高中数学 第三章 一元二次不等式的解法教案 北师大版必修5(1)

北师大版高中高三数学必修5《一元二次不等式》教案及教学反思一、教学目标1.掌握一元二次不等式的解法和理解2.认知一元二次不等式与一元二次方程解法的异同点3.增强数学思维素质，提高学生数学应用能力二、教学重点1.了解一元二次不等式的不等号的变化方向与增减性2.掌握计算一元二次不等式的最简形式3.了解一元二次不等式解法在图像上的含义三、教学难点1.理解一元二次式与一元二次不等式的异同点，区分等式的解法与不等式的解法2.了解一元二次不等式解法在图像上的含义，奠定后续学习的基础四、教学方法1.案例教学法：以实例为中心，引导学生掌握解答一元二次不等式的方法和技巧，加深对一元二次不等式的认知。

2.师生共同探讨法：鼓励学生与教师进行互动交流，促进学生的思维活跃，倡导合作与分享精神。

五、课程安排时间内容1学时一元二次不等式的定义与性质2学时一元二次不等式的解法3学时一元二次不等式解法在图像上的应用六、教学过程第一学时1.1 师生引言教师简介本章学习内容，引发学生对一元二次不等式的思考，从而激发探究学习兴趣和动力。

1.2 一元二次不等式的定义教师介绍一元二次不等式的定义，即包含一元二次不等式形式的表达式，并解释变量、系数、常数、不等号等基本概念。

示例：ax2+bx+c>0其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数。

1.3 一元二次不等式的性质教师介绍一元二次不等式的性质，包括不等号的取值范围（<、>、$\\leq$、$\\geq$）、不等式的变形和增减性等。

示例：a>0,b2−4ac>01.4 案例分析教师通过具体案例，让学生探究一元二次不等式的解法和不等式的图像性质。

示例：x2−6x+8>0第二学时2.1 师生回顾复习上一学时所学知识点，强化对一元二次不等式的理解。

2.2 一元二次不等式的解法教师详细讲解一元二次不等式的解法，包括配方法和因式分解法，让学生明确两种方法的适用范围和优缺点。

一元二次不等式解法教学目标(一)教学知识点1.会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解.2.简单分式不等式求解.(二)能力训练要求1.通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力．2.通过问题求解渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力．(三)德育渗透目标通过问题求解过程，渗透．教学重点一元二次不等式的求解教学难点将已知不等式等价转化成合理变形式子教学方法创造教学法为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破．教具准备投影片三张第一张：(记作 A)第三张：(记作 C)13.4 33234.3132.2 023.1>---<-<-<+x x x x x x教学过程 Ⅰ．复习回顾1.一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.2.一元二次不等式的解法.3.数形结合思想运用. Ⅱ．讲授新课1.一元二次不等式(x ＋a )(x ＋b )＜0的解法［师］首先我们共同来看(x ＋4)(x －1)＜0这个不等式的特点，以不等式两边分别来看．［生］这个不等式左边是两个x 一次因式的积，右边是0.［师］那么，依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式，同学们可以讨论或者将不等式变形，看结果如何.［生］经观察、分析、研究不等式可以实现转化，可转化成一次不等式组：⎩⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+0104 0104x x x x 与，并且说明(x －4)(x －1)＜0的解集是上面不等式组解集的并集.［师］那么解法如下： 投影片：( A)将所解不等式转化为一次不等式组，求其解集的并集，即为所求不等式的解．给出下面问题： 投影片：( B)解析如下： 1．x 2－3x －4＞0解：将x 2－3x －4＞0分解为(x －4)(x ＋1)＞0转化为⎩⎨⎧<+<-⎩⎨⎧>+>-01040104x x x x 或 }1|{0104|}4|{0104|-<=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+<->=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>-x x x x x x x x x x原不等式的解为｛x ｜x ＞4｝∪｛x ｜x ＜－1｝＝｛x ｜4＜x 或x ＜－1｝ 问题解决的关键在于通过正确因式分解，将不等号左端化成两个一次因式积的形式．2.－x 2－2x ＋3＞0解：将－x 2－2x ＋3＞0分解为(x ＋3)(x －1)＜0∅=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<+<<-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->+0103|}13|{0103|x x x x x x x x原不等式的解为 ｛x ｜－3＜x ＜1｝ 3．x (x －2)＞8解：将x (x －2)＞8变形为 x 2－2x －8＞0 化成积的形式有(x －4)(x ＋2)＞0⎩⎨⎧-<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<->=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>-}2|{0204|}4|{0204|x x x x x x x x x x原不等式的解集为｛x ｜x ＜－2或x ＞4}4.(x ＋1)2＋3(x ＋1)－4＞0解析：解决该问题的关键是正确利用整体思想． 解：将原不等式变形为(x ＋1＋4)(x ＋1－1)＞0，即x (x ＋5)＞0}5|{050|}0|{050|->=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<>=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>x x x x x x x x x x即有｛x ｜x ＞0｝∪｛x ｜x ＜－5｝＝｛x ｜x ＜－5或x ＞0｝2.分式不等式b x ax ++＞0的解法［师］试比较73+-x x ＜0与(x －3)(x ＋7)＜0的解集，并写出和它们解集相同的一次不等式组，为回答上述问题，我们先完成例5．［例5］解不等式73+-x x ＜0解析：这个不等式若要正确无误地求出解集，则必须实现转化，而这个转化依据就是b a ＞0⇔ab ＞0及b a＜0⇔ab ＜0其解的过程如下：解：这个不等式解集是不等式组⎩⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+03070307x x x x 或的解集的并集．由{∅=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<+<<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->+0307|},37|{0307|x x x x x x x x ，得原不等式的解集是｛x ｜－7＜x ＜3｝∪∅＝｛x ｜－7＜x ＜3｝从而开始提出的问题就可叙述为：［生］73+-x x ＜0与(x －3)(x ＋7)＜0的解集相同．其一次不等式组为⎩⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+03070307x x x x 或［师］由此得到b x ax ++＞0不等式的解法同(x ＋a )(x ＋b )＞0的解法相同．［师］看下面不等式如何转化： 投影片：( C)上述式子变形是关键，如何实现转化，移项化简是主要工作．［生］(1)3＋x 2＜1可变形为x x 23+＜0．转化为(3x ＋2)x ＜0⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧><+⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>+0023|0023|x x x x x x ＝｛x ｜－32＜x ＜0＝∪∅＝｛x ｜－32＜x ＜0｝ (2)x -32＜1可变形为x x --31＜0，转化为(x －1)(3－x )＜0}1|{}3|{0301|0301|<>=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->-x x x x x x x x x x ＝｛x ｜x ＜1或x ＞3}(3)34-x ＞x x --32－3可变形为332--x x ＞0，转化为(2x －3)(x －3)＞0⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-03032 03032x x x x 或即｛x ｜x ＞3｝或｛x ＜23}原不等式解集为｛x ｜x ＜23或x ＞3}(4)x 3＞1可变形为x 3－1＞0即x x-3＞0，转化为(3－x )x ＞0}30|{}30|{003|003|<<=∅<<=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>-x x x x x x x x x x Ⅲ．课堂练习 课本P 21练习 1～4 1.解下列不等式 (1)(x ＋2)(x －3)＞0解：(x ＋2)(x －3)＞0可变形为⎩⎨⎧<-<+⎩⎨⎧>->+0302 0302x x x x 或 }32|{}2|{}3|{0302|0302|>-<=-<>⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->+x x x x x x x x x x x x x 或即 = (2)x (x －2)＜0解：x (x －2)＜0可变形为⎩⎨⎧>-<⎩⎨⎧<->020020x x x x 或 }20|{}20|{020|020|<<=∅<<=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->x x x x x x x x x x 即 2.解关于x 的不等式(x －a )(x －b )＞0(a ＜b )解：(x －a )(x －b )＞0可变形为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-0000b x a x b x a x 或⎩⎨⎧<<=><=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->-}|{}|{}|{00|00|b x a x b x x a x x b x a x x b x a x x 3.(1){x|—5＜x ＜8} (2)}214|{>-<x x x 或 4.(1)正确．(2)正确. Ⅳ.课时小结1.(x ＋a )(x ＋b )＜0(a ＞b )型不等式转化方式是⎩⎨⎧>+<+⎩⎨⎧<+>+0000b x a x b x a x 或． 2.b x ax ++＞0型不等式转化结果：(x ＋a )(x ＋b )＞0．3.上述两类不等式解法相同之处及关键、注意点. Ⅴ．课后作业(一)课本P 22习题1．5 2，4，7，8 2.解下列不等式 (1)(5－x )(x ＋4)＜0 解：｛x ｜x ＜－4或x ＞5｝ (2)(x ＋7)(2－x )＞0 解：｛x ｜－7＜x ＜2｝ (3)(3x ＋2)(2x －1)＜0解：｛x ｜－32＜x ＜21} (4)(21x －1)(5x ＋3)≥0 解：｛x ｜x ≤－53或x ≥2｝4.求不等式组⎩⎨⎧->-+-+≥+)9(321)1)(1()1(22x x x x x x x 的整数解.解：将⎩⎨⎧->-+-+≥+)9(321)1)(1()1(22x x x x x x x 变形为⎩⎨⎧<+≥+285133x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧<≥5281x x 原不等式的解集为｛x ｜x ≥1｝∩｛x ｜x ＜528}＝｛x ｜1≤x ＜528}，因此所求的整数解集为｛1，2，3，4，5｝7.已知U ＝R ，且A ＝｛x ｜x 2－16＜0}，B ＝｛x ｜x 2－4x ＋3≥0｝，求：(1)A∩B ；(2)A ∪B ；(3)U(A ∩B )；(4)(UA )∪(UB )．解：(1)A ∩B ＝⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-034016|22x x x x }4314|{0)1)(3(0)4)(4(|<≤≤<-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--<-+=x x x x x x x x 或(2)A ∪B ＝｛x ｜x 2－16＜0｝∪｛x 2－4x ＋3≥0｝＝｛x ｜－4＜x ＜4｝∪｛x ｜x ≤1或x ≥3｝＝R(3) U (A ∩B )为从R 内去掉A ∩B 后的剩余部分，因此U(A ∩B )＝｛x ｜x≤－4或1＜x ＜3或x ≥4}(4)由U A ＝｛x ｜x 2－16≥0｝＝｛x ｜x ≤－4或x ≥4｝，U B ＝｛x ｜x 2－4x＋3＜0}＝｛x ｜1＜x ＜3＝得(UA )∪(UB )＝｛x ｜x ≤－4或1＜x ＜3或x ≥4｝评述：问题解决的过程应充分利用数形结合，求范围． 8.解下列不等式：(1)5243+-x x ＞0；解：原不等式的解集是不等式组⎩⎨⎧<+<-⎩⎨⎧>+>-052043052043x x x x 与的解集的并集，即 }3425|{}25|{}34|{052043|052043|>-<=-<>=⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<-⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>-x x x x x x x x x x x x x 或(2)25152+-x x ≤0．解：原不等式的解集是不等式组⎩⎨⎧>+≤-⎩⎨⎧<+≥-02501520250152x x x x 与的解集的并集，即}21552|{}21552|{≤<-=≤<-∅x x x x(二)1.预习内容：课本P 25－26，P 23－24阅读材料 2.预习提纲：(1)集合元素的个数如何计算？其实际意义如何？ (2)逻辑联结词有哪几个？如何解释? 板书设计。

课题： 3.2 一元二次不等式及其解法(1)第课时总序第个教案课型：新讲课编写不时间：年月日履行时间：年月日教课目的：批1．知识与技术：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培育数形联合的能力，培育分类议论的思想方法，培育抽象归纳能力和逻辑注思想能力；2．过程与方法：经历从实质情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和经过函数图象研究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获取一元二次不等式的解法；3．神态与价值：激发学习数学的热忱，培育勇于研究的精神，勇于创新精神，同时领会事物之间广泛联系的辩证思想。

教课要点：从实质情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

教课难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

教课器具：三角板，投影仪教课方法：经历从实质情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和经过函数图象研究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获取一元二次不等式的解法；教课过程：1.课题导入从实质情境中抽象出一元二次不等式模型：教材 P76 互联网的收费问题教师指引学生剖析问题、解决问题，最后获取一元二次不等式模型：x25x 0(1)2.解说新课1）一元二次不等式的定义象 x25x 0 这样，只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式2）研究一元二次不等式x25x0 的解集如何求不等式（1）的解集呢？研究：（ 1）二次方程的根与二次函数的零点的关系简单知道：二次方程的有两个实数根：x10, x2 5二次函数有两个零点：x1 0, x25于是，我们获取：二次方程的根就是二次函数的零点。

（ 2）察看图象，获取解集画出二次函数y x25x 的图象，如图，察看函数图象，可知：当 x<0 ，或 x>5 时，函数图象位于 x 轴上方，此时， y>0, 即x25x0 ；当 0<x<5 时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0, 即x25x 0 ；因此，不等式x25x 0的解集是 x | 0 x 5 ，进而解决了本节开始时提出的问题。

不等式恒成立问题解法研究教学设计教材地位与教学内容分析：1、本节课在高考中的地位：不等式恒成立问题，特别是含参不等式，把导数，不等式，函数，三角，几何，数列等内容有机地结合起来，覆盖知识点广，渗透的数学思想方法多，解题方法灵活，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素质。

正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。

2、本节课的主要教学内容：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法等解决不等式恒成立问题教学目标1、掌握求不等式恒成立问题中参数范围的常见策略与方法，能根据不同的条件，选择恰当的方法，确定不等式恒成立中的参数范围.2、通过不等式恒成立问题解法研究，理解换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法.3、培养学生思维的灵活性、创造性，提高学生的综合解题能力.教学重难点重点：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法难点：根据不同条件用适当方法求参数范围教学方法：引导发现，合作探究，总结归纳教具：多媒体课件教学时间：40分钟教学过程：〔一〕导入不等式恒成立问题是中学数学的一类重要题型，它散见于许多知识板块中，载体较多，而且不少情况下题意较为隐含。

正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。

今天这节课我们就来探讨不等式恒成立问题的解法。

（二）例题精讲一、利用二次函数性质例1 〔1〕 假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围为〔 〕〔2〕上题假设改为“假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立〞，那么k 的取值范围是.归纳：1、在R 上恒成立问题，利用判别式：对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：〔1〕R x x f ∈>在0)(上恒成立⇔；〔2〕R x x f ∈<在0)(上恒成立⇔ .2、在给定区间上恒成立问题，分类讨论：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔二、别离参数法 例1〔2〕〔方法二〕：假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立,那么k 的取值范围是.归纳：假设在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，那么可将恒成立问题转化成函数的最值(或上、下界)问题求解。

《一元二次不等式解法》说课稿（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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一元二次不等式的解法【教学目的】知识目标：掌握一元二次不等式的解法；知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；了解简单的分式不等式的解法能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

【数学重点】一元二次不等式的解法【数学难点】理解二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式不的解三者之间的关系。

【教学过程】一、复习题：1、不等式|2-x|≥3的解集为；不等式|1-2x|<5|的解集为；不等式|4-3x|>3x-4的解集为；不等式|4x-3|<2x+1的解集为。

2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x= ，顶点坐标为（，）3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系是：。

二、讲授新课：例1：画出二次函数y=x2-x-2的图象，并根据图象回答：⑴当x 取哪些值时，y=0？⑵当x 取哪些值时，y>0? ⑶当x 取哪些值时，y<0？由此我们可以得到，不等式x2-x-2>0的解集为。

等式x2-x-2<0的解集为。

【知识小结】例2：解下列不等式：⑴ (x+4)(x-1)<0 ；⑵ (1-x)(3x-2)<0。

小结：不等式a(x-x1)(x-x2)<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}不等式a(x-x1)(x-x2)>0(a>0)的解集为{x|x<x1,x>x2}(其中x1<x2)记忆方法：注意：课堂练习1:解下列不等式：⑴(5-x)(x+4)<0 ⑵ (x+7)(2-x)>0 ；⑶(3x+2)(2x-1)≤0 ⑷(0)35)(121(≥+-xx。

2．1一元二次不等式的解法明目标、知重点 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.把握图像法解一元二次不等式的方法.3.培育应用数形结合、分类争辩思想方法的力气．1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．3．不等式的恒成立问题(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.(3)分别参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[情境导学]对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y>0或y<0，就得到不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0.如何解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0？这就是本节所要学习的主要内容．探究点一一元二次不等式的概念问题1甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发状况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：s甲＝0.01x2＋0.1x；s乙＝0.005x2＋0.05x，谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．试问：哪一辆车违章行驶了？思考1你能想出一种方法找出哪一辆车违章行驶吗？答只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和不等式0.005x2＋0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以推断哪一辆车违章超速行驶．思考2在思考1中得到的不等式有什么特点？答(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.小结形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．探究点二一元二次不等式的解法问题2如何解一元二次不等式x2－2x－3<0?思考1一元二次方程x2－2x－3＝0的根与一元二次函数y＝x2－2x－3的零点有怎样的关系？答二次方程有两个实数根x1＝－1，x2＝3，二次函数有两个零点：x1＝－1，x2＝3.于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．思考2画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，你能通过观看图像，确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围吗？答画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，如图，观看函数图像可知：当－1<x<3时，函数图像位于x轴下方，此时，y<0，即x2－2x－3<0，所以满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围是－1<x<3.思考3依据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答先求出一元二次方程的根，再依据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x的取值范围．小结(1)一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(2)一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．思考4设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，依据以上争辩，请将下表填充完整.Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或 x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅小结 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间． (2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的二次项系数a <0时，可以转化为a >0. 思考5 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？答 二次函数的图像与x 轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，也就是一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x 轴上方或下方的部分所对应x 的范围是不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集． 例1解不等式：3x 2＋5x －2>0.解 方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2,0)和⎝⎛⎭⎫13，0(如图所示)．观看图像可得，不等式的解集为{x |x <－2或x >13}．思考6 依据不等式3x 2＋5x －2>0的解集，你能得出不等式3x 2＋5x －2≤0的解集吗？答 集合{x |x <－2或x >13}在实数集中的补集{x |－2≤x ≤13}，即为不等式3x 2＋5x －2≤0的解集．反思与感悟 在具体求解一元二次不等式的过程中，要亲热结合一元二次方程的根的状况以及二次函数的图像来确定不等式的解集．跟踪训练1 解不等式9x 2－6x ＋1>0.解 方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相同实数解：x 1＝x 2＝13.函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像是开囗向上的抛物线，与x轴仅有一个交点(13，0)．所以不等式的解集是{x |x ≠13}．例2 解不等式：－2x 2＋x ＋1<0.解 方法一 方程－2x 2＋x ＋1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.函数y ＝－2x 2＋x ＋1的图像是开口向下的抛物线，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0和(1,0)，如图所示．观看图像可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.方法二 在不等式两边同乘－1，可得2x 2－x －1>0. 方程2x 2－x －1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.画出函数y ＝2x 2－x －1的图像简图(如图所示)．观看图像，可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.反思与感悟 当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式，对于二次项系数a <0的一元二次不等式，一般有两种解法，通常接受方法二，即通过对不等式两边同乘－1将二次项系数变为正数再解． 跟踪训练2 解不等式－x 2＋4x －4>0.解 不等式可化为x 2－4x ＋4<0. 方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2.而y ＝x 2－4x ＋4的图像开口向上，函数的值域为y ≥0，所以原不等式的解集是∅. 探究点三 含参数的一元二次不等式的解法 例3 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0.解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 函数y ＝x 2＋(1＋a )x －a 的图像开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式的解集为(a ，－1)； (2)当a ＝－1时，原不等式的解集为∅； (3)当a >－1时，原不等式的解集为(－1，a )． 反思与感悟 含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1)争辩二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)争辩判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数；(3)当Δ>0时，争辩相应一元二次方程两根的大小；(4)最终依据系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解 (1)m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . (2)m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m . (3)m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0， 解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ；m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3m <x <1m； m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m<x <－3m . 探究点四 不等式的恒成立问题 例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，明显－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述：m <67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：①考虑能否进行参变量分别，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；②若参变量不能分别，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练4 当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 由于当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ≤－4⇔m ≤－ 5.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)， ∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.4．不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 答案 {x |－2<x <1}解析 由x 2＋x －2<0得－2<x <1， 故其解集为{x |－2<x <1}．5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0.即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2－4(a －2)(－4)<0.解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2. [呈重点、现规律]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ； 若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类争辩，为了做到分类“不重不漏”，争辩需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的争辩：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的争辩：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的争辩：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、基础过关1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1<x <2} D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )(x －1t )>0⇔(x －t )(x －1t )<0⇔t <x <1t .3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.5．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.6．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． 答案 －2<m <2解析 由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图像在x 轴的上方， 所以Δ＝(m )2－4×1×1<0， 所以－2<m <2.7．解不等式：x 2－3|x |＋2≤0. 解 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0 ⇔(|x |－1)(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2； 当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． 二、力气提升8．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又由于a <0，所以2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为 (x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 综上知，当a <0或a >1时， 不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 三、探究与拓展13．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}． (2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a ＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .(3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2.。