(广西课标版)高考数学二轮复习题型练3大题专项1文

专题过关检测三数列一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在数列{a n}中,a1=2,a n+1-a n-2=0,则a5+a6+…+a14=()A.180B.190C.160D.1202.已知等比数列{a n}的各项均为正数,且a3=9,则log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=()A. B. C.10 D.153.(2024·湖南长沙模拟)若数列{a n}满意a n+1=3a n+2,则称{a n}为“幻想数列”,已知正项数列-1为“幻想数列”,且b1=2,则b4=()A. B. C. D.4.我国明代闻名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律,即是现代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键(如图),从左至右依次为:c,#c,d,#d,e,f,#f,g,#g,a,#a,b,c1的音频恰成一个公比为的等比数列的原理,也即高音c1的频率正好是中音c的2倍.已知标准音a的频率为440 Hz,则频率为220 Hz的音名是()A.dB.fC.eD.#d5.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,设数列的前n项和为T n,则T20的值为()A. B.C. D.6.一百零八塔位于宁夏吴忠青铜峡市,它因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…,该数列从第5项起先成等差数列,则该塔群最下面三层的塔数之和为()A.39B.45C.48D.517.在1到100的整数中,除去全部可以表示为2n(n∈N*)的整数,则其余整数的和是()A.3 928B.4 024C.4 920D.4 9248.已知函数f(n)=且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于()A.0B.100C.-100D.10 200二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n}的前n项和S n=4n-1+t,则()A.首项a1不确定B.公比q=4C.a2=3D.t=-10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d=1.若a1+3a5=S7,则下列结论肯定正确的是()A.a5=1B.S n的最小值为S3C.S1=S6D.S n存在最大值11.已知数列{a n}是等差数列,其前30项和为390,a1=5,b n=,对于数列{a n},{b n},下列选项正确的是()A.b10=8b5B.{b n}是等比数列C.a1b30=105D.12.在数学课堂上,老师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列根据同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;……第n(n∈N*)次得到数列1,x1,x2,x3,…,x k,2.记a n=1+x1+x2+…+x k+2,数列{a n}的前n项和为S n,则()A.k+1=2nB.a n+1=3a n-3C.a n=D.S n=三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d= .14.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2,则数列{log2a n}的前n项和T n= .15.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为.16.某校学生在探讨民间剪纸艺术时,发觉剪纸时常常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;假如对折n次,那么S k= dm2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)记S n为数列{a n}的前n项和.已知+n=2a n+1.(1)证明:{a n}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求S n的最小值.18.(12分)(2024·湖北襄阳模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=3,且S n+S n+1=2a n+1-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)①b n=a n log3a n;②b n=;③b n=a n-log3a n.从上面三个条件中任选一个,求数列{b n}的前n项和T n.注:假如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)已知数列{a n}是正项等比数列,满意a3是2a1,3a2的等差中项,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n log2a2n+1,求数列{b n}的前n项和T n.20.(12分)(2024·广东东莞高三期末)已知数列{a n}的前n项和为S n,且对于随意的n∈N*都有3S n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列{a n}的前n项中的最大值为M n,最小值为m n,令b n=,求数列{b n}的前20项和T20.21.(12分)某市为加强环保建设,提高社会效益和经济效益,安排用若干年更换1万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,安排以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数F(n);(2)若该市安排用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.22.(12分)已知数列{a n}满意a1=,且当n≥2时,a1a2…a n-1=-2.(1)求证:数列是等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)记T n=a1a2…a n,S n=+…+,求证:当n∈N*时,a n+1-<S n.专题过关检测三数列一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.B解析因为a n+1-a n=2,a1=2,所以数列{a n}是首项为2,公差为2的等差数列.所以a n=2+(n-1)×2=2n.设{a n}的前n项和为S n,则S n==n2+n.所以a5+a6+…+a14=S14-S4=190.2.C解析因为等比数列{a n}的各项均为正数,且a3=9,所以log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5=log3(a1a2a3a4a5)=log3()=log3(95)=log3(310)=10.3.B解析若正项数列{-1}为“幻想数列”,则有-1=3(-1)+2,即-1=-1,即,又b1=2,所以数列{b n}为以2为首项,为公比的等比数列.故b4=2×()3=4.D解析因为a的音频是数列的第10项,440=220=220,所以频率为220Hz是该数列的第4项,其音名是#d.5.C解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1.而a1=1也符合a n=2n-1,所以a n=2n-1.所以),所以T n=(1-+…+)=(1-)=,所以T20=6.D解析设该数列为{a n},依题意,可知a5,a6,…成等差数列,且公差为2,a5=5.设塔群共有n层,则1+3+3+5+5(n-4)+2=108,解得n=12.故最下面三层的塔数之和为a10+a11+a12=3a11=3×(5+2×6)=51.7.D解析由2n∈[1,100],n∈N*,可得n=1,2,3,4,5,6,所以21+22+23+24+25+26==126.又1+2+3+…+100==5050,所以在1到100的整数中,除去全部可以表示为2n(n∈N*)的整数,其余整数的和为5050-126=4924.8.B解析由已知得当n为奇数时,a n=n2-(n+1)2=-2n-1,当n为偶数时,a n=-n2+(n+1)2=2n+1.所以a1+a2+a3+…+a100=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2×50=100.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.BCD解析当n=1时,a1=S1=1+t,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(4n-1+t)-(4n-2+t)=3×4n-2.由数列{a n}为等比数列,可知a1必定符合a n=3×4n-2,所以1+t=,即t=-所以数列{a n}的通项公式为a n=3×4n-2,a2=3,数列{a n}的公比q=4.故选BCD.10.AC解析由已知得a1+3(a1+4×1)=7a1+1,解得a1=-3.对于选项A,a5=-3+4×1=1,故A正确.对于选项B,a n=-3+n-1=n-4,因为a1=-3<0,a2=-2<0,a3=-1<0,a4=0,a5=1>0,所以S n的最小值为S3或S4,故B错误.对于选项C,S6-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4,又因为a4=0,所以S6-S1=0,即S1=S6,故C正确.对于选项D,因为S n=-3n+,所以S n无最大值,故D错误.11.BD解析设{a n}的公差为d,由已知得30×5+=390,解得d=∴a n=a1+(n-1)d=∵b n=,=2d,故数列{b n}是等比数列,B选项正确.∵5d=53,=(2d)5=25d≠23,∴b10≠8b5,A选项错误.∵a30=a1+29d=5+16=21,∴a1b30=5×221>105,C选项错误.∵a4=a1+3d=5+3,a5=a1+4d=5+4,,D选项正确.12.ABD解析由题意,可知第1次得到数列1,3,2,此时k=1,第2次得到数列1,4,3,5,2,此时k=3,第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时k=7,第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时k=15,……第n次得到数列1,x1,x2,x3,…,x k,2,此时k=2n-1,所以k+1=2n,故A项正确.当n=1时,a1=1+3+2=6,当n=2时,a2=a1+2a1-3=3a1-3,当n=3时,a3=a2+2a2-3=3a2-3,……所以a n+1=3a n-3,故B项正确.由a n+1=3a n-3,得a n+1-=3,又a1-,所以是首项为,公比为3的等比数列,所以a n-3n-1=,即a n=,故C项错误.S n=+…+=(3n+1+2n-3),故D项正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.2解析由2S3=3S2+6可得2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,所以2a3=a1+a2+6,即2(a1+2d)=2a1+d+6,解得d=2.14解析因为S n=2a n-2,所以当n≥2时,S n-1=2a n-1-2,两式相减,得a n=2a n-2a n-1,即a n=2a n-1.当n=1时,可得a1=2,所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列,所以a n=2n.所以log2a n=n,所以T n=15.3n2-2n 解析数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的全部奇数项均为奇数,全部偶数项均为偶数,并且明显{3n-2}中的全部奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的全部公共项就是{3n-2}的全部奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{a n}是以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{a n}的前n项和为S n=n×1+6=3n2-2n.16.5240解析对折3次共可以得到dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm dm四种规格的图形,面积之和S3=4×30=120dm2;对折4次共可以得到dm×12dm,dm×6dm,5dm×3dm,10dm dm,20dm dm五种规格的图形,S4=5×15=75dm2;……可以归纳对折n次可得n+1种规格的图形,S n=(n+1)dm2.则S k=S1+S2+…+S n=240(+…+).记T n=+…+, ①则T n=+…+②①与②式相减,得T n-T n=T n=+…+故T n=3-故S k=240·T n=240四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)证明由+n=2a n+1,得2S n+n2=2a n n+n①,所以2S n+1+(n+1)2=2a n+1(n+1)+(n+1)②,②-①,得2a n+1+2n+1=2a n+1(n+1)-2a n n+1,化简得a n+1-a n=1,所以数列{a n}是公差为1的等差数列.(2)解由(1)知数列{a n}的公差为1.由=a4a9,得(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12.所以S n=-12n+(n-)2-,所以当n=12或13时,S n取得最小值,且最小值为-78.18.解 (1)当n≥2时,∵S n+S n+1=2a n+1-3,∴S n-1+S n=2a n-3,∴S n+1-S n-1=2a n+1-2a n,∴a n+1+a n=2a n+1-2a n,=3(n≥2),当n=1时,S1+S2=2a2-3,∴a1+a1+a2=2a2-3.又a1=3,∴a2=9,=3.∴数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列.∴a n=3×3n-1=3n.(2)若选①:b n=a n log3a n=n·3n,∴T n=1×3+2×32+3×33+…+n·3n,∴3T n=1×32+2×33+…+(n-1)·3n+n·3n+1,∴-2T n=3+32+33+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=3n+1--n·3n+1,∴T n=(n-)3n+1+若选②:b n=),∴T n=(1-)+()+()+…+()=(1+)=若选③:b n=a n-log3a n=3n-n,∴T n=(3-1)+(32-2)+(33-3)+…+(3n-n)=3+32+33+…+3n-(1+2+3+…+n)=19.解 (1)设正项等比数列{a n}的公比为q(q>0).因为a3是2a1,3a2的等差中项,所以2a3=2a1+3a2,即2a1q2=2a1+3a1q,因为a1≠0,所以2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-(舍去).所以a4=a1q3=8a1=16,解得a1=2.所以a n=2×2n-1=2n.(2)由(1)可知a2n+1=22n+1,所以b n=(-1)n log2a2n+1=(-1)n log222n+1=(-1)n(2n+1),所以T n=(-1)1×3+(-1)2×5+(-1)3×7+…+(-1)n(2n+1),-T n=(-1)2×3+(-1)3×5+(-1)4×7+…+(-1)n+1·(2n+1),所以2T n=-3+2[(-1)2+(-1)3+…+(-1)n]-(-1)n+1(2n+1)=-3+2+(-1)n(2n+1)=-3+1-(-1)n-1+(-1)n(2n+1)=-2+(2n+2)(-1)n,所以T n=(n+1)(-1)n-1.20.解 (1)因为对于随意的n∈N*都有3S n=2a n+1,所以当n≥2时,3S n-1=2a n-1+1,两式相减得3(S n-S n-1)=(2a n+1)-(2a n-1+1),即3a n=2a n-2a n-1(n≥2),进而得a n=-2a n-1(n≥2),当n=1时,3S1=2a1+1,故a1=1,所以数列{a n}是以1为首项,-2为公比的等比数列.所以a n=(-2)n-1.(2)当n为奇数时,a n=2n-1,且a n>0,当n为偶数时,a n=-2n-1,且a n<0,因此当n为大于1的奇数时,{a n}的前n项中的最大值为a n=(-2)n-1,最小值为a n-1=(-2)n-2,此时b n=,当n为偶数时,{a n}的前n项中的最大值为a n-1=(-2)n-2,最小值为a n=(-2)n-1,此时b n=,当n=1时,b1=a1,因此{b n}的前20项和T20=b1+(b3+b5+…+b19)+(b2+b4+…+b20)=a1++…++…+=S19+21.解 (1)设a n,b n分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意,数列{a n}是首项为128,公比为1+50%=的等比数列,数列{b n}是首项为400,公差为a的等差数列.所以数列{a n}的前n项和S n==256,数列{b n}的前n项和T n=400n+ a.所以经过n年,该市被更换的公交车总数F(n)=S n+T n=256+400n+ a.(2)若用7年的时间完成全部更换,则F(7)≥10000,即256+400×7+a≥10000,即21a≥3082,所以a又a∈N*,所以a的最小值为147.22.证明 (1)因为当n≥2时,a1a2…a n-1=-2,所以a1a2…a n=-2,两式相除,可得a n=,所以-1,所以=1(n≥2).又a1=,所以a2==3,=4,所以=1,所以=1(n∈N*),所以数列是首项为3,公差为1的等差数列.所以=3+(n-1)×1=n+2,所以a n=(2)因为T n=a1a2…a n=…,所以,所以S n=+…++…+=1-=a n+1-, 所以当n∈N*时,a n+1-<S n.。

2021年广西南宁三中高考数学二模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. (2021·甘肃省·模拟题)已知集合A ={x|−2<x ≤1}，B ={−2,−1,0，1}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0，1}B. {−1,0，1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}2. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)设复数z =i−31+i ，则z 的共轭复数z −=( )A. −1+2iB. 1+2iC. −1−2iD. 1−2i3. (2021·广东省佛山市·单元测试)设命题p ：∀x >1，x >lnx ；则¬p 为( )A. ∃x 0>1，x 0>lnx 0B. ∃x 0≤1，x 0≤lnx 0C. ∃x 0>1，x 0≤lnx 0D. ∀x >1，x ≤lnx4. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,3)，则a⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=( )A. 0B. 1C. −1D. 25. (2021·江西省·模拟题)某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为( )A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π6. (2021·浙江省·模拟题)设变量x 、y 满足约束条件{y ≤42x −3y ≤−22x +y ≥6，则目标函数z =x +y 的最小值是( )A. 1B. 3C. 4D. 57. (2021·陕西省西安市·模拟题)函数f(x)=cosx−x 2e x的图象大致为( )A. B.C. D.8.(2021·宁夏回族自治区银川市·模拟题)在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a5+a7=160，则a1=()A. 0B. 1C. 2D. 49.(2020·黑龙江省哈尔滨市·单元测试)已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2,1)，则过P点最短弦所在的直线方程是()A. x−y+1=0B. x+y−3=0C. x+y+3=0D. x=210.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是()A. n≥6B. n≥8C. n>10D. n≥1011.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为√32，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为(1,1)，则直线l的斜率为()A. −14B. −34C. −12D. 112.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知直线l是曲线f(x)=x4−2x3在点(1,f(1))处的切线，点P(m,n)是直线l上位于第一象限的一点，则m+2nm⋅n的最小值为()A. 4B. 9C. 25D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·体验省·单元测试)已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是．14.(2021·福建省厦门市·模拟题)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，则)=______ ．f(π615.(2021·甘肃省金昌市·模拟题)在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，，则阴影区域的面从该正方形区域内任取一点，若该点落在阴影区域内的概率为49积为______ ．16.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=2，M为棱BC的中点，动点P满足∠APD=∠CPM，则点P的轨迹与长方体的侧面DCC1D1的交线长等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·安徽省·单元测试)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC．(1)求A；(2)从下列条件中：①a=√3；②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．18.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如表．附表及公式：其中n=a+b+c+d，K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；(2)规定成绩在80分以上为优秀，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．优秀非优秀合计男生女生合计19.(2021·江西省萍乡市·模拟题)在如图所示的空间几何体中，两等边三角形△ACD与△ABC互相垂直，AC=BE=4，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE//平面ABC；(2)求点B到平面ADE的距离．20.(2021·河南省平顶山市·单元测试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，离心率e=12，短轴长为2√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积．21.(2021·安徽省·模拟题)已知函数f(x)=kx2+2x−lnx．(1)当k=1时，求在x=1处的切线方程；(2)若f(x)在定义域上存在极大值，求实数k的取值范围．22.(2014·山西省临汾市·模拟题)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是{x=√3cosαy=sinα(α是参数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin(θ+π4)=4√2(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．23.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当a=2，b=1时，解不等式f(x)≥9；(2)若f(x)的最小值为2，求1a+1+12b的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−2<x≤1}，B={−2,−1,0，1}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：B．进行交集的运算即可．本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z=(i−3)(1−i)2=−2+4i2=−1+2i，∴z−=−1−2i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【知识点】全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定【解析】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．∴￢p：∃x0>1，x0≤lnx0故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：由已知条件可得a⃗2=1+1=2，a⃗⋅b⃗ =1×(−1)−1×3=−4，因此，a⃗⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2×2−4=0．利用向量的数量积的运算法则，求解即可． 本题考查向量的数量积的求法，是基础题．5.【答案】D【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体； 故V =34×43⋅π⋅13=π． 故选：D ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】C【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −3y =−22x +y =6，解得A(2,2)，化z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2+2=4， 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．【知识点】函数图象的作法 【解析】解：f(−x)=cos(−x)−(−x)2e −x=cosx−x 2e −x≠f(x)，即f(x)不为偶函数，其图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ；当x =0时，f(x)=1e >0，故排除D ， 故选项B 符合函数f(x)， 故选：B ．先判断函数的奇偶性，再根据函数的零点和函数值的特点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值的特点是解题的关键，属于基础题．8.【答案】C【知识点】等比数列的通项公式 【解析】解：在等比数列{a n }中， ∵a 1+a 3=10，a 5+a 7=160， ∴{a 1+a 1q 2=10a 1q 4+a 1q 6=160， 解得q 2=4，a 1=2． 故选：C ．利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解：如图：圆心坐标D(1,0)，要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，=1，此时DP的斜率k=1−02−1则弦BC的斜率k=−1，则此时对应的方程为y−1=−1(x−2)，即x+y−3=0，故选B．根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆的位置关系确定最短弦满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】D【知识点】程序框图【解析】解：由程序框图，其执行结果如下：1、S=0，n=0：n=2，S=2，执行循环体；2、S=2，n=2：n=4，S=6，执行循环体；3、S=6，n=4：n=6，S=12，执行循环体；4、S=12，n=6：n=8，S=20，执行循环体；5、S=20，n=8：n=10，S=30，跳出循环体，输出S=30；∴框内条件应为n≥10．故选：D．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，根据已知即可得解判断框内本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．11.【答案】A【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标为(x1+x22,y1+y22)，由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，将A，B的坐标的代入椭圆的方程：{x12a2+y12b2=1x22 a2+y22b2=1，作差可得x12−x22a2+y12−y22b2=0，所以y1−y2x1−x2=−b2a2⋅x1+x2y1+y2=−b2a2，又因为离心率e=ca =√32，所以1−b2a2=34，所以−b2a2=−14，即直线AB的斜率为−14，故选：A．设A，B的坐标，代入椭圆的方程，作差可得直线AB的斜率的表达式，再由椭圆的离心率可得a，b的关系，进而求出直线AB的斜率．本题考查椭圆的性质及点差法求直线的斜率，属于基础题．12.【答案】B【知识点】导数的几何意义【解析】解：f(x)=x4−2x3的导数为f′(x)=4x3−6x2，可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为4−6=−2，切点为(1,−1)，切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为2x+y=1，则2m+n=1(m,n>0)，所以m+2nm⋅n =(2m+n)(1n+2m)=5+2mn+2nm≥5+2×2=9，当且仅当m=n=13时，取得等号．则m+2nm⋅n的最小值为9．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，由乘“1”法和基本不等式，可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．13.【答案】2【知识点】平均数、中位数、众数【解析】【分析】本题考查平均数的定义的运用，属于基础题．运用平均数的定义，解方程可得a的值．【解答】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．14.【答案】12【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，∴φ=π2，f(x)=cos2x，则f(π6)=cosπ3=12，故答案为：12．由题意利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，可得f(π6)的值．本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．15.【答案】16【知识点】几何概型【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：S 6×6=49，解得：S =16． 故答案为：16．由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．16.【答案】2π3【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征 【解析】解：如下图所示：当P 在面DCC 1D 1内时，AD ⊥面DCC 1D 1，CM ⊥面DCC 1D 1；又∠APD =∠MPC ，在Rt △PDA 与Rt △PCM 中，∵AD =6，则MC =3，∴tan∠APD =ADPD=tan∠MPC =MCPC，则6PD =3PC ，即PD =2PC.在平面DCC 1D 1中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则D(−3,0)，C(3,0)，设P(x,y)，由PD =2PC ，得√(x +3)2+y 2=2√(x −3)2+y 2， 整理得：x 2−10x +y 2+9=0，即(x −5)2+y 2=16． ∴点P 的轨迹是以F(5,0)为圆心，半径为4的圆． 设圆F 与面DCC 1D 1的交点为E 、M ， 作EK 垂直x 轴于点K ，则sin∠EFK =EK EF=24=12；∴∠EFK =π6；故点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线为劣弧ME ⏜，所以劣弧ME ⏜的长为π6×4=2π3．由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面DCC1D1内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面DCC1D1的交线，进而求得交线长．本题考查棱柱的结构特征、圆的方程、弧长问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．17.【答案】解：(1)因为(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC，由正弦定理得(b−a)(b+a)=(b−c)c，即b2+c2−a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =12,A∈(0,π)，所以A=π3．(2)选择①a=√3.由正弦定理bsinB =csinC=asinA=2，即△ABC周长l=2sinB+2sinC+√3=2sinB+2sin(2π3−B)+√3=3sinB+√3cosB+√3=2√3sin(B+π6)+√3，∵B∈(0,2π3)∴π6<B+π6<5π6,12<sin(B+π6)≤1，即△ABC周长的取值范围(2√3,3√3],选择②S△ABC=√3.，得S△ABC=12bcsinA=√34bc=√3，得bc=4．由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，即△ABC周长l=a+b+c=√(b+c)2−12+b+c，∵b+c≥2√bc=4，当且仅当b=c=2时等号成立．∴l=a+b+c≥√42−12+4=6，即△ABC周长的取值范围[6,+∞)．【知识点】正弦定理及变形、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、三角形面积公式、利用余弦定理解决范围与最值问题、由基本不等式求最值或取值范围、利用正弦定理解决范围与最值问题、利用余弦定理解三角形【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理得cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值．(2)选择①a =√3.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC 周长l =2√3sin(B +π6)+√3，可求B +π6的范围，根据正弦函数的性质可求△ABC 周长的取值范围；选择②利用三角形的面积公式可得bc =4，由余弦定理得a 2=(b +c)2−12，根据基本不等式可求b +c ≥2√bc =4，即可得解△ABC 周长的取值范围．18.【答案】(1)男生的平均分x −1=45×3+55×9+65×18+75×15+85×6+95×960=71.5，女生的平均分x −2=45×6+55×4+65×5+75×10+85×13+95×240=71.5，从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关；(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：计算可得K 2=100×(15×25−15×45)230×70×60×40≈1.786<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．【知识点】独立性检验【解析】(1)利用平均数的计算公式求解即可；(2)由题中的信息，补全2×2列联表，由公式计算K 2的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案．本题考查了特征数的求解以及独立性检验的应用，解题的关键是掌握平均数的计算公式以及独立性检验的方法，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取AC 中点O ，连接BO ，DO ，由题知，BO 为∠ABC 的平分线，BO⊥AC，DO⊥AC，设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，连接EF，则EF⊥平面ABC．∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，DO⊥AC，∴DO⊥平面ABC，∴DO//EF，……………………………………………………………(2分)∵BE和平面ABC所成的角为60°，即∠EBF=60°，∴EF=2√3，又DO=2√3，∴四边形EFOD为平行四边形，∴DE//BO，…………………………………(5分)BO⊆平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE//平面ABC.……………………………………(6分) (2)解：设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2……………………………(8分)1 3⋅12⋅AD⋅DE⋅d=13⋅12⋅ED⋅DO⋅2……………………………(10分)解得d=√3.………………………………(12分)【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)取AC中点O，连接BO，DO，证明BO⊥AC，DO⊥AC，连接EF，说明EF⊥平面ABC.推出DO⊥AC，利用BE和平面ABC所成的角为60°，证明DE//BO，推出DE//平面ABC．(2)设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2，求解距离即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，等体积法的应用，点、线、面距离的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得{ca =122b=2√3，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由B1(0,√3)，F2(1,0)，知B1F2的斜率为−√3，因为MN ⊥B 1F 2，故MN 的斜率为√33，则直线l 的方程为y =√33(x −1)，即x =√3y +1，联立{x 24+y 23=1x =√3y +1，得13y 2+6√3y −9=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6√313，y 1y 2=−913，则△F 1MN 的面积为S =c ⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2413， 则△F 1MN 的周长L =4a =8， 即S =12LR ，得内切圆R =2S L=613，所以△F 1MN 的内切圆面积为πR 2=36169π.【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】(1)由离心率e =12，短轴长为2√3，列方程组，解得a ，b ，进而可得椭圆的方程．(2)由题可知B 1F 2的斜率为−√3，又MN ⊥B 1F 2，得MN 的斜率为√33，写出直线l 的方程，联立椭圆的额方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，进而可得△F 1MN 的周长L =4a =8，则内切圆R =2S L，进而可得△F 1MN 的内切圆面积．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)k =1时，f(x)=x 2+2x −lnx ，f′(x)=2x +2−1x ，因为f(1)=3，f′(1)=3，故f(x)在x =1处的切线方程为y −3=3(x −1)，即y =3x ； (2)f′(x)=2kx +2−1x =2kx 2+2x−1x，x >0，设g(x)=2kx 2+2x −1，①当k =0时，g(x)=0可得x =12，易得，当0<x <12时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >12时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)有极小值，没有极大值；②当k >0时，△=4+8k >0，由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当x >√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)有极小值，没有极大值； ③当k <0时，△=4+8k ，当k ≤−12时，△=4+8k ≤0，f′(x)≤0，f(x)单调递减，没有极大值， 当−12<k <0时，△=4+8k >0， 由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，或x =−√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当√1+2k−12k<x <−√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，当x >−√1+2k−12k，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x =−√1+2k−12k取得极大值，综上−12<k <0．【知识点】导数的几何意义、利用导数研究函数的极值【解析】(1)把k =1代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； (2)先对函数求导，结合导数与单调性的关系讨论k 的范围，确定函数单调性，进而确定极值的存在情况，可求．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．22.【答案】解：(1)由曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα，可得{√3=cosαy =sinα，两式两边平方相加得：(√3)2+y 2=1，即曲线C 1的普通方程为：x 23+y 2=1．由曲线C 2：ρsin(θ+π4)=4√2得：√22ρ(sinθ+cosθ)=4√2，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x +y −8=0， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x +y −8=0．(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin(α+π3)=1时，d 的最小值为3√2，此时点P 的坐标为(32,12)．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求得椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P 的坐标．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =2，b =1时，f(x)=|x −2|+|x +1|≥9，所以{x ≤−1−2x +1≥9或{−1<x ≤23≥9或{x >22x −1≥9，(3分)解得：x ≤−4或x ≥5，故解集为(−∞,−4]∪[5,+∞)；(5分)(2)由a >0，b >0，所以f(x)=|x −a|+|x +b|≥|x +b −x +a|=|a +b|=a +b ， 当且仅当(x −a)(x +b)≤0，即−b ≤x ≤a 时，等号成立． 若f(x)的最小值为2，则a +b =2，所以(a +1)+b =3，(7分)1a +1+12b =13(1a +1+12b )((a +1)+b)=13(32+b a +1+a +12b )≥13(32+2√12)=13(32+√2)=12+√23当且仅当ba+1=a+12b，即a =5−3√2，b =3√2−3时，等号成立．(9分)所以1a+1+12b 的最小值为12+√23.(10分)【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式 【解析】(1)去掉绝对值，转化求解不等式的解集即可． (2)由推出a +b =2，利用基本不等式转化求解最值即可．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

题型练1 选择、填空综合练(一)一、能力突破训练1.(2018全国Ⅲ,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}(a∈R)的实部是2,则z的虚部是()2.(2019山西吕梁二模,2)若复数z=1+a i1+iA.iB.1C.2iD.23.(2019全国Ⅰ,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.(2019全国Ⅲ,文4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位.阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8),tan x>x,则下列命题中的真命题是5.已知命题p:∃x0∈(-∞,0),3a0<4a0;命题q:∀x∈(0,π2()A.p∧qB.p∨(q)C.p∧(q)D.(p)∧q6.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.87.(2019全国Ⅰ,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生8.过椭圆a2a2+a2a2=1(a>b>0)的两个焦点作垂直x轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交点恰好为正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为()A.√5+12B.√5-12C.√3-12D.√3+129.设a=sin(2019π-π6),函数f(x)={aa,a>0,a(-a),a<0,则f(log216)的值等于()A.14B.4C.16D.610.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)11.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为()A.92B.9 C.-92D.-912.函数f(x)=(1-cos x)sin x在区间[-π,π]上的图象大致为()13.若双曲线x2-a2a=1的离心率为√3,则实数m= .14.模拟从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是.15.(2019全国Ⅰ,文14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4= .16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=A+π3,b=2a,则B= .二、思维提升训练17.已知i是虚数单位,a是z=1+i的共轭复数,则aa2在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19.某算法的程序框图如图,若输出的y=1,则输入的x的值可能为()2A.-1B.0C.1D.520.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是D1B,A1C上不重合的两个动点,给出下列四个结论:①C1E∥AF;②平面AFD∥平面B1EC1;③AB1⊥EF;④平面AED⊥平面ABB1A1.其中,正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①④D.③④21.设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉A时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤3222.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为√3,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离2之和为12,则椭圆G的方程为()A .a 236+a 29=1 B .a 29+a 236=1 C .a 24+a 29=1D .a 29+a 24=123.函数y=x sin x 在区间[-π,π]上的图象是( )24.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 所对的边,若函数f (x )=13x 3+bx 2+(a 2+c 2-ac )x+1有极值点,则∠B 的取值范围是( ) A .(0,π3)B .(0,π3]C .[π3,π]D .(π3,π)25.将函数y=sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m>0)个单位、向右平移n (n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin (2a +π3)(x ∈R )的图象重合,则|m-n|的最小值为( ) A .π6B .5π6C .π3D .2π326.若样本数据x 1,x 2,…,x 10的标准差为8,则数据2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的标准差为( ) A .8B .15C .16D .3227.已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心,∠A=60°,cos asin a ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cos asin a ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2m ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m 的值为( ) A .√32B .√2C .1D .1228.(2019全国Ⅰ,文10)若双曲线C :a 2a 2−a 2a2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为 ( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50°D.1cos50°29.(2018全国Ⅱ,文14)若x,y满足约束条件{a+2a-5≥0,a-2a+3≥0,a-5≤0,则z=x+y的最大值为.30.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+√2=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点M在圆O上,则实数k= .31.(2019湖北武汉4月调研,15)将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱,则该圆柱的高为.32.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a55−a22=3,则数列{a n}的公差为.题型练1选择、填空综合练(一)一、能力突破训练1.C解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.2.B解析∵z=1+a i1+i =(1+a i)(1-i)(1+i)(1-i)=a+12+a-12i,∴a+12=2,即a=3.∴z的虚部为3-12=1.3.B解析因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<0.20<1,即c∈(0,1),所以a<c<b.故选B.4.C解析由题意得,阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7.故选C.5.D解析由图象可知命题p是假命题,a p是真命题;当x∈(0,π2)时,tan x>x,成立,命题q是真命题,a q是假命题,故选D.6.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.7.C解析由已知得将1000名新生分为100组,每组10名学生,用系统抽样抽到46号学生,则第一组应为6号学生,所以每组抽取的学生号构成等差数列{a n},所以a n=10n-4,n∈N*,若10n-4=8,则n=1.2,不合题意;若10n-4=200,则n=20.4,不合题意;若10n-4=616,则n=62,符合题意; 若10n-4=815,则n=81.9,不合题意. 故选C .8.B 解析∵过椭圆a 2a 2+a 2a 2=1(a>b>0)的两个焦点作垂直x 轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交点恰好为正方形的四个顶点,∴c=a 2a ,∴ac=a 2-c 2,∴e 2+e-1=0.∵0<e<1,∴e=√5-12,故选B .9.C 解析a=sin (2019π-π6)=sin (2018π+π-π6)=sin (π-π6)=sin π6=12,则f (x )={(12)a,a >0,a (-a ),a <0,得f (log 216)=f (log 26)=(12)log 26=16,故选C .10.D 解析由题意可知x 2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x 2-2x-8在区间(-∞,-2)内单调递减,在区间(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t 在t ∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f (x )的单调递增区间为(4,+∞).故选D . 11.C 解析∵aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.又|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3≥2√|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⇒|PO⃗⃗⃗⃗ |·|PC ⃗⃗⃗⃗ |≤94, ∴(PA⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ ≥-92.故答案为-92. 12.C 解析由函数f (x )为奇函数,排除B;当0≤x ≤π时,f (x )≥0,排除A;又f'(x )=-2cos 2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-12,结合x ∈[-π,π],求得f (x )在区间(0,π]上的极大值点为2π3,靠近π,排除D .13.2 解析由题意知a=1,b=√a ,m>0,c=√a 2+a 2=√1+a ,则离心率e=aa =√1+a =√3,解得m=2.14.15 解析根据题意,从5个数中一次随机取两个数,其情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种情况,其中这两个数的和为5的有(1,4),(2,3),共2种;则取出两个数的和为5的概率P=210=15.故答案为15.15.58解析设等比数列{a n }的公比为q.S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=34,即q 2+q+14=0.解得q=-12.故S 4=a 1(1-a 4)1-a=1-(-12)41+12=58.16.π2 解析在△ABC 中,因为b=2a ,由正弦定理,得sin B=2sin A ,则sin (a +π3)=2sin A ,化简,得32sin A-√32cos A=0,即√3sin (a -π6)=0,解得A=π6,则B=A+π3=π2. 二、思维提升训练 17.C 解析a =1-i,则aa 2=1-i (1+i)2=1-i2i=-12−12i,对应复平面内点的坐标为(-12,-12),在第三象限. 18.A 解析若直线a ,b 相交,设交点为P ,则P ∈a ,P ∈b. 又因为a ⊆α,b ⊆β,所以P ∈α,P ∈β.故α,β相交.反之,若α,β相交,设交线为l ,当a ,b 都与直线l 不相交时,则有a ∥b. 显然a ,b 可能相交,也可能异面或平行.综上,“直线a ,b 相交”是“平面α,β相交”的充分不必要条件.19.C 解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y={sin (π6a ),a ≤2,2a ,a >2,当x>2时y=2x>4,若输出的y=12,则sin (π6a )=12,结合选项可知选C .20.D 解析当点E 与点D 1重合,点F 与点A 1重合时,C 1E 与AF 不平行,平面AFD 与平面B 1EC 1不平行,所以①②错误.因为AB 1⊥平面BCD 1A 1,EF ⊂平面BCD 1A 1,所以AB 1⊥EF.因为AD ⊥平面ABB 1A 1,所以平面AED ⊥平面ABB 1A 1,因此③④正确,故选D . 21.D 解析若(2,1)∈A ,则{2-1≥1,2a +1>4,2-a ≤2,化简,得{a >32,a ≥0.所以a>32.所以当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A ,故选D .22.A 解析根据题意知2a=12,得a=6,离心率e=a a =√32,所以c=3√3,于是b 2=9,椭圆方程为a 236+a 29=1.23.A 解析容易判断函数y=x sin x 为偶函数,可排除D;当0<x<π2时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C .故选A .24.D 解析函数f (x )的导函数f'(x )=x 2+2bx+(a 2+c 2-ac ),若函数f (x )有极值点,则Δ=(2b )2-4(a 2+c 2-ac )>0,得a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理,得cos B=a 2+a 2-a 22aa<12,则B>π3,故选D .25.C 解析函数y=sin2x (x ∈R )的图象向左平移m (m>0)个单位可得y=sin2(x+m )=sin(2x+2m )的图象,向右平移n (n>0)个单位可得y=sin2(x-n )=sin(2x-2n )的图象.若两图象都与函数y=sin (2a +π3)(x ∈R )的图象重合,则{2a =π3+2a 1π,2a =-π3+2a 2π(k 1,k 2∈Z ), 即{a =π6+a 1π,a =-π6+a 2π(k 1,k 2∈Z ).所以|m-n|=|π3+(a 1-a 2)π|(k 1,k 2∈Z ),当k 1=k 2时,|m-n|min =π3.故选C .26.C 解析设数据x 1,x 2,…,x 10的平均数为a ,标准差为s ,则2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的平均数为2a -1,方差为[(2a 1-1)-(2a -1)]2+[(2a 2-1)-(2a -1)]2+…+[(2a 10-1)-(2a -1)]210=4(a 1-a )2+4(a 2-a )2+…+4(a 10-a )210=4s 2,因此标准差为2s=2×8=16.故选C .27.A 解析如图,当△ABC 为正三角形时,A=B=C=60°,取D 为BC 的中点,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有√3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +√3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2m ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴√3aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2m ×23aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴√3·2aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43aaa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴m=√32,故选A .28.D 解析由已知可得-a a =tan130°=-tan50°,则e=a a =√1+(a a )2=√1+tan 250° =√1+sin 250°cos 250°=√sin 250°+cos 250°cos 250°=1cos50°. 故选D . 29.9 解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y 取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,z max =9.30.±1 解析如图,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形,此时,点O 到AB 距离为1.由√2=1,解得k=±1.31.10√33 解析由S=4πR 2,得100π=4πR 2,解得R=5.如图,设球心到圆柱底面的距离为d ,圆柱底面半径为r ,则r 2=R 2-d 2=25-d 2. ∴圆柱体积V (d )=πr 2·2d=2d π(25-d 2)=-2πd 3+50πd ,故V'(d )=-6πd 2+50π,令V'(d )=0,得d=5√33. 当d=5√33时,圆柱体积V (d )最大,则圆柱的高为2d=10√33. 32.2 解析∵S n =na 1+a (a -1)2d , ∴a a a =a 1+a -12d ,∴a 55−a 22=(a 1+5-12a )−(a 1+2-12a )=32d , 又a 55−a 22=3,∴d=2.。

题型专项练3 客观题8+4+4标准练(C)一、单项选择题1.复数z=的虚部为()A.-iB.iC.-D.2.已知集合M={x|lg(x-1)≤0},N={x||x|<2},则M∪N=()A.⌀B.(1,2)C.(-2,2]D.{-1,0,1,2}3.(2024·湖南岳阳二模)某学校为落实“双减”政策,在课后服务时间开设了“球类”“棋类”“书法”“绘画”“舞蹈”五项活动.若甲同学打算从这五项活动中随机选三项,则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为()A.0.9B.0.7C.0.6D.0.34.若向量a,b满意|a|=2,|b|=,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为()A. B. C. D.5.(2024·山东聊城一模)“绿色出行,低碳环保”已成为新的时尚.近几年国家相继出台了一系列的环保政策,在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间安排表,为新能源汽车行业的发绽开拓了广袤的前景.新能源汽车主要指电动力汽车,其能量来源于蓄电池.已知蓄电池的容量C(单位:A·h)、放电时间t(单位:h)、放电电流I(单位:A)三者之间满意关系C=·t.假设某款电动汽车的蓄电池容量为3 074 A·h,正常行驶时放电电流为15 A,那么该汽车能持续行驶的时间大约为(参考数据:6×1≈3 074)()A.60 hB.45 hC.30 hD.15 h6.(2024·新高考Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB的两倍,则m=()A. B. C.- D.-7.(2024·山东青岛一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x 与C的左、右两支分别交于A,B两点,若四边形AF1BF2为矩形,则C的离心率为()A. B.3C.+1D.+18.已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数,随意x1,x2∈[3,+∞)满意>0,则不等式f(3x-1)<4的解集为()A. B.∪(2,+∞)C.(2,3)D.二、多项选择题9.已知函数f(x)=cos,则()A.2π为f(x)的一个周期B.f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x)在区间内单调递减D.f(x+π)的一个零点为10.(2024·新高考Ⅱ,9)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则()A.该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为4πC.AC=2D.△PAC的面积为11.已知ln x>ln y>0,则下列结论正确的是()A. B.C.log y x>log x yD.x2+>812.如图,在数表中,第1行是从1起先的正奇数,从第2行起先每个数是它肩上两个数之和,则下列说法正确的是()1 3 5 7 9 11…4 8121620…12202836……A.第6行第1个数为192B.第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列C.第10行前10个数的和为95×29D.数表中第2 021行第2 021个数为6 061×22 020三、填空题13.(2024·新高考Ⅱ,13)已知随机变量X听从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .14.已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且四边形ABCD 为正方形,则|m-n|的值为.15.如图,O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕点O转动,长杆MN通过点N处的铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动.当点D在滑槽AB内作往复移动时,带动点N绕点O转动,点M也随之运动.记点N的运动轨迹为C1,点M的运动轨迹为C2.若ON=DN =1,MN=3,过轨迹C2上的点P向轨迹C1作切线,则切线长的最大值为.16.阿基米德在他的著作《论球和圆柱》中,证明白数学史上闻名的圆柱容球定理:圆柱的内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比.可证明该定理推广到圆锥容球也正确,即圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比,则该比值的最大值为.题型专项练3客观题8+4+4标准练(C)一、单项选择题1.C解析因为z=i,所以复数z的虚部为-2.C解析依据题意,由lg(x-1)≤0,得0<x-1≤1,即1<x≤2,则集合M={x|lg(x-1)≤0}={x|1<x≤2}.由|x|<2,得-2<x<2,则N={x||x|<2}={x|-2<x<2}.故M∪N={x|-2<x≤2}=(-2,2].3.B解析随机试验从五项活动中随机选三项的样本空间共有个样本点,“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中分两种状况:①都没有被选中,有种状况;②两项活动只有一项被选中,有种状况,则所求概率为P==0.7.4.D解析由已知得(a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=0,|a|=2,|b|=,则2cos<a,b>-1=0,故cos<a,b>=5.C解析由题意知C=t,当C=3074,I=15时,3074=1t,∴t=又6×13074,∴t==3×1=3×1=30.6.C解析如图所示,椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),设点F1,F2到直线y=x+m的距离分别为d1,d2,由点到直线的距离公式可知d1=,d2=由消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0.∵y=x+m与椭圆C交于A,B两点,∴Δ=36m2-16(3m2-3)>0,即-2<m<2.∵△F1AB的面积是△F2AB的两倍,∴有|AB|·d1=2|AB|·d2,即d1=2d2,=2,两边平方整理,得3m2+10m+6=0,解得m=-或m=-3又-2<m<2,∴m=-故选C.7.C解析明显直线y=x与F1F2交于原点O,由双曲线对称性知,若四边形AF1BF2是矩形,则|AB|=|F1F2|.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,而F1(-c,0),F2(c,0),由得(b2-3a2)x2=a2b2,解得x1=-,x2=,则|AB|=|x1-x2|=,则=2c,化简得b4-6a2b2-3a4=0,即()2-6-3=0,>0,解得=3+2,则e=+1.8.D解析因为f(x+3)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=3对称,所以f(5)=f(1)=4.因为随意x1,x2∈[3,+∞)满意>0,所以f(x)在区间[3,+∞)内单调递增,在区间(-∞,3)内单调递减,所以f(3x-1)<4等价于1<3x-1<5,解得<x<2.二、多项选择题9.AD解析函数f(x)=cos的最小正周期为2π,故A正确;由x+=kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z,无论k取何值,x,故B错误;函数f(x)=cos在区间内单调递减,在区间内单调递增,故C错误;∵f(x+π)=cos,∴f=cos()=cos=0,故D正确.10.AC解析由题意,可得PO⊥平面AOC,∠APO=APB=60°,所以PO=PA cos∠APO=1,AO=PA sin∠APO=如图,取AC的中点D,连接PD,OD,则PD⊥AC,OD⊥AC,所以∠PDO即为二面角P-AC-O的平面角,所以∠PDO=45°.因为OD⊂平面AOC,PO⊥平面AOC,所以PO⊥OD,所以△PDO为等腰直角三角形,所以OD=PO=1,PD=对于A,圆锥的体积V=()2×1=π,故A正确;对于B,圆锥的侧面积S=π2=2,故B不正确;对于C,AC=2=2,故C正确;对于D,S△PAC=AC×PD=2=2,故D不正确.故选AC.11.ACD解析因为ln x>ln y>0,所以x>y>1,所以,所以A正确;因为x>y>1,所以,所以B错误;因为x>y>1,所以log y x>log y y=1,log x y<log x x=1,所以log y x>log x y,所以C正确;因为x>y>1,所以0<y(x-y),所以x2+x2+8,当且仅当x=2,y=1时,等号成立,又y>1,所以x2+>8,所以D正确.12.ABD解析数表中,每行是等差数列,且第1行的首项是1,公差为2,第2行的首项是4,公差为4,第3行的首项是12,公差为8……每行的第1个数满意a n=n×2n-1,每行的公差构成一个以2为首项,2为公比的等比数列,公差满意d n=2n.对于选项A,第6行第1个数为a6=6×26-1=192,故A正确;对于选项B,第10行的数从左到右构成公差为d10=210的等差数列,故B正确;对于选项C,第10行第1个数为a10=10×210-1=10×29,公差为210,所以前10个数的和为10×10×29+210=190×29,故C 错误;对于选项D,数表中第2024行第1个数为a2024=2024×22024-1=2024×22024,第2024行的公差为22024,故数表中第2024行第2024个数为2024×22024+(2024-1)×22024=6061×22024,故D正确.三、填空题13.0.14解析因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.14.2解析由题意知l1∥l2,若四边形ABCD为正方形,则正方形的边长等于直线l1,l2之间的距离d,d=,设圆C的半径为r,由正方形的性质知d=r=2,即=2,故|m-n|=215解析以滑槽AB所在直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示.因为|ON|=1,所以点N的运动轨迹C1是以O为圆心,半径为1的圆,其方程为x2+y2=1.设点N的坐标为(cosθ,sinθ),由于|ON|=|DN|=1,易得D(2cosθ,0),由|MN|=3,得=3,设M(x,y),则(x-cosθ,y-sinθ)=3(cosθ,-sinθ),可得M(4cosθ,-2sinθ),所以点M的运动轨迹C2是椭圆,其方程为=1.设轨迹C2上的点P(4cosα,2sinα),则|OP|2=16cos2α+4sin2α=4+12cos2α≤16,故切线长为,即切线长的最大值为16解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,圆锥内切球的半径为R,作出圆锥的轴截面如图所示.设∠OBC=θ,∵tanθ=,∴r=∵OD⊥AB,OE⊥BC,∴∠DBE+∠DOE=π,又∠AOD+∠DOE=π,∴∠AOD=∠DBE=2θ,∴AD=R tan2θ,∴l+r=AD+BD+r=AD+2r=R tan2θ+又圆锥表面积S1=πr(l+r),圆锥内切球的表面积S2=4πR2,故所求比值为=2tan2θ(1-tan2θ).令t=tan2θ>0,则=2t(1-t)=-2t2+2t,故当t=时,取得最大值。