北师大版八年级平行线的性质

4 平行线的性质1．平行线的性质公理平行线的性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单记为：两直线平行，同位角相等．如图，推理符号表示为：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.谈重点两直线平行，同位角相等①两直线平行的性质公理是推理论证后面两个性质定理的基础；②“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的，是平行线特有的性质．要避免一提同位角就以为其相等的错误；③两直线平行的性质公理与两直线平行的判定公理的条件与结论是互逆的．其中判定公理是在已知同位角相等(数量关系)的前提下推理论证两直线的平行位置关系，是由角到线的推理过程；而两直线平行的性质公理是在已知两直线平行的前提下推理论证同位角相等的数量关系，是由线到角的推理过程．【例1】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度数是________．解析：本题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等．由条件CE平分∠ACD，∠1＝25°，可得∠ACD＝2∠1＝50°.而∠2与∠ACD是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠2＝∠ACD＝50°.答案：50°点评：根据平行直线求角时，要先观察两个角之间的关系．2．平行线的性质定理(1)性质定理1两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单记为：两直线平行，同旁内角互补．符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°.(2)性质定理2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单记为：两直线平行，内错角相等．符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠4.点评：①平行线的性质定理是在平行线性质公理的基础上推理得出的；②从平行线得到角相等或互补的关系；③内错角相等或同旁内角互补的前提条件是“两条直线平行”．要避免出现一提内错角就相等或一提同旁内角就互补的错误．【例2－1】某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由邻补角的定义求得∠BAD的度数，又由AB∥CD，可求得∠ADC的度数，再求出∠FDC的度数即可．∵∠EAB＝45°，∴∠BAD＝180°－∠EAB＝180°－45°＝135°.∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝135°.∴∠FDC＝180°－∠ADC＝45°.故选B.答案：B点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等．【例2－2】如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，则∠D等于()．A．70°B．80°C．90°D．100°解析：由对顶角相等，可得∠BED＝∠AEC＝100°，由DF∥AB可知同旁内角∠DEB 和∠D互补，可求得∠D＝180°－∠BED＝80°.故选B.答案：B3．证明的步骤(1)证明的一般步骤：①理解题意；②根据题意正确画出图形；③结合图形，写出“已知”和“求证”；④分析题意，探索证明的思路；⑤依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；⑥检查表达过程是否正确、完善．(2)证明的思路：可以从求证出发向已知追溯，也可以由已知向结论探索，还可以从已知和结论两个方向同时出发，互相接近．点评：对于用文字叙述的命题的证明，要先分清命题的条件和结论，然后根据题意画出图形，写出已知和求证，证明即可．4．借助辅助线构造平行线在有平行线的条件下，证明两个角相等或求某个角，当这两个角不是两条平行线所截得的同位角、同旁内角或内错角时，往往要利用其他的角，转化为平行线所截的角．但有些题目中某些条件所对应的图形没有或不完整，这时就需要通过添加辅助线去构造某些“基本图形”，再由图形联想相关性质，从而确定方法，达到解题的目的．释疑点平行线判定与性质的应用以平行为条件的求值或证明角相等的问题中，关键要分析出哪对角相等(或互补)，再进行转化，从而求出结论中的角或完成证明．【例3】证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”．分析：本题是文字证明题．根据文字证明的一般步骤，先根据题意画出两条直线a，b 都与直线c垂直，根据已知和图形写出本题的已知和求证，已知是直线a⊥c，b⊥c，求证是a∥b.证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法，证明同位角相等就可以．然后写出证明过程．解：已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a⊥c，b⊥c.求证：a∥b.证明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定义)．∴∠1＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．点技巧文字证明题的步骤文字证明题的已知和求证要结合图形来写，因此在分析题意时，要确定应该画什么图形．书写证明过程时，要注重格式，注意推理的条理性，每一步都要有理有据．【例4】如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠C＝35°，则∠BEC＝__________.解析：从图形上看，由于没有直线截AB与CD，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”的基本图形，然后才可以运用平行线的性质．可过E点作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE＋∠BEF＝180°，∠FEC ＝∠C，所以∠BEC＝∠BEF＋∠DCE＝60°＋35°＝95°.答案：95°点评：解决本题有两条思路：一是构造与AB，CD都相交的截线；二是过E点作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，这样可将图形转化．5．平行线性质与判定的综合应用(1)平行线的性质与判定的区别平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反．性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”；判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”．具体为：在判定中，把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提．角相等或互补是已知，结论是两直线平行．判定则是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”．在性质中，两直线平行是条件，结论是角相等或互补．性质是用来说明两个角相等或互补的，即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”．释疑点平行线的性质与判定要分清在书写证明过程中，填写推理的根据或者理由时，要注意性质与判定的区别，防止填错．(2)平行线性质的应用平行线的应用包括生活中的实际应用和综合应用．实际应用要挖掘题目中隐含的平行线，利用平行线的性质来解决和角有关的计算问题．而综合应用主要是综合运用平行线的性质和判定来求角的度数或证明，要注意与图形的结合(数形结合)和角的转换．如求方位角和机器零件的角度问题就是实际应用比较多的问题．解决时，确定平行线是关键．【例5－1】如图，已知：AD∥BC，∠A＝∠C，求证：AB∥CD.分析：观察图形，发现截平行线AD，BC和AB，CD的直线有三条，应选与∠A＝∠C 有关的直线作为“第三条直线”，这样就能很快确定与它们有关的角，从而顺利解决问题．先从AD∥BC出发，选择与∠A有关的第三条直线AB(也可选择与∠C有关的第三条直线CD)．因为AD∥BC，所以∠A＝∠ABF，又因为∠A＝∠C，可得∠C＝∠ABF，∠C、∠ABF 是AB，DC被CF所截的同位角，所以AB∥CD.证明：∵AD∥BC(已知)，∴∠A＝∠ABF(两直线平行，内错角相等)．又∵∠A＝∠C(已知)，∴∠C＝∠ABF(等量代换)．∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．点评：证明两条直线平行，可以通过同位角、内错角相等或者同旁内角互补．关键是利用有关知识把已知条件转化为上述各角．【例5－2】如图1，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西__________．解析：根据图形，利用平行线的性质解答即可．如图2，∵AC∥BD，∠1＝48°，∴∠2＝∠1＝48°，根据方向角的概念可知，乙地所修公路的走向是南偏西48°.答案：48°点评：解答此类题需要正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．。

平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.321cba因为a∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).因为a∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、∠3、∠4的度数．【答案与解析】解：∵ DE∥BC，∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴∠3＝115°(等量代换)．【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．举一反三：【变式】（2015•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°．故答案为：120°2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．【答案与解析】解：过点B作直线BE∥CD．∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．又∵BF∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．求证：∠B+∠D=180°【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．【答案与解析】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵BE∥FD（已知），∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠D=180°（等量代换）．【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．举一反三【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．【答案】解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠ECD=∠1=25°，∵AB∥CD，∴∠ECD+∠2=180°，∴∠2=180°-∠ECD=155°．4.（2016春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．【答案与解析】如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．5. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．（1）求证：∠A=∠B；（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．【答案与解析】解：（1）∵BC∥AD，∴∠B=∠DOE，又∵BE∥AF，∴∠DOE=∠A，∴∠A=∠B．（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°，∴∠A=45°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．举一反三【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．类型二、平行的性质与判定综合应用6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF＝360°【巩固练习】一、选择题1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( ) A．① B．②和③ C．④ D．①和④2．（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122° B．151°C．116°D．97°3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )4．（2016•陕西一模）直线a、b、c、d的位置如图，如果∠1=100°，∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于（）A．80°B．65°C．60°D．55°5．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( )A．60° B．70° C．80° D．120°6．如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于( )A．55° B．30° C．65° D．70°二、填空题7．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= _______．8. 如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= ________度．9.如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．10．（2015•云南）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=．11．（2016春•冷水江市期末）如图，下列推理是否正确，请写出你认为是正确推理的编号．①因为AB∥DC，所以∠ABC+∠C=180°②因为∠1=∠2，所以AD∥BC③因为AD∥BC，所以∠3=∠4④因为∠A+∠ADC=180°，所以AB∥DC．12．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．三.解答题13．如图，已知AB ∥CD ，MG 、NH 分别平分∠BMN 与∠CNM ，试说明NH ∥MG?14. 如图，a ∥b ∥c ，∠1＝60°，∠2＝36°，AP 平分∠BAC ，求∠PAQ 的度数．15．（2015春•晋安）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF（1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB ，那么∠OBC：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】两直线平行−−−→←−−−性质判定角的关系. 2. 【答案】B ；【解析】∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG 平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B ．3. 【答案】B ；【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.4. 【答案】D ；【解析】∵∠1=100°，∠2=100°，∴∠1=∠2，∴直线a ∥直线b ，∴∠4=∠5，∵∠3=125°，∴∠4=∠5=180°﹣∠3=55°，故选D．5. 【答案】B【解析】注意到CD∥OE∥AB，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝30°，∠EOC＝∠B＝40°．故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°．6. 【答案】C；【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°.二、填空题7.【答案】115°；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案为：115°．8.【答案】36°；【解析】∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°．故答案为：36．9.【答案】60；【解析】由已知得：∠2＝2∠1＝60°.10．【答案】64°；【解析】由已知可得：AD∥BC，由平行的性质可得：∠D+∠C＝180°.如图，∵∠1+56°=120°，∴∠1=120°﹣56°=64°，又∵直线l1∥l2，∴∠α=∠1=64°．故答案为：64°．11. 【答案】①②④【解析】①∵AB∥DC，∴∠ABC+∠C=180°，此结论正确；②∵∠1=∠2，∴AD∥BC，此结论正确；③∵AD∥BC，∴∠1=∠2，而∠3≠∠4，此结论错误，④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥DC，此结论正确．故答案为①②④．12.【答案】15°；【解析】由图可知：∠APC＝∠BAP+∠PCD，即有45°+a＝60°-a+30°-a，解得：a＝15°.三、解答题13.【解析】证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BMN＝∠MNC(两直线平行，内错角相等)．∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知)．∴∠MNH＝12∠MNC，∠NMG＝12∠BMN(角平分线定义)．∴∠MNH＝∠NMG，∴ NH∥MG(内错角相等，两直线平行)．14.【解析】解：∵a∥b∥c，∴∠BAQ＝∠1＝60°，∠CAQ＝∠2＝36°，∠BAC＝60°+36°＝96°，又AP平分∠BAC，∠BAP＝12×96°＝48°，∴∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP＝60°-48°＝12°．15.【解析】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠C OE=∠AOC=×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．。

平行线的性质一、平行线的性质1.两条平行被第三条直线所截,同位角相等.简单说成：两直线平行,同位角相等.2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成：两直线平行,内错角相等.3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成：两直线平行,同旁内角互补.二、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_____________三、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_____________1．如图，已知∠1=∠2=∠3=62°，则∠4=（）A．62° B．118°C．128°D．38°解：∵∠1=∠3，∴直线M∥直线N，∴∠5=∠2=62°，∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣62°=118°．故选：B．2．如图，∠1+∠B=180°，∠2=45°，则∠D的度数是（）A．25° B．45° C．50° D．65°解：∵∠1+∠B=180°，∴AD∥BC，∴∠D=∠2，∵∠2=45°，∴∠D=45°，故选：B．3．如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠2=∠4解：∵∠A+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴∠2=∠4．故选D．4．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=80°，∠2=100°，∠3=85°，则∠4度数是（）A．80° B．85° C．95° D．100°解：∵∠1=80°，∠2=100°，∴∠1+∠2=180°，∴a∥b．∵∠3=85°，∴∠4=∠3=85°．故选B．5．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3=180°，∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，∴∠3=25°，∵AB∥CD，∴∠C=∠3=25°．6．已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=100°，OK平分∠DOH，求∠KOH的度数．解：∵∠1+∠2=180°，∴AB∥CD，∴∠3=∠GOD，∵∠3=100°，∴∠3=∠GOD=100°，∴∠DOH=180°﹣∠GOD=180°﹣100°=80°，∵OK平分∠DOH，∴∠KOH=∠DOH=×80°=40°．7．如图，已知四边形ABCD中，∠D=100°，AC平分∠BCD，且∠ACB=40°，∠BAC=70°．（1）AD与BC平行吗？试写出推理过程；（2）求∠DAC和∠EAD的度数．解：（1）AD∥BC，理由是：∵AC平分∠BCD，∠ACB=40°，∴∠BCD=2∠ACB=80°，∵∠D=100°，∴∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BC．（2）∵AD∥BC，∠ACB=40°，∴∠DAC=∠ACB=40°，∵∠BAC=70°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=40°+70°=110°，∴∠EAD=180°﹣∠DAB=180°﹣110°=70°．8．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度数．解：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB+∠DAC=180°，∵∠DAC=120°，∴∠ACB=60°，又∵∠ACF=20°，∴∠FCB=∠ACB﹣∠ACF=40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE=20°，∵EF∥BC，∴∠FEC=∠ECB，∴∠FEC=20°．9．已知如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．证明：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．理由：∵∠AGF=∠ABC，∴BC∥GF（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠3；又∵∠1+∠2=180°，∴∠2+∠3=180°，∴BF∥DE；∵DE⊥AC，∴BF⊥AC．基础演练1．如图，直线a、b被直线c所截，下列说法错误的是（）A．当∠1=∠2时，一定有a∥b B．当a∥b时，一定有∠1与∠2互补C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=180°D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b 解：当a∥b时，一定有∠3与∠2互补，又∵∠3=∠1，∴∠1与∠2互补，即∠1+∠2=180°，故B、C都正确；当∠1+∠2=180°时，∠3+∠2=180°，∴a∥b，故D正确；当∠1=∠2时，不一定有a∥b，故A错误，故选：A．2．下列说法错误的是（）A．内错角相等，两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．同角的补角相等D．相等的角是对顶角解：A、内错角相等，两直线平行，是平行线的判断方法之一，正确；B、两直线平行，同旁内角互补，是平行线的判断方法之一，正确；C、根据数量关系，同一个角的补角一定相等，正确；D、对顶角既有大小关系，又有位置关系，相等的角是对顶角的说法错误．故选D．3．如图，已知∠1=36°，∠2=36°，∠3=140°，则∠4的度数等于（）A．40° B．36° C．44° D．100°解：∵∠1=36°，∠2=36°，∴∠1=∠2，∴PQ∥MN，∴∠4=PNM=180°﹣∠3=40°，故选A．4．如图，已知直线a⊥c，直线b⊥c，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．20° B．25° C．50° D．65°解：∵直线a⊥c，直线b⊥c，∴a∥b，∠3=90°．∵∠1=∠4=65°，∴∠2=90°﹣65°=25°．故选B．5．如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，（1）求证；BF∥DE．（2）如果DE垂直于AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．（1）证明：∵∠AGF=∠ABC，∴BC∥GF，∴∠AFG=∠C．∵∠1+∠2=180°，∠CDE+∠2=180°，∴∠1=∠CDE．∵∠CED=180°﹣∠C﹣∠CDE，∠CFB=180°﹣∠AFD﹣∠1，∴∠CED=∠CFB，∴BF∥DE．（2）解：∵DE⊥AC，BF∥DE，∴∠AFB=∠AED=90°，∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，∴∠1=30°．∵∠AFB=∠AFG+∠1=90°，∴∠AFG=60°．6．已知△ABC中，∠B=70°，CD平分∠ACB，∠2=∠3，求∠1的度数．解：CD平分∠ACB，∴∠3=∠DCB（角平分线定义）．∵∠2=∠3（已知），∴∠2=∠DCB（等量代换）．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠1=∠B=70°（两直线平行，同位角相等）．巩固提高7．如图，已知∠1，∠2互为补角，且∠3=∠B，（1）求证：∠AFE=∠ACB；（2）若CE平分∠ACB，且∠1=80°，∠3=45°，求∠AFE的度数．（1）证明：∵∠1+∠FDE=180°，∠1，∠2互为补角，∴∠2=∠FDE，∴DF∥AB，∴∠3=∠AEF，∵∠3=∠B，∴∠B=∠AEF，∴FE∥BC，∴∠AFE=∠ACB；（2）解：∵∠1=80°，∠3=45°，∴∠FED=80°﹣45°=35°，∵EF∥BC，∴∠BCE=∠FED=35°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCE=70°，∴∠AFE=∠ACB=70°．8．如图∠AED=∠C，∠DEF=∠B，试说明∠1+∠2=180°．解：∵∠AED=∠C（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠DEF=∠B（已知）∴∠ADE=∠DEF（等量代换）∴EF∥AB（两直线平行，内错角相等）∴∠1=∠ADF（两直线平行，同位角相等）∵∠2+∠ADF=180°（邻补角的意义）∴∠1+∠2=180°（等量代换）9．已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E为BC上一点，过E点作EF⊥AC，垂足为F，过点D 作DH∥BC交AB于点H．（1）请你补全图形．（2）求证：∠BDH=∠CEF．解：（1）如图，（2）证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠CEF=∠CBD，∵DH∥BC，∴∠BDH=∠CBD，∴∠BDH=∠CEF．1．如图，∠1=50°，则∠2=（）A．100°B．120°C．130°D．140°解：如图，∵∠3=∠4=90°，∴a∥b，∴∠5=∠1=50°，∵∠5+∠2=180°，∴∠2=180°﹣50°=130°．故选C．2．如图，如果∠1+∠2=180°，那么（）A．∠2+∠4=180°B．∠3+∠4=180°C．∠3=∠4 D．∠1=∠3解：∵∠1+∠2=180°，∴AB∥CD，∴∠3=∠4．故选C．3．平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上都不对解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥b，故选B．4．如图，已知∠1=120°，∠2=60°，∠4=125°，则∠3的度数为（）A．120°B．55° C．60° D．125°解：如图，∵∠5=∠2=60°，∴∠5+∠1=60°+120°=180°，∴a∥b，∴∠3=∠4=125°，故选D．5．如图所示，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M．试探索∠AMG 与∠3的关系，并说明理由．解：∠AMG=∠3．理由如下：∵∠2=∠3，∴BC∥DE，∵∠4=∠5，∴DE∥FG，∴BC∥FG，∴∠1=∠AMG，而∠1=∠3，∴∠AMG=∠3．6．如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．（1）求证：FE∥OC；（2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠C=∠A，∵∠1=∠A，∴∠1=∠C，∴FE∥OC；（2）解：∵FE∥OC，∴∠FOC+∠OFE=180°，∵∠FOC+∠BOC=180°，∠DFE+∠OFE=180°，∴∠BOC+∠DFE=180°，∵∠BOC﹣∠DFE=20°，∴∠BOC+∠DFE=180°，解得：∠DFE=80°，∴∠OFE=100°．1．以下判定中，正确的个数有（）（1）若a∥b，b∥c，则a∥c（2）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c（3）若同旁内角相等，则两直线平行（4）若同位角相等，则两直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个解：（1）若a∥b，b∥c，则根据平行公理可得a∥c，故正确；（2）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c不一定成立，故错误；（3）若同旁内角相等，则两直线不一定平行，故错误；（4）若同位角相等，则两直线平行，故正确．故选：B．2．如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（）A．AB∥CD B．∠3=∠4 C．∠B=∠D D．AD∥BC解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，∵∠3与∠4不一定相等，∴AB与CD不一定平行，且∠D与∠B不一定相等．故选：D．3．已知∠1=60°，∠2=120°，∠3=67°，则∠4=（）A．120°B．125°C．67° D．60°解：如图，由对顶角相等得，∠5=∠1=60°，∵∠5+∠2=60°+120°=180°，∴a∥b，∴∠4=∠3=67°．故选C．4．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（）A．当a∥b时，一定有∠1=∠3 B．当∠1=∠3时，一定有a∥bC．当a∥b时，一定有∠1+∠2=180°D．当∠2+∠3=180°时，一定有a∥b解：A、∴a∥b，∴∠1=∠3，符合平行线的性质，故本选项正确；B、∵∠1=∠3，∴a∥b，符合平行线的判定定理，故本选项正确；C、∵a∥b，∴∠1=∠3，∵∠2+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，故本选项正确；D、无论a与b位置关系如何，∠2+∠3=180°不变，故本选项错误．故选D．5．如图，已知BE平分∠ABC，∠CBE=25°，∠BED=25°，∠C=30°，求∠ADE与∠BEC的度数．解：∵BE平分∠ABC，∠CBE=25°，∴∠ABC=2∠CBE=50°，∵∠C=30°，∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=125°，∵∠CBE=25°，∠BED=25°，∴∠CBE=∠BED，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=50°．6．如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C．求证：（1）AB∥CD（2）∠AEC=∠3．证明：（1）∵∠1=∠2（已知），∠1=∠4（对顶角相等），∴∠2=∠4（等量替换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠3=∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B=∠C（已知），∴∠3=∠B（等量替换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．（2）∵AB∥CD（已知），∴∠AEC=∠C（两直线平行，内错角相等）．∵∠B=∠C=∠3（已知），∴∠AEC=∠3（等量替换）．7．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1=∠2，∠3=∠4，则∠A=∠F，请说明理由．解：∵∠1=∠2（已知）∠2=∠DGF（对顶角相等），∴∠1=∠DGF，∴BD∥CE，（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠C=180°，（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠3=∠4（已知）∴∠4+∠C=180°∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）．8．如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．（2）若∠C=65°，求∠DEC的度数．解：（1）DE∥BC，理由是：∵∠1+∠2=180°，∴AB∥EF，∴∠ADE=∠3，∵∠B=∠3，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴∠C+∠DEC=180°，∵∠C=65°，∴∠DEC=115°．9．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1=∠2，∠3=∠4，则∠A=∠F，请说明理由．解：∵∠1=∠2，∠2=∠DGF，∴∠1=∠DGF，∴BD∥CE，∴∠3+∠C=180°．又∵∠3=∠4，∴∠4+∠C=180°，∴DF∥AC，∴∠A=∠F．。

知识点总结平行线的性质1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。

2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。

两个角的数量关系两直线的位置关系：垂直于同一直线的两条直线互相平行。

平行线间的距离，处处相等。

如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行线间的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.★要点提示★1.由性质1推导性质2，进一步导出性质3，再运用平行线的知识得出平行线的传递性，体现了几何演绎的思想和方法，要逐步领会和掌握.2.几何学习要注意“看图说话”、“用图说话”，要逐步学会文字语言、图形语言、符号语言的转换和各自功效.如平行线的传递性，可用符号语言表示为：对于直线a、b、c，如果a∥b，b∥c，则a∥c.3.有了平行线间的距离，至此就学了几何中的三种距离：两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离.两点间的距离是两点间线段的长度，后两种都可转化为两点间的距离.两平行线间的距离是一条直线上任意点到另一条直线的距离（点到直线的距离），而点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，即点到垂足（点到点）的距离.复习提纲1. 平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补。

几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）2.两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行。