直的判定定理1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直•（2）判定定理：如果直线I和平面内的两条相交的直线m,n都垂直，那么直线I垂直于平面.（线面垂直线线垂直）（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.（4）线面垂直的证明例1已知正方体ABCD A1B1C1D1，求证：AC 面AB1D1.例2如图1所示，ABCD为正方形，SA丄平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC, SD于E，F，G .求证：AE SB，AG SD .例3 已知ABC 中ACB 90°, SA 面ABC,AD SC,求证：AD 面SBC.D例4在正方体ABCD A i B1C1D1中，M为CG的中点，AC交BD于点0 ,求证:A0 平面MBD .练习1在正方体ABCD ABGD I中.(1)求证：AC 平面BD i BD.(2)求证：BD1平面ACB1.练习2在三棱锥A BCD中，BC AC , AD BD，作BE CD , E为垂足，作AH BE于H.求证：AH 平面BCD.练习3在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD，AC CD，ABC 60，PA AB BC，E 是PC 的中点•(1)求证：CD AE .(2)求证：PD 面ABE.面面垂直(1) 二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为 I ，两个面分别为， ,二面角记作为 I . (2)二面角的平面角定义：在二面角 I 棱I 上取一点0,在半平面 和 内， 从点0分别作垂直于棱I 的射线0A,0B ，射线组成 A0B .则 A0B 叫做二面角的平 面角•二面角的取值范围为[0 ,180].(3) 面面垂直定义： 若两个平面的二面角为直二面角 (平面角是直角的二面角)， 则这两个平面互相垂直.(4)面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直 .(5) 面面垂直的正面即：面面垂直 线面垂直 线线垂直.例1如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 的中点.(1)求证： AC//平面 BDE ;例2如图，直三棱柱 ABC AB 1C 1中，侧棱垂直于底面, 1 ____________________________________AC BC 一 AA ，D 是棱AA 1的中点，求证：平面 BDG 平面BDC • 2(2)求证：平面 AAC 平面BDE .ACB 90(1) 平面EFG//平面ABC ; (2) BC SA •例2 （2012江苏）如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AQ , D ,E 分别是棱BC，CCl上的点（点D 不同于点C ），且A D D E ，F 为BlCl的中点.求证： (1) 平面 ADE 平面 BCC 1B 1 ; (2)直线A.F //平面ADE .练习如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段 SASB,SC ，且 ASB ASC 60 , BSC 90，求证：平面 ABC 丄平面 BSC .三立体几何高考证明例1 （2013江苏）如图，在三棱锥SAB BC , AS AB ，过 A 作 AF SA, SC 的中点•求证：ABC 中，平面 SAB 平面SBC ,SB ，垂足为F ，点E , G 分别是棱BBCi£C例3如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四四边形，DAB 60 ,(I )求证：BE DE ;(II)若/ BCD 120 ，M 为线段AE 的中点，求证：DM //平面BEC .练习2 (2011天津)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形,AB 2AD ， PD 底面ABCD . (1) 证明： PA BD (2) 设PD AD1，求棱锥D PBC 的高练习1如图，几何体E ABCD 是四棱锥V ABD 为正三角形CB CD,EC BD.ADC 45，AD AC 1，O 为 AC 的中点，PO 为PD 的中点. 平面 ABCD ，PO 2，M(I )证明：PB//平面ACM ； (I)证明：AD 平面PAC ；(m)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.。

立体几何篇(线面平行、面面平行,线面垂直、面面垂直)

立体几何篇(线面平行、面面平行,线面垂直、面面垂直)

点线面的位置关系一（线面平行和面面平行）线面平行：1、判定定理：（1）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行，则线面平行）；方法：平行四边形法则+中位线法则（2）直线所在的一个平面与此平面平行，则该直线与此平面平行（面面平行，则线面平行）；2、性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行（线面平行，则线线平行）；面面平行：1、判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行，则面面平行）；2、性质定理（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行；（2）两个平面平行，同时与第三个平面相交，则交线平行。

例题选讲：1、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°（1）求证：AE∥平面DCF；3、（全国卷）如图，直三棱柱111C B A ABC 中，E D ,分别是1,BB AB 的中点。

（1）证明：1BC //平面CD A 13.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；线面垂直：3、判定定理：（3）一条直线与一个平面内的两条直交直线垂直，则这条直线垂直于这个面（线线垂直，则线面垂直）；（4）两平面垂直，在其中一个平面内，垂直于交线的直线，则垂直于另一个平面（面面垂直，则线面垂直）；方法：主动垂直+被动垂直4、性质定理（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线；（2）垂直于同一平面的两条直线平行；面面垂直：4、判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，则面面垂直）；5、性质定理若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

例题选讲：1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.2、（全国卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直底面ο90=∠ACB ，121AA BC AC ==，D 是侧棱1AA 的中点。

线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理

线面.面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行.
1.剖断定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直
线与这个平面平行.相符暗示：
2.性质定理：假如一条直线与平面平行,经由这条直线的平面和这
个平面订交,那么这条直线和交线平行. 符号暗示：
二.面面平行.
1.剖断定理：假如一个平面内有两条订交直线分离平行于另一个平面内的两条订交直线,那么这两个平面平行.
符号暗示：
2.性质定理：假如两个平面平行同时与第三个平面订交,那它们的
交线平行. 符号暗示：倍适用的性质：一个平面内的任一向线平行另一平面）
三.线面垂直.
1.剖断定理：假如一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直,
那么这条直线垂直这个平面. 符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 符号暗示：
2.性质定理：垂直统一平面的两条直线互相平行.（加倍适用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一向线.）
四、面面垂直.
1.剖断定理：经由一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2.性质定理：已知两个平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。

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【解析】(1)证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂ 平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH，所以 GH∥BC.同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF. (2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于 点 K，连接 OP，GK.
因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC， 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， 所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 1 1 从而 KB＝ DB＝ OB，即 K 为 OB 的中点． 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK＝ PO， 2
因为 AC∥ A1C1，且 AC＝A1C1，所以 FG∥EC1， 且 FG＝ EC1，所以四边形 FGEC1 为平行四边形． 所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1＝AC＝2， BC＝1， AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 1 1 所以三棱锥 E－ ABC 的体积 V＝ S△ ABC·AA1＝ 3 3 1 3 × × 3× 1× 2＝ . 2 3
1 即 G 是 PB 的中点，且 GH＝ BC＝4. 2 由已知可得 OB＝4 2， PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. GH＋EF 故四边形 GEFH 的面积 S＝ ·GK 2 4＋8 ＝ ×3＝18. 2 【命题立意】本题主要考查利用立体几何知识证 明线线平行、求面积的能力．
1．已知 m、n、l 是三条不同的直线，α、β、γ 是 三个不同的平面，给出以下命题： ①若 m⊂α ，n∥α，则 m∥n； ②若 m⊂α ， n∥β， α⊥β， α∩β＝l， m⊥l， 则 m⊥n； ③若 n∥m，m⊂α ，则 n∥α； ④若 α∥γ，β∥γ，则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A．②④ B．②③ C．③④ D．①③
【命题立意】 本题主要考查线面平行的判定定理， 并考查学生的空间想象能力．
考题2(2014 安徽)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17.点 G， E， F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平 面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积．
【解析】(1)证明：因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形， 所以 AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交的直线， 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC 为平面 ACC1A1 内两条相交的直线，所以 BC⊥平面 ACC1A1.
在直角梯形 EADP 中， 因为 AE＝1， AD＝PD＝2， 所以 PE＝ 5， 所以 PE＝BE.又因为 F 为 PB 的中点， 所以 EF⊥PB. 要使 PB⊥平面 EFM，只需使 PB⊥FM. 因为 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥CB， 又因为 CB⊥CD，PD∩CD＝D， 所以 CB⊥平面 PCD， 而 PC⊂平面 PCD，所以 CB⊥PC. PM PF 若 PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得 PB ＝PC. 由已知可求得 PB＝2 3，PF＝ 3，PC＝2 2， 3 2 所以 PM＝ . 2
【点评】(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清 折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一 侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变 化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题 时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的 图形，也要分析折叠前的图形．
3．平行、垂直的综合问题 例4(2014 北京)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1， E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．
垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如 下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直 的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它 们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面 垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．
必备方法 1． 证明平行、 垂直问题常常从已知联想到有关判 定定理或性质定理， 将分析法与综合法综合起来考虑． 2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行 与垂直，再转化为线线的平行与垂直． 3． 使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几 何问题． 4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法． 5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻 辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计 算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．
平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平 行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的 转化示意图．
解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平 面平行． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必 平行于另一个平面． (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行． (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这 条直线必与它们的交线平行．
【备选题】 例5如图，已知四边形 ABCD 是正方 形，EA⊥平面 ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2， F，G，H 分别为 BP，BE，PC 的中点． (1)求证：FG∥平面 PDE； (2)求证：平面 FGH⊥平面 AEB； (3)在线段 PC 上是否存在一点 M，使 PB⊥平面 EFM？若存在，求出线段 PM 的长；若不存在，请说 明理由．
(2)取线段 AB 的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O 为 A1C， AC1 的交点． 由已知， O 为 AC1 的中点． 连接 MD， OE， 则 MD， OE 分别为△ ABC， △ ACC1 的中位线， 1 1 所以 MD AC， OE AC，因此 MD OE. 2 2 连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE∥ MO. 因为直线 DE⊄平面 A1MC， MO⊂平面 A1MC， 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)， 使直 线 DE∥平面 A1MC.
【解析】(1)如图，在△PAD 中，因为 E，F 分别 为 AP，AD 的中点，所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄平面 PCD，PD⊂平面 PCD. 所以直线 EF∥平面 PCD.
(2)连接 BD.因为 AB＝AD， ∠BAD＝60°，所以△ABD 为正三角形． 因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD， BF⊂平面 ABCD， 又平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
(2)因为∠BAD＝90°， 所以 AD⊥AB. 又因为 AD⊥C′B，且 AB∩C′B＝B， 所以 AD⊥平面 C′AB. 因为 C′A⊂平面 C′AB，所以 AD⊥C′A. 因为△BCD 是等边三角形，AB＝AD， 不防设 AB＝1，则 BC＝CD＝BD＝ 2，可得 C′A＝1. 由勾股定理的逆定理，可得 AB⊥C′A. 因为 AB∩AD＝A，所以 C′A⊥平面 ABD.
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积．
【解析】(1)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， BB1⊥底面 ABC， 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC， 所以 AB⊥平面 B1BCC1， 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)取 AB 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 1 所以 FG∥AC，且 FG＝ AC. 2
第9讲 线面、面面平行与垂直 关系的判定与性质
1．考题展望 立体几何解答题中的第 (1) 问基本上是对位置关系的 考查，难度中等．以相对规则的多面体为载体，考查 点、线、面之间平行、垂直的判定，需特别注意线面 平行、面面垂直性质的使用．
2．高考真题 考题1(2014 四川)在如图所示的多面体中， 四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形． (1)若 AC⊥BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1； (2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE∥平面 A1MC？请 证明你的结论．
【解析】选 D 根据线面垂直的性质可知①正确．②中两个平面 α，β 不一定平行，所以错误．③平行于同一个平面的直线 可能会相交或异面，所以错误．④正确．
【点评】利用实物模型，或作图想象．
2. 平行、垂直关系的判定与性质 例2如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平 面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F 分别是 AP，AD 的中点． 求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
【解析】(1)证明：因为 F，G 分别为 PB，BE 的 中点， 所以 FG∥PE. 又因为 FG⊄平面 PED，PE⊂平面 PED， 所以 FG∥平面 PED.
(2)因为 EA⊥平面 ABCD， 所以 EA⊥CB. 又因为 CB⊥AB，AB∩AE＝A，所以 CB⊥平面 ABE. 由已知 F，H 分别为线段 PB，PC 的中点， 所以 FH∥BC. 则 FH⊥平面 ABE. 而 FH⊂平面 FGH，所以平面 FGH⊥平面 ABE. (3)在线段 PC 上存在一点 M， 使 PB⊥平面 EFM. 证明如下： 在直角三角形 AEB 中，因为 AE＝1，AB＝2， 所以 BE＝ 5.