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第9讲 线面、面面平行与垂直

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线面垂直_面面垂直的性质定理PPT资料(正式版)

线面垂直_面面垂直的性质定理PPT资料(正式版)

β
a l
A α
a
l
a
a l
面面垂直线面垂直
合作探究6分钟
只要在其中一个平面内找到
内12要1共2、、、、同容求重组讨熟讨及：点长论练论目讨负 时掌，标论责 ，握做：自协 随定到测调 时理全1好 记的、员小录运自积组，用测极讨争，2参、论取完与达在，善，标讨可步高1论先骤、效时一，讨达能对总论标将一结。2问.讨做题论题解然方决后法，组. 未内 两知直（,知（如只如直问思知不2垂只只知一直知思 都不不知线不如 （知垂、个识线线识线果要果线题考识但直要要识条线识考与但但识面但果线识足讨平 探 与 面 探 面 直 在 直 与 22探 要 于 在 在 探 直 与 探 3交 要 要 探 垂 要 直面 探为：:论:黑如面究平垂究垂线其线平究展同其其究线平究线展展究直展线 垂究B把时板图，垂（面直（直中面（示一中中（与面（A示示（_示直（lll地，面D与与与所，那直一垂一一垂一解个一一一一垂一解解一解一垂面随面平平平在长么，）直）个直）题平个个）个直）题题）题）面面面直抽时垂面面面平方直则平判平平判平过面平平平平判平过过平过平面面面，象记直面体线一面定面面定面程的面面面面定面程程面程面垂垂垂这为录的与A内内内A个与定与内定与，两内内与内定与，，与，与直直直两B平 ，性B地的的的平平理平找理平更条找找平的理平更更平更平）））C与条面争质面D任任任面面：面到：面重到到面两：面重重面重面平直，取定—所意意意内垂垂垂要垂条垂要要垂要垂面线旗在理A在一一一垂直直直的直相直的的直的直1与杆讨平的B条条条直的的的的交的的的平1抽论面位直直直于性性性性线性性性C面象时1垂置线线线交质质质质都质质质DA为能直关都都都线定定定定垂定定定B1直将中C，系垂垂垂的理理理理直理理理D线问，在如直直直直，垂，题平黑何，，，线则直实解面板？我我我与该吗际决A上为们们们另直？1问，A是什说说说一线D题未否么直直直个与D能能存？线线线1平此与够解在面平lll平转决与与与直垂面面化的平平平线直垂A为组面面面与。直B一长C地．D个记面垂什录垂直么好直，样，？其的准若交数备存线学展在为问示，A题质怎D？疑，样.直画线线A？1A，D1D都在平面A1ADD1内，且

线面、面面的平行垂直

线面、面面的平行垂直

直线、平面垂直的判定及性质
1、直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言 符号语言
l a, l b, a , b , a b P l
判 定 定 理
一条直线与 一个平面内 的两条相交 直线都垂直， 则该直线与 此平面垂直。
略
2、直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
证明：（1）取A'D的中点G，连接GF、GE， 1 由条件可知 FG // CD, 2 1 又BE // CD , 2 FG//BE, 故四边形 BEGF为平行四边形， BF // EG EG 平面A' DE, BF 平面A' DE BF // 平面A' DE
（2） H、F分别为CD、CA'的中点，
HF // A' D，
又A' D 平面A' DE，HF 平面A' DE,
HF // 平面A' DE 由（ 1 ）知BF // 平面A' DE, 且BF HF F ,
平面A' DE // 平面BHF
例3.
例4.
证明：
谢谢观赏
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例1.如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于 AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ。求证：PQ// 平面BEC。 解：连接AQ，并延长交BC于K，连接EK
AE BD, AP DQ, PE BQ AP DQ PE BQ 又 AD // BK
DQ AQ BQ QK AP AQ 因此 , PQ // EK PE QK

第九章立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质共63页文档

第九章立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质共63页文档
(理)如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面 ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥BE；
(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE 的中点，求证：MN∥平面DAE.
证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面 ABE，
所以AE⊥BC. பைடு நூலகம்又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， 所以AE⊥BF. 又BF∩BC＝B， 所以AE⊥平面BCE. 又(2B)证E⊂法平一：面取BDCEE的，中所点P以，A连E结⊥PAB，EP.N，因为点N
(2019·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：两条平行线中一条垂直于一个平面， 则另一条也垂直于这个平面，故选B.
(2)∵AA1＝2，∴AD1＝ A1A2＋A1D12＝ 5.
同理，AE＝ 2 ，D1E＝ 3 .∴AD12＝D1E2＋AE2.∴
D1E⊥AE.
∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面 BDD1B1.
又D1E⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1E. 又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC.
(2019·大连模拟)平面α∥平面β的一个充分 条件是
⇒a∥b
α∩β＝b
二、平面与平面平行 1．判定方法 (1)用定义：两个平面无公共点
(2)判定定理：
a∥β
b∥β
a⊂α ⇒α∥β
b⊂α

a∩b＝P
(3)其它方法： aa⊥⊥αβ⇒α∥β； αβ∥∥γγ⇒α∥β
a∥b

线面垂直面面垂直的性质定理PPT课件

线面垂直面面垂直的性质定理PPT课件
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
线面、面面垂直 的性质定理
复习回顾
1. 线面垂直判定：一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直.
2. 面面垂直判定：一个平面经过另一个平 面的垂线.
β
l ,l
l α
3.线面角：
P
α
ALeabharlann B4.面面角：β B
lO
A
[0 ,90 ]
α [0 ,180 ]
新课导入: 问题1：如果直线a，b都垂直于同一条平 面，那么直线a，b的位置关系如何？
问题2：一个平面的垂线有多少条？这些 直线彼此之间具有什么位置关系？
新课讲授： 线面垂直的性质2
垂直于同一个平面的两条直线平
行。符号语言：
a
a
b
b
a
//
b
a b
// a
b
线面垂
线线平
练习：如：已知 l,CA , 于
点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l . C β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（ ×）
√ (3)在平面α内作交线的垂线，则此垂线必垂
直于平面β（ ）
2.如图，P是 ABC所在的平面外一点， 且PA 面ABC，面PAC 面PBC 求证：BC AC
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件

a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。

（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。

）四、面面垂直。

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

线线-线面-面面垂直关系


已知平面α和β相互垂直，直 线l在平面α内，且与β相交于 点A。过点A作直线m与α平 行。求证：m与β垂直。
由于l在α内且与β相交于点A， 根据面面垂直的性质定理我 们可以得出l与β垂直。又因为 m过点A且与α平行，根据平 行线的性质我们可以得出m与 l平行。因此m也与β垂直。
05 综合应用与拓展延伸
空间中垂直关系综合应用
01
利用线面垂直判定定理证明线面垂直
通过证明一条直线与平面内两条相交直线都垂直，可以判定该直线与平
面垂直。
02
利用面面垂直性质定理证明线面垂直
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个
平面垂直。
03
利用线面垂直性质定理证明面面垂直
如果一条直线同时垂直于两个平行平面，那么这两个平面互相垂直。
感谢您的观看
典型例题解析
例题1
解析
已知直线l1的方程为Ax+By+C1=0，直线l2 的方程为Ax+By+C2=0，且C1≠C2，求证： l1⊥l2。
由于l1和l2的A、B系数相同，因此它们的法 向量相同，根据直线间垂直的条件，可知 l1⊥l2。
例题2
解析
在三角形ABC中，已知AB⊥AC，AD是BC边 上的高，求证：AD^2=BD×CD。
如果两个平面相互垂直，那么它们的 法线也相互解析
已知平面α和β相互垂直，直 线a在平面α内，直线b在平面 β内，且a与β不垂直，b与α 不垂直。求证：a与b不平行。
假设a与b平行，由于a在α内， b在β内，且α与β相互垂直， 根据面面垂直的性质定理， 我们可以得出a与β也相互垂 直。这与题目中给出的a与β 不垂直相矛盾，因此假设不 成立，所以a与b不平行。

线面、面面的平行与垂直

1线面、面面的平行与垂直一、构造模型法解题：判断空间点、线、面的位置关系是比较抽象的，我们可以借助特殊的几何模型，如长方体（正方体）、三棱锥（正四面体）来判断，因为这些几何体中的点线面的位置关系非常丰富，这样可以化繁为简，化抽象为具体。

当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加以解决。

[例1] （1） 对于直线m 、n 和平面α，下面问题中的真命题（ ）A.如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线，那么n ∥αB.如果,,m n αα⊂⊄m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果,a m ⊂n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果m ∥α,n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n 分析：构造正方体，如图1.对于选项A ，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为C 1C ，则n ⊥a ，故A 错。

对于选项B ，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为A 1D 1，则n ∥a ，故答案B 错。

对于选项D,设a 为平面AC ，m 为A 1B 1，n 为B 1C 1，此时m 与n 相交于B 1，故答案D 错。

∴正确答案为C ，事实上，设a 为平面ABCD ，m 为AB ，n 为A 1B 1，∵AB ∥A 1B 1，∴m ∥n.（2）．空间A 、B 、C 、D 四点不共面，平面α与A 、B 、C 、D 四点的距离相等，这样的平面α有( )A ．0个B ．4个C ．3个D ．7个 [答案] D[解析] 三个点在一侧，另一点在α的另一侧(A ，B ，C )与D ，(A ，B ，D )与C ，(A ，C ，D )与B ，(B ，C ，D )与A ；两个点在α的一侧，另两点在α的另一侧，(A ，B )与(C ，D )，(A ，C )与(B ，D )，(A ，D )与(B ，C )如图所示：一类如：B ，C ，D 所在平面β与α平行，A ，B 到α距离AA ′＝BB ′， 另一类如：AB ∥α，CD ∥α，B ，D 到α距离BB ′＝DD ′. 二、转化的思想①解决空间线线、线面、面面平行或垂直关系的问题关键是作好下列转化线∥线线∥面面∥面 线⊥线线⊥面面⊥面②等积转化；③立几向平几转化。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C 的侧面11BCC B 是菱形，11B CA B证明：平面1ABC 平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，AB=AD=1，AA1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D 是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC. SAB7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ，2,4AB AD ,将CBD 沿BD 折起到EBD 的位置，使平面EDB 平面ABD .求证：AB DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9、如图，在四棱锥ABCD P 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD10、如图，在三棱锥ABC S中，平面SAB 平面SBC ,AB AS BC AB ,.过A 作SB AF ，垂足为F ,点G E,分别是棱SC SA ,的中点。

第九章 立体几何9-5线面、面面垂直的判定及性质




∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾． ∴DE与平面ABC不垂直． 点评：①“折叠”问题一定要弄清折迭前后， 图形的哪些位置与数量关系发生了变化，哪 些没有发生变化． ②探索某种位置关系是否具备，通常是先假 定具备这种位置关系，然后结合条件进行推 理，如果产生矛盾，则不具备这种位置关系， 否则具备这种位置关系．

2．不要将“经过一点有且仅有一条直线与
平面垂直”；“经过一点有且仅有一个平面
与已知直线垂直”；“经过平面外一点有无
数条直线与已知平面平行，这无数条直线在
同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有 一个平面与已知平面平行”；“经过直线外 一点有且仅有一条直线l与已知直线平行，
4．两平面垂直时，从一个平面内一点向另一个平面 有无数个平面与已知直线平行，这无数个平 ．． 作垂线，则垂足必落在交线上． 面的交线为l”弄混错用．

(3)解：∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F， ∴BF⊥平面CDEF， 即BF⊥平面DEF. ∴BF为四面体B—DEF的高．
又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2. 四边形CDEF为直角梯形，且EF＝1，CD＝2. 1 1 2 ∴S△DEF＝ (1＋2)× 2－ ×2× 2＝ 2 2 2 1 2 1 ∴VB—DEF＝3× 2 × 2＝3.




(文)在空间中，用x、y、z表示不同的直线或 平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立， 则x、y、z分别表示的元素是( ) A．x、y、z都是直线 B．x、y、z 都是平面 C．x、y是平面，z是直线 D．x是直线，y、 z是平面 解析：垂直于同一条直线的两直线不一定平 行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不 一定平行，故B错；一条直线与一个平面都 和同一个平面垂直时，直线可能在平面内， 故C错．由线面垂直的性质知，D正确．
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【解析】(1)证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂ 平面 PBC，且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH，所以 GH∥BC.同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF. (2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于 点 K，连接 OP，GK.
因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC， 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， 所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 1 1 从而 KB＝ DB＝ OB，即 K 为 OB 的中点． 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK＝ PO， 2
因为 AC∥ A1C1，且 AC＝A1C1，所以 FG∥EC1， 且 FG＝ EC1，所以四边形 FGEC1 为平行四边形． 所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1＝AC＝2， BC＝1， AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 1 1 所以三棱锥 E－ ABC 的体积 V＝ S△ ABC·AA1＝ 3 3 1 3 × × 3× 1× 2＝ . 2 3
1 即 G 是 PB 的中点，且 GH＝ BC＝4. 2 由已知可得 OB＝4 2， PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. GH＋EF 故四边形 GEFH 的面积 S＝ ·GK 2 4＋8 ＝ ×3＝18. 2 【命题立意】本题主要考查利用立体几何知识证 明线线平行、求面积的能力．
1．已知 m、n、l 是三条不同的直线，α、β、γ 是 三个不同的平面，给出以下命题： ①若 m⊂α ，n∥α，则 m∥n； ②若 m⊂α ， n∥β， α⊥β， α∩β＝l， m⊥l， 则 m⊥n； ③若 n∥m，m⊂α ，则 n∥α； ④若 α∥γ，β∥γ，则 α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A．②④ B．②③ C．③④ D．①③
【命题立意】 本题主要考查线面平行的判定定理， 并考查学生的空间想象能力．
考题2(2014 安徽)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17.点 G， E， F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平 面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积．
【解析】(1)证明：因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形， 所以 AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条相交的直线， 所以 AA1⊥平面 ABC. 因为直线 BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC 为平面 ACC1A1 内两条相交的直线，所以 BC⊥平面 ACC1A1.
在直角梯形 EADP 中， 因为 AE＝1， AD＝PD＝2， 所以 PE＝ 5， 所以 PE＝BE.又因为 F 为 PB 的中点， 所以 EF⊥PB. 要使 PB⊥平面 EFM，只需使 PB⊥FM. 因为 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥CB， 又因为 CB⊥CD，PD∩CD＝D， 所以 CB⊥平面 PCD， 而 PC⊂平面 PCD，所以 CB⊥PC. PM PF 若 PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得 PB ＝PC. 由已知可求得 PB＝2 3，PF＝ 3，PC＝2 2， 3 2 所以 PM＝ . 2
【点评】(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清 折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一 侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变 化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题 时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的 图形，也要分析折叠前的图形．
3．平行、垂直的综合问题 例4(2014 北京)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1， E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．
垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如 下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直 的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它 们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面 垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．
必备方法 1． 证明平行、 垂直问题常常从已知联想到有关判 定定理或性质定理， 将分析法与综合法综合起来考虑． 2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行 与垂直，再转化为线线的平行与垂直． 3． 使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几 何问题． 4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法． 5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻 辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计 算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．
平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平 行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的 转化示意图．
解决平行问题时要注意以下结论的应用 (1) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平 面平行． (2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必 平行于另一个平面． (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行． (6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这 条直线必与它们的交线平行．
【备选题】 例5如图，已知四边形 ABCD 是正方 形，EA⊥平面 ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2， F，G，H 分别为 BP，BE，PC 的中点． (1)求证：FG∥平面 PDE； (2)求证：平面 FGH⊥平面 AEB； (3)在线段 PC 上是否存在一点 M，使 PB⊥平面 EFM？若存在，求出线段 PM 的长；若不存在，请说 明理由．
(2)取线段 AB 的中点 M，连接 A1M， MC， A1C， AC1，设 O 为 A1C， AC1 的交点． 由已知， O 为 AC1 的中点． 连接 MD， OE， 则 MD， OE 分别为△ ABC， △ ACC1 的中位线， 1 1 所以 MD AC， OE AC，因此 MD OE. 2 2 连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE∥ MO. 因为直线 DE⊄平面 A1MC， MO⊂平面 A1MC， 所以直线 DE∥平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)， 使直 线 DE∥平面 A1MC.
【解析】(1)如图，在△PAD 中，因为 E，F 分别 为 AP，AD 的中点，所以 EF∥PD. 又因为 EF⊄平面 PCD，PD⊂平面 PCD. 所以直线 EF∥平面 PCD.
(2)连接 BD.因为 AB＝AD， ∠BAD＝60°，所以△ABD 为正三角形． 因为 F 是 AD 的中点，所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD， BF⊂平面 ABCD， 又平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF⊂平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.
(2)因为∠BAD＝90°， 所以 AD⊥AB. 又因为 AD⊥C′B，且 AB∩C′B＝B， 所以 AD⊥平面 C′AB. 因为 C′A⊂平面 C′AB，所以 AD⊥C′A. 因为△BCD 是等边三角形，AB＝AD， 不防设 AB＝1，则 BC＝CD＝BD＝ 2，可得 C′A＝1. 由勾股定理的逆定理，可得 AB⊥C′A. 因为 AB∩AD＝A，所以 C′A⊥平面 ABD.
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积．
【解析】(1)在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， BB1⊥底面 ABC， 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC， 所以 AB⊥平面 B1BCC1， 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)取 AB 的中点 G，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 1 所以 FG∥AC，且 FG＝ AC. 2
第9讲 线面、面面平行与垂直 关系的判定与性质
1．考题展望 立体几何解答题中的第 (1) 问基本上是对位置关系的 考查，难度中等．以相对规则的多面体为载体，考查 点、线、面之间平行、垂直的判定，需特别注意线面 平行、面面垂直性质的使用．
2．高考真题 考题1(2014 四川)在如图所示的多面体中， 四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形． (1)若 AC⊥BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1； (2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE∥平面 A1MC？请 证明你的结论．
【解析】选 D 根据线面垂直的性质可知①正确．②中两个平面 α，β 不一定平行，所以错误．③平行于同一个平面的直线 可能会相交或异面，所以错误．④正确．
【点评】利用实物模型，或作图想象．
2. 平行、垂直关系的判定与性质 例2如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平 面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F 分别是 AP，AD 的中点． 求证：(1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD.
【解析】(1)证明：因为 F，G 分别为 PB，BE 的 中点， 所以 FG∥PE. 又因为 FG⊄平面 PED，PE⊂平面 PED， 所以 FG∥平面 PED.
(2)因为 EA⊥平面 ABCD， 所以 EA⊥CB. 又因为 CB⊥AB，AB∩AE＝A，所以 CB⊥平面 ABE. 由已知 F，H 分别为线段 PB，PC 的中点， 所以 FH∥BC. 则 FH⊥平面 ABE. 而 FH⊂平面 FGH，所以平面 FGH⊥平面 ABE. (3)在线段 PC 上存在一点 M， 使 PB⊥平面 EFM. 证明如下： 在直角三角形 AEB 中，因为 AE＝1，AB＝2， 所以 BE＝ 5.