初升高数学衔接班教案(学生版)一元二次不等式

数学《一元二次不等式》教学设计数学《一元二次不等式》教学设计（通用7篇）作为一名无私奉献的老师，时常需要编写教学设计，教学设计把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。

你知道什么样的教学设计才能切实有效地帮助到我们吗？以下是小编收集整理的数学《一元二次不等式》教学设计，希望能够帮助到大家。

数学《一元二次不等式》教学设计篇1一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。

同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

（二）教学内容本节内容分2课时学习。

本课时通过二次函数的图象探索一元二次不等式的解集。

通过复习“三个一次”的关系，即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；以旧带新寻找“三个二次”的关系，即二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系；采用“画、看、说、用”的思维模式，得出一元二次不等式的解集，品味数学中的和谐美，体验成功的乐趣。

二、教学目标分析根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高一学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：知识目标——理解“三个二次”的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

能力目标——通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

情感目标——创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

三、重难点分析一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具。

本节课的重点确定为：一元二次不等式的解法。

要把握这个重点。

关键在于理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法——图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。

第七讲 含参数的一元二次不等式一、讲解范例例1、解关于x 的不等式022≤-+k kx x例2、解关于x 的不等式：0))(12(2<++-a x x x例3、若不等式13642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.例4、已知关于x 的二次不等式：01)1(2<-+-+a x a ax 的解集为R ，求a 的取值范围.例5、当m 取什么实数时，方程)05()2(42=-+-+m x m x 分别有（ ）①两个实根； ②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.例6、已知方程2(k +1)2x +4kx +3k －2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围.二 、课堂练习1、已知(2a -1) 2x －(a －1)x －1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围.2、 关于x 的方程m 2x +(2m +1)x +m =0有两个不等的实根，则m 的取值范围是：（ ）A.(－41, ＋∞)；B.( －∞,－41)；C.[ －41，＋∞]；D.( －41,0)∪(0, ＋∞). 3、若方程2x －(k +2)x +4=0有两负根，求k 的取值范围.4、若方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负根，则实数m 的取值范围是5、设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y =2α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围6．解下列关于x 的不等式：（分类讨论）（1）01)1(2<++-x aa x （2）)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x a x ，且（3）01)1(2<++-x a ax （4）0)2)(2(>--ax x（5）012<++x ax （6）)(11R a a x x ∈-<-7、（1）若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式13642222<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围.8、（1）已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ，（2）已知}031|{≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围.(3) 关于x 的不等式2)1(|2)1(|22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.（4）设全集R U =，集合}3|12||{},01|{<+=≥+-=x x B x a x x A ，若R B A = ， 求实数a 的取值范围.（5）已知全集R U =，}082|{},06|{22>-+=<--=x x x B x x x A ，}034|{22<+-=a ax x x C 若C B A ⊆)( ，求实数a 的取值范围.三、作业1．如果不等式22)1(2112-≥+-x ax x 对一切实数x 都成立，a 的取值范围是 2．如果对于任何实数x ，不等式012>+-kx kx (k >0)都成立，那么k 的取值范围是3．对于任意实数x ，代数式(5－4a －2a )2x －2(a －1)x －3的值恒为负，求a 的取值范围4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y =2α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围5. 若方程07)5(32=+-+x m x 的一个根大于4，另一个根小于4，则实数m 的取值范围是。

数学《一元二次不等式》教学设计（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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一元二次不等式教案（精选3篇）一元二次不等式篇1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。

回顾下等比数列的性质。

生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。

学生自己讨论点题，板书课题新课学习1.一元二次不等式只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。

教学设计2.3一元二次不等式【课题】2.3 一元二次不等式【教学目标】知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察、类比、数形结合的能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生自主学习、归纳概括的能力．【教学重点】⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．【教学难点】一元二次不等式的解法．【教学设计】⑴从复习一次函数图像、一元一次方程、一元一次不等式的联系入手；⑵类比观察一元二次函数图像，得到一元二次不等式的图像解法；⑶加强知识的巩固与练习，培养学生的数学思维能力；⑷讨论、交流、总结，培养团队精神，提升认知水平．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间解决观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集{|3}x x >；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集{|3}x x <．归纳一般地，如果方程0ax b +=(0)a >的解是0x ，那么函数y ax b =+图像与x 轴的交点坐标为0(,0)x ，并且（1）不等式0ax b +>(0)a >的解集是函数y ax b =+的图像在x 轴上方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x >；（2）不等式0ax b +<(0)a >的解集是函数y ax b =+在x轴下方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x <． 总结由此看到，通过对函数y ax b =+的图像的研究，可以求出不等式0ax b +>与0ax b +<的解集．问题引领分析讲解 提炼思考 观察 领悟 理解 认知复习 相关 知识 内容 强化 知识 点的 内在 联系 突出 数形 结合15 *设置情境，建立模型学校要在长为8,宽为6 的一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图 中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过 总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?讲解理解明确 定义过 程行为 行为 意图 间设:花卉带的宽为为)30(<<x x,则依题意有6821)26)(28(⨯⨯>--x x 整理得0672>+-x x*动脑思考 明确新知 概念含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式，叫做一元二次不等式． 一般形式2()0ax bx c ++>或 2()0ax bx c ++<()0a ≠．强调记忆20*动手探索 感受新知 思考二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存在着哪些联系？问题已知二次函数y=x 2－x －6，问： 1.怎样画这个二次函数的草图？2.根据二次函数的图像，能求出抛物线y=x 2-x-6与x 轴的交点吗？其交点将x 轴分成几段？3.观察抛物线找出纵坐标y=0、y>0、y<0的点.4.观察图像上纵坐标y=0、y>0、y<0的那些点所对应的横坐标x 的取值范围？ 解决质疑说明思考 观察通过 实例 介绍 使学 生感 受一 元二 次不 等式 的图xxxxx xxx过程行为行为意图间0△<X2+3x+5>0 X2+3x+5 ≥0 X2+3x+5<0 X2+3x+5 ≤0研究方法：鼓励学生亲自动手画、动眼看，动脑想。

第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12x x ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14x x ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x x x ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}x x -<<∣2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<15.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx m x x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.。

【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。

一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

2、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后转化成整式不等式求解集。

1.()0()f x g x >⇔()()0f x g x ⋅>；()0()f xg x <⇔()()0f xg x ⋅<2.()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩；()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：|()|f x a <，（0a >）⇔()a f x a -<<|()|f x a >，（0a >）⇔()()f x a f x a<->或【知识讲练】1、解下列不等式：(1)27120x x -+>(2)2230x x --+≥（3）2(1)(3)(2)0x x x --+≥解不等式（4）307x x -≤+（5）2317x x -<+（6）25023xx x -<--（7）|2x －1|≤3（8）223->-x x （9）|1|12+>-x x 2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a ++>的解集．3、对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式02<+-b x ax 的解集为{}12x x <<，则a b +=2、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为3、不等式221x x +>+的解集是（）A.{}101|><<-x x x 或 B.{}101-|<<<x x x 或C.{}1001|<<<<-x x x 或 D.{}11-|><x x x 或（－∞，－1）∪（1，+∞）4、已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A、11{|}32x x -<<B、11{|}32x x x <->或C、{|32}x x -<<D、{|32}x x x <->或5、（1）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域是R,则k 的取值范围是（2）已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。

第八讲 一元二次不等式【学习目标】1、通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；2、掌握解一元二次不等式的方法.【重点】一元二次不等式的解法.【难点】一元二次不等式与相应函数、方程的联系.一、引入新课1．什么样的不等式叫一元二次不等式？2．一元二次不等式和相应的二次函数是否有内在的联系？3．当0>a 时，一元二次不等式02>++c bx ax （或0<）的解与二次函数c bx ax y ++=2图象及一元二次方程02的解的关系：例1．解下列不等式：（1）01272>+-x x ； （2）0322≥+--x x ；（3）0122<+-x x ； （4）0222<+-x x ．例2．解不等式：73312≤+-<x x ．例3．已知不等式02<++c bx x 的解是32<<x ，求不等式02>++c x bx 的解．变题：已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解是2<x 或3>x ，求不等式02>++c ax bx 的解．例4．（1）解关于x 的不等式：0)1(2<++-a x a x （a 为常数）．（2）解关于x 的不等式：210(x ax a ++>为常数)．变题：解关于x 的不等式: (2)(2)0x ax -->a (为常数)．【巩固训练】1．不等式0212≥++x x 的解为_________________________．2．若10<<t ，则不等式0)1)((<--tx t x 的解是 ．3．不等式012>-+bx ax 的解为43<<x ，则=+b a _________．4．解下列不等式： （1）0262≤+--x x ； （2）6)23)(5(≥+-x x ； （3）1)3()2(+-<+x x x x ．5．解不等式0)1)(2(22≤+--x x x 解是 ．6．如果不等式012<++ax ax 无解，则a 的取值范围是7．如果不等式- x 2＋mx ＋2m －1≥0只有一个实数解，则m =。

第七讲含参数的一元二次不等式一、讲解范例20k??kx?2x x例1、解关于的不等式20??ax)?12)(x(x?x的不等式：、解关于例22?2kx?2xk?1xk的取值范围. 例取任何实数均成立，求3、若不等式对于2?6xx?3420?a?1xaax?(?1)?ax的取值4例、已知关于的二次不等式：，求集为的解R. 范围12?(m?2)x?(4xm?5?0)m分别有（例5、当取什么实数时，方程）①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.2x kxkkk的取值范围. 2=02(例6、已知方程－+1)有两个负实根，求实数+4+32二、课堂练习22ax axa.的解集为R(，求实数－1)的取值范围1、已知(－-1) 1<0－2x mmxxmm（+ 2、关于的方程=0有两个不等的实根，则+(2）+1)的取值范围是：1111????). ＋,0)∪(0, ，＋－]；B.( )；－D.( A.(－,－)；C.[ －, ＋44442x kxk的取值范围.－(+4=0+2)3、若方程有两负根，求m207?x?mx??(m?1)8的取值范围是有两个负根，则实数、若方程 4222??x kxkky 的 =－2( －1)＋＋的两个实根，求＋1=0 关于、5、设αβ是关于方程y的取值范围解析式，并求6．解下列关于的不等式：（分类讨论）x x?a12（2）（1）)aa?0(?3，且??20?1?x?(a)x?(x?2)(x?3)a32（43））（0)?)(ax?2(x?20?11)x?ax?(a?x2 6）（（5）0?xax?1?)R(a?1??a x?12. 的取值范围对）若不、（1等式恒成立，求实数7a0?x(a?2)x?2(a?2)?4Rx?2?2mx?2xm的解集为2（）若不等式，求实数的取值范围.mR1?236?x?4x22）已知，、8（1}1xx??20},B{|a?(?)?0x?a?3|{A?xx?x1?x2（的取值范围. ，求实数，2）已知aB?B 且},0a?x1?a?xx{?B|()?AA?{x|}0?3x?422)?1(a(a?1)2的解集依次为与的不等式(3) 关于与01)?2(3a?x)?3(a?1x?Ax|?|x?22，若，求实数的取值范围.BA?Bax?a，若，4）设全集，集合（R?A B RU?}3?1|A?{x|?{?0},B?x||2x1?x求实数的取值范围. a22?2x?8??{x|x0}B6{A?x|x?x??0},，5（）已知全集，RU?22?0}ax?3a|C?{xx4?若，求实数的取值范围.a C (AB)?5三、作业122)11??x?(x?2ax xa的取值范围是都成立，对一切实数1．如果不等式2 2kx?kx?1?0kx>0)，不等式都成立，那么k．如果对于任何实数的取值范围是( 222ax axaax的取值范的值恒为负2(，求－1)3．对于任意实数 (5，代数式－43－－)－围222??x kkyxk的＋1=0的两个实根，求 =关于α4．设、β是关于方程－2( －1)＋＋y解析式，并求的取值范围m20?7?5?3x(m?)x的取值范围5. 若方程，则实数4的一个根大于，另一个根小于4是620XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。

一元二次不等式【学习目标】：理解并掌握一元二次不等式以及简单分式不等式的基本解法。

【复习引入】：1．解不等式：2213>--x x 2．什么是关于x 一元一次不等式？ 3．什么是关于x 一元二次不等式？【典例欣赏】：例1．解不等式260x x +->．回顾：一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，例2．解下列不等式：(1) (2)(3)6x x +-<(2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+（3）2440x x -+≤ （4）022>-+-x x回顾：解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理：例3．解下列不等式：(1)2301x x -<+ (2)132x ≤+变题：解下列不等式：（1）132>-x （2）1132>+-x x【反思小结】：【针对训练】： 1．解下列不等式：（1）3x 2－2x ＋1＜0； （2）4－x 2≤0．(3)4+3x －2x 2≥0; (4)9x 2－12x >－4;（5）4x 2＋4x ＋1≥0； （6）x 2－6x ＋9≤0；（7）－4＋x －x 2＜0．2．解下列不等式并用数轴表示出来：（1）3x 2－4＜0； （2）01832≤--x x（3）2x －x 2≥－1； （4）)9(3)9(+>+x x x3．解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．4．解下列不等式： （1） 011≥-+x x （2） 21213<-+x x（3） 12->x （4）012122≥++-x x x5．若不等式2312kx k x -+>+的解集是}3{>x x ，试解不等式020*******>-+-kx x 。

高一暑假衔接09：一元二次不等式的解法教学案一、主讲知识【知识点讲解1】一元二次不等式1 、一元二次不等式的概念(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为不等式．(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．(3)不等式所有解的集合称为解集．2、“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.有两相等实根3、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根据图象写出不等式的解集．【讲透例题1】一元二次不等式的解法例1、（1）求不等式4x 2－4x ＋1>0的解集．（2）解不等式－x 2＋2x －3>0.【相似题练习1】1、求不等式2x 2－3x －2≥0的解集．2、求不等式－3x 2＋6x >2的解集．3、求解下列一元二次不等式 (1)求不等式2560x x -+>的解集．(2)求不等式29610x x -+>的解集．(3) 求不等式2230x x -+->的解集．4、已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85、已知集合{}2280P x x x =-->，{}Q x x a =≥，若PQ R =，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q ⋂=，则实数a 的取值范围是______【知识点讲解2】含参数的二次不等式形如()22120x a x a +--≤，除了主元变量x 以外，还含有其他的变量（参变量）a 的不等式，我们称为含参数的一元二次不等式．规律方法：在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a >0，a =0，a <0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0)，一根(∆=0)，无根(∆<0)； 在有根的前提下，恰当的使用十字相乘可有效简化运算．（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<．【讲透例题2】含参数的二次不等式例1、解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.【相似题练习2】1、已知0a <，关于x 的一元二次不等式()2220ax a x -++>的解集为（ ）A ．{2|x x a<，或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{|1x x <，或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2、（多选）下列四个不等式中，解集为∅的是（ ） A ．210x x -++≤B ．22340x x -+<C ．23100x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭3、解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.4、解关于x的不等式()() 21100 ax a x a-++>>．5、解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.【讲透例题3】“三个二次”间对应关系的应用例1、已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．【相似题练习3】1、已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．3、关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ）A ．52B ．72C ．154D ．1524、若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -∞+∞，则a 的值为______．【知识点讲解4】一元二次不等式恒成立问题不等式的解集为R (或恒成立)的条件【讲透例题4】一元二次不等式恒成立问题例1、要使函数2(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，求m 的取值范围．2、不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不为空集，则a 的取值范围是_______3、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >14、对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥5、已知命题“x R ∃∈，210mx x -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是_________.6、不等式x 2−kx +1>0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________．7、已知关于x 的不等式2260,(0)kx x k k -+<≠（1）若不等式的解集是{}|32x x x <->-或，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．二、课堂总结三个“二次”的关系b三、课堂练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t3．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)4．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是__________．5．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．6．解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.7．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．8．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.。

《2.3一元二次不等式》教学设计学习目标学习重难点教材分析一元二次不等式解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，由于它是高中数学的重要基础，而且也有非常广泛的应用，所以本节内容教学在中学数学教学中有重要的地位。

学情分析学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，基本上掌握了一元二次方程和二次函数的基本知识，学生为中职一年级学生，普遍基础较差，对知识的理解处于模糊阶段，因此借助图像直观学习和理解数学，以使学生更好理解知识．知识能力与素养（1）了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；（2）掌握一元二次不等式的图像解法．（1）通过一元二次不等式的学习，培养计算技能和观察能力。

（2）通过现代信息技术应用的学习，培养计算工具使用技能。

重点难点（1）方程、不等式、函数的图像之间的联系；（2）一元二次不等式的解法．一元二次不等式的解法．教学工具教学课件课时安排2课时教学过程（一）创设情境，生成问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集(3,)+∞；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集(,3)-∞．由此看到，通过对函数y ax b =+的图像的研究，可以求出不等式0ax b +>与0ax b +<的解集．当a ＞0时，关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 之间有下表所示结论．Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的实数解的个数22y=ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的图象与x 轴交点个数21y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象图像在轴上方的部分所对应的函数值>0，即ax 2＋bx ＋c ＞0，图像在轴下方的部分所对应的函数值<0，即ax 2＋bx ＋c ＜0．像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为ax 2＋bx ＋c ＞0（a ≠0)．上面不等式中的”>”也可以换成”<”、“≥”或“≤”例如，2−9>0，32−2−1⩽0，−22+5+4<0等都是一元二次不等式．一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们是能否借助它们之间的关系求解形如ax 2＋bx ＋c ＜0或ax 2＋bx ＋c ＞0这样的一元二次不等式呢？【设计意图】复习相关知识内容,强化知识点的内在联系,突出数形结合明确定义（二）调动思维，探究新知分析一元二次不等式2230x x --<和二次函数223y x x =--、一元二次方程223=0x x --之间的关系.如图(1)所示，二次函数223y x x =--的图像与x 轴交于两点，方程223=0x x --的解是11x =-，也就是抛物线与23x =轴交点(-1,0)和(3,0)的横坐标．如图(2)所示，当-1<x <3时，函数的图像位于x 轴的下方，此时y <0.由此得到，不等式2230x x --<的解集为(-1,3)；如图(3)所示，当x <-1或x >3时，函数的图像位于x 轴的上方，此时y >0.不等式2230x x -->的解集为(-∞，-1)∪(3,+∞)．按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的求解方法：先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．假设12x x <【设计意图】引导学生经历由特殊到一般的提炼过程,强化图像作用熟练数形结合应用,综合归纳便于学生理解记忆,强化求解步骤使学生进一步明确方法（三）巩固知识，典例练习【典例1】求下列一元二次不等式的解集：(1)260x x --<(2)()30x x -≥(3)2243x x -+<0解（1）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程260x x --=的解为12=23x x -=,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式260x x --<的解集为[]2,3-．（2）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程(3)0x x -=的解为12=03x x =,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式()30x x -≥的解集为(][),03,-∞+∞ ．（3）因为不等式的二次项系数2＞0，对应方程2243x x -+=0无实数根（()2442380∆=--⨯⨯=-<），对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式2243x x -+<0的解集为∅．【典例2有意义，试求x 的取值范围．解有意义，x 应该满足不等式2321x x --≥0．因为不等式的二次项系数3＞0，对应方程2321x x --=0的解为12113x x =-=,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式2321x x --≥0的解集为1(,][1,)3-∞-+∞ ,即当1(,][1,)3-∞-+∞ 有意义．探究与发现如何求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++=<？当二次项系数a ＜0时，由不等式的性质，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a ＜0的情形转化为a ＞0的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可．【典例3】求一元二次不等式2420x x -++<的解集．解因为不等式的二次项系数为-1<0，，所以将不等式的两边同乘-1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式2-420x x +>，其对应方程2-42=0x x +的解为12x x ==2-420x x +>0的解集为-∞∞ （）.即不等式2420x x -++<的解集为-∞∞ （，）.【设计意图】强化一元二次不等式的解题思路（四）巩固练习，提升素养【巩固1】解下列各一元二次不等式：（1）260x x -->；（2）29x <；（3）25320x x -->；（4）22430x x -+- ．分析首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．解（1）因为二次项系数为10>，且方程260x x --=的解集为{2,3}-，故不等式260x x -->的解集为(,2)(3,)-∞-+∞ ．（2）29x <可化为290x -<，因为二次项系数为10>，且方程290x -=的解集为{3,3}-，故29x <的解集为()3,3-．（3）25320x x -->中，二次项系数为30-<，将不等式两边同乘1-，得23520x x -+<．由于方程23520x x -+=的解集为2{,1}3．故不等式23520x x -+<的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭，即25320x x -->的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（4）因为二次项系数为20-<，将不等式两边同乘1-，得22430x x -+ ．由于判别式()2442380∆=--⨯⨯=-<，故方程22430x x -+=没有实数解．所以不等式22430x x -+ 的解集为R ，即22430x x -+- 的解集为R ．【巩固2】x 解根据题意需要解不等式2320x x -- ．解方程2320x x --=得122,13x x =-=．由于二次项系数为30>，所以不等式的解集为[)2,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ．即当[)2,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 有意义．【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺（五）巩固练习，提升素养1.不等式(2)(3)0x x --≥的解集为()．2．不等式220x x ->解集为()．3．不等式2-2+10x x ≤解集为()．4．求下列一元二次不等式的解集：5.当x在什么范围取值时，有意义？6．若一元二次方程2++10x mx=无实数解，求m的取值范围．（六）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.自我反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？【设计意图】通过总结，让学生进一步理解区间的概念。

江苏省泰兴中学初高中数学衔接教学案（二）
二次问题（3） 一元二次不等式
班级 姓名
一、引入新课
1.二元二次方程组解法
方程 22
260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们主要研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法，一般可以用代入消元法来解．
2.一元二次不等式解法
（1）三个“二次”的关系表
对于二次项系数为负数的不等式，可先将二次项系数化为正数，再解不等式.
（2）一元二次不等式的求解步骤：“看”、“算”、“画”、“解”.
（3）一元二次不等式组的解法： 二、例题精讲
例1 解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨
=⎩
例2 已知二次函数26y x x =--.求
（1）x 取哪些值时，0y =；（2）x 取哪些值时，0y <；
（3）x 取哪些值时，y 非负；（4）x 取哪些值时，
0y x
<.
例3 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或，求不等式20bx ax c ++>的解．
例4 解关于x 的一元二次不等式2
10(x ax a ++>为实数).。