【附20套高考模拟试题】2020届河南省洛阳市汝阳县实验高中高考数学模拟试卷含答案

数学试卷一、选择题 1.设z C∈，则0z z +=是 z 为纯虚数的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.已知集合2{|2,R}A x y x x ==-∈,{|13,Z}B x x x =-≤≤∈，则集合A B⋂中元素的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13.函数ln ()ex xf x =的大致图像是( ) A ．B ．C ．D ．4.已知向量,a b r r 满足1a =r，2b =r ，a b -=r r ，则a r 与b r 的夹角为( )A ．π3 B ．π6 C ．2π3 D ．π45.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是( ) A ．212x y =-B ．221x y =-C ．21216x y =- D ．222x y =-6.在ABC △中，π,34ABC AB BC ∠===,则sin BAC ∠=( )A D 7.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“100?S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”，且要求输出的结果不变，则正整数0n 的取值为( )A ．4B ．5C ．6D ．78.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，现从中任选两门，其中“礼”和“书”至少有一门被选出来的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.459.在三棱锥P ABC -中,3,8,PA PB BC AC AB BC ====⊥，平面APB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为( )A ．2 B ．2C ．2D ．210.若函数2()cos 2sin cos 2f x x x x x ωωωω=++在区间3π3π[,]22-上单调递增，则正数ω的最大值为( )A ．18 B ．16C ．14 D ． 1311.已知定义在R 的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =．函数|1|()e (13)x g x x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．3B ．4C ．5D ．612.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]126α∈，则该双曲线离心率e 的取值范围为( )A ．1]B ．2C ．2+D ．1]13.已知集合2{|230}A x x x =--≥，{|22}B x x =-≤<，则A B =I ( ) A.[2,1]-- B.[1,2)- C.[1,1]- D.[1,2)14.若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =( ) A.12i + B.12i - C.12i -+ D.12i--15.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为( ) A.3 B.-3 C.1 D.-116.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(2,3) ，则该双曲线的离心率为( )A.12 B.2 C.7 D.7217.某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的体积(单位: 3cm )是( )A. π12+ B.π32+ C.3π12+ D.3π32+ 18.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A.12种B.18种C.24种D.36种19.在如图所示的流程图中，若输入,,a b c 的值分别为2，4，5，则输出的x =( )A.1B.2C.lg 2D.1020.将函数()2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π12个单位得到函数()g x 的图象,在()g x 图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴为( ) A.π24x =-B.π4x =C.5π24x =D. 12πx =21.设12,F F 是椭圆:C 2213x y m+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足o 12120F PF ∠=，则m 的取值范围是( )A.(0,1][12,)+∞UB.3(0,])2+∞UC.3(0,])4+∞UD.3(0,][12,)4+∞U22.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是( ) A.716 B. 916 C. 34 D. 1423.在三棱柱111C B A ABC -中，1AB AC AA ===2π3BAC ∠=，1AA ⊥平面ABC ，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40πB. C. 40π3D.324.已知函数1()()e xf x x a =-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( ) A.21(,0)e -B.2(e ,0)-C.21(,+)e-∞ D.2(e ,)-+∞ 二、填空题 25.若直线52y x =与曲线ln(21)y mx x =-+相切于点(0,0)O ，则m =___________ 26.已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数z ax y=-+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为___________27.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________28.圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180︒的扇形.正四棱柱''''ABCD A B C D -的上底面的顶点',',','A B C D 均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为__________29.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x +的最小值为___________.30.在ABC △中，M 是BC 的中点，3,8AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r______.31.已知6(31)()x x a +-的展开式中5x 的系数为3，则实数a =_________.32.在ABC △中,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取最大值时，ABC △的周长为___________. 三、解答题33.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数） 1.若1a -,212a ，4a 成等差数列，求p 的值。

2020年05月10日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.设集合{}2,0M y y x ==≥，{N x y ==，则M N ⋂=( ). A.()(){}2,2,2,2- B.{}24x x -<< C.{}24x x -≤≤D.{}22.函数()f x 的定义域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭,则()lg 1f x +的定义域为( )A.(0,)+∞B.1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,100100⎛⎫ ⎪⎝⎭D.⎫⎪⎪⎝⎭3.已知命题:p “0R x ∃∈,得200220x ax a +++≤”,命题p 是假命题,实数a 的取值范围是( )A.[]1,2-B.()1,2-C.()2,1-D.(]0,24.已知函数1()e e x xf x =-,中e 自然对数的底数.则关于x 不等式(21)(1)0f x f x -+-->的解集为（ ）A.4,(2,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B.(2,)∞C.4,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.(,2)-∞5.设等边三角形ABC △的边长为1,面内一点M 满足1123AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，向量AM u u u u r 与AB u u u r 夹角的余弦值为（ ）6.在数列{}n a 中，若12a =，()*121nn n a a n a +=∈+N ，则5a =（ ） A ．417B ．317C ．217D ．5177.若实数,x y 满足不等式组1010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数24x y z x -+=-的最大值是( )A.1B.14-C.54-D.548.已知向量(sin a θ=r ，()1,cos b θ=r,a b -r r 的最大值为（ ）A.2C.3D.59.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.23B.13C.43D.8310.已知函数31()21e ex x f x x x =-++-，其中e 自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ） A.31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.已知函数()πsin 432πsin 23x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线π12x =对称，则()g x 的图象的一个对称中心可以为（ ） A.π,06⎛⎫⎪⎝⎭B.π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭12.设函数4310()log 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，，,若关于x 的方程2()(2)()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（ ）A.(22)--B.32]2， C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.2,)+∞二、填空题13.设(sin cos sin cos f αααα+=）,(cos30)f o 的值为______． 14.已知0x >0y >，且3x y xy +=,23t t x y +<+恒成立,实数t 的取值范围是________. 15.已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数,[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3其外接球的体积为________. 三、解答题17.已知R m ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存在[]1,1x ∈-，使得1()12x m ≤-成立.(1)若p 为直命题,m 的取值范围；(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围.18.已知数列{}n a 的前项和为n S ,2*1(1)(2,N )n n n S nS n n n n --=+-≥≥. (1).求数列{}n a 的前n 项和为n S ； (2).令2nn na b =,求数列{}n b 的前项和n T .19.已知,cos )44x x m =u r ，(sin ,cos )44x x n =r ，设函数()f x m n =⋅u r r．(1).求函数()f x 的单调增区间；(2).设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且,,a b c 成等比数列，求()f B 的取值范围． 20.如图，四边形ABCD 为菱形，ACEF 为平行四边形，且平ACEF ⊥平面ABCD ,设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点.(1).证明：BD CH ⊥(2).若2AB BD ==,AE =CH =F BDC -的体积.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b=+=>>的右焦点为F ,长半轴与短半轴的比值为2.(1).求椭圆C 的方程;(2).设经过点(1,0)A 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,M N .若点(0,1)B 在以线段MN 为直径的圆上,求直线l 的方程.22.已知函数2()ln (R)f x x ax a =+∈.(1).若()y f x =的图像在2x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值； (2).若函数()()1g x f x x =--在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：C解析：{}{}2,0|2M y y x y y ==≥=≥-，{{}|4N x y x x ==≤，故{}|24M N x x ⋂=-≤≤，故选C. 2.答案：D解析：因为函数()f x 的定义域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭，所以()lg 1f x +中1lg 132x <+< 即1lg 22x -<<100x <<，所以()lg 1f x +的定义域为⎫⎪⎪⎝⎭， 故选D 项. 3.答案：B解析：若命题p 是假命题，,则“不存在0R x ∈,得200220x ax a +++≤”成立,即“R x ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立,所以()()()()()22242424120a a a a a a ∆=-+=--=+-<，解得12a -<<， 所以实数a 的取值范围是()1,2-， 故选：B 4.答案：B解析：函数()1e ex x f x =-，其中e 是自然对数的底数，由指数函数的性质可得()f x 是递增函数， ()()11e e e ex x x x f x f x ---=-=-=-Q ，()f x ∴是奇函数，那么不等式()()2110f x f x -+-->，等价于()()()2111f x f x f x ->---=+，等价于211x x ->+，解得2x >，等式()()2110f x f x -+-->的解集为()2,∞，故选B. 5.答案：D解析：2222211111119()()()()222232336AM AM AB AC AB AC AB AC ==+=++⨯⨯⨯⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，AM =u u u u r ，对1123AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r 两边用AB u u u r 点乘，2112,233AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 与AB u u ur夹角的余弦值为AM AB AM AB⋅=u u u u r u u u ru u u u r u u u r 故选D. 6.答案：C 解析：∵121n n n a a a +=+，∴1211n n n a a a ++=，即1112n na a +-=， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为2的等差数列，∴()11143122n n n a a -=+-⨯=，即243n a n =-，∴5217a =．故选C ． 7.答案：B解析：实数,x y 满足不等式组1010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图：目标函数26144x y y z x x -+-==---；64y x --的几何意义是可行域内的点与(4,6)P 连线的斜率， 目标函数24x y z x -+=-的最大值转化为64y x --的最小值， 由图形可知最优解为(0,1)A ，所以目标函数24x y z x -+=-的最大值是14-，故选B ． 8.答案：B解析：由已知可得())222sin 1cos a b θθ-=-+r r 54sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π3θ≤，所以π2π033θ≤+≤，所以当π3θ=-时，2a b-r r 的最大值为505-=，故a b -r r.选B 9.答案：A解析：由三视图可知：该几何体为三棱锥P ABC -（如图）过点P 作PD ⊥底面ABC ，垂足D 在AC 的延长线上， 且BD AD ⊥，1AC CD ==，2BD =，2PD =，∴该几何体的体积112122323V =⨯⨯⨯⨯=.故选A . 10.答案：C解析：令31()()12e e xxg x f x x x =-=-+-，R x ∈． 则()()g x g x -=-，()g x ∴在R 为奇函数． 21()32e 0220e x xg x x '=-++≥+-=， ∴函数()g x 在R 上单调递增．2(1)(2)2f a f a -+≤，化为：2(1)1(2)10f a f a --+-≤， 即2(1)(2)0g a g a -+≤，化为：2(2)(1)(1)g a g a g a ≤--=-， 221a a ∴≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤． ∴实数a 的取值范围是1[1,]2-．11.答案：C解析：函数()πsin 432πsin 23x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2πsin 22π32πsin 23x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==⎛⎫+ ⎪⎝⎭2πsin 2232π2cos 22π3sin 23x x x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭ 因为()f x 图像与()g x 图像关于直线π12x =对称，所以()ππ2π2cos 2663g x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2cos π22cos 2x x =--=所以()g x 的对称中心横坐标满足：π2π,2x k k =+∈Z ，即ππ,24k x k =+∈Z所以当0k =时，对称中心坐标为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 12.答案：B解析：作出函数()431,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如图，令()f x t =，则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，要使关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=，恰好有六个不同的实数根，则方程()()()2230f x a f x -++=在(]1,2内有两个不同实数根，()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪∴⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32,2a <≤∴实数a的取值范围是32,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B. 13.答案：18-解析：∵(sin cos sin cos f αααα+=），令sin cos ()t t αα⎡+=∈⎣，平方后化简可得2t 1sin cos 2αα-=， 再由(sin cos sin cos f αααα+=），得2t 12f t -=（），∴()231cos30114(cos30228f -︒-︒===-）． 故答案为18-．14.答案：()4,3-解析：0x >Q ，0y >，且3x y xy +=，在等式3x y xy +=两边同时除以xy 得311x y+=， 由基本不等式得()319336612x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y =时，等号成立，所以，3x y +的最小值为12，由于不等式23t t x y +<+恒成立，则()2min 312t t x y +<+=，即2120t t +-<， 解得43t -<<，因此，实数t 的取值范围是()4,3-，故答案为：()4,3-.15.答案：112m ≤<解析：因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =， 所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m <. 故m的取值范围是112m < 16.答案：32π3解析：如图所示：设球心为O ，ABC △所在圆面的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ；因为BA BC =π2ABC ∠=，所以ABC △是等腰直角三角形，所以1O 是AC 中点；所以当三棱锥体积最大时，P为射线1O O 与球的交点，所以113p ABC ABC V PO S -=⋅⋅△；因为132ABC S =△，设球的半径为R ，所以11PO PO OO R R =+=(1333R ⋅⋅=，解得：2R =，所以球的体积为：3432ππ33R =. 17.答案：(1)对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立，当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知当0x =时，()2y log 12x =+-的最小值为2-， 223m m ∴-≥-，解得12m ≤≤.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.(2)存在[]1,1x ∈-，使得1()12x m ≤-成立，max 1[()1]12x m ∴≤-=. 命题q 为真时，1m ≤，p Q 且q 为假，p 或q 为真，p ∴，q 中一个是真命题，一个是假命题. 当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩解得12m <≤；当p 假q 真时，121m m m <>⎧⎨≤⎩或，即1m <.综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞U . 解析：18.答案：(1).由21(1)n n n S nS n n --=+-,得111n n S S n n --=-， 又13S n =，所以数列1{}Sn 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以13(1)2S n n n=+-=+，即22n S n n =+.(2).当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+， 又1a 也符合上式，所以*21(N )n a n n =+∈ 所以212n nn b +=， 所以123357212222n nn T -=++++L ，① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L ，② ①-②，得12341132222212222222n n n n T ++=+++++-L 1123113111121222222n n n -++=+++++-L 152522n n ++=- 故52522n nn T +=-. 解析：19.答案：(1).()1,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭v v ，令πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，则4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈， 所以函数(f x ）的单调递增区间为4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． (2).由2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以π03B <≤，πππ6263B <+≤，()1f B <，综上，()f B 的取值范围为⎛ ⎝⎦． 解析：20.答案：(1).证明：Q 四边形ABCD 为菱形， BD AC ∴⊥，又Q 面ACFE ⋂面ABCD AC =，BD ∴⊂平面ABCD ，Q 面ABCD ⊥面ACFE ，BD ∴⊥面ACFE ，CH ⊂Q 面ACFE ，BD CH ∴⊥．(2).解：在FCG △中，CG CF ==CH =CH GF ⊥，120GCF ∴∠=︒， 3GF =，BD ⊥Q 面ACFE ，GF ⊂面ACFE ，BD GF ∴⊥，11·23322BDF S BD GF ∆==⨯⨯=， 又CH BD ⊥Q ，CH GF ⊥，BD GF G ∴⋂=，BD ∴，GF ⊂平面BDF ，CH ∴⊥平面BDF ，11··333F BDC C BDF BDF V V S CH --∆∴===⨯解析：21.答案：(1).由题可知c =2a b=,222a b c =+,∴2a =,1b =. ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. (2).易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时,不合题意. 当直线l 的斜率存在且不为0时,设直线l 的方程1x my =+, 11(,)M x y ,22(,)N x y .联立,得22144x my x y =+⎧⎨+=⎩,消去x 可得22(4)230m y my ++-=. 216480m ∆=+>,12224m y y m -+=+,12234y y m -=+. ∵点B 在以MN 为直径的圆上,∴0BM BN ⋅=u u u u r u u u r .∵211221212(1,1)(1,1)(1)(1)()20BM BN my y my y m y y m y y ⋅=+-⋅+-=++-++=u u u u r u u u r , ∴22232(1)(1)2044m m m m m --++-+=++, 整理,得23250m m --=,解得1m =-或53m =. ∴直线l 的方程为10x y +-=或3530x y --=.解析：22.答案：(1).因为()2ln f x x ax =+，所以()()1=20f x ax x x+>'． 由条件可得()12402f a '=+=，解之得18a =-，所以()21ln 8f x x x =-， ()114f x x x -'== ()()()2204x x x x --+>． 令()0f x '=可得2x =或2x =-（舍去）． 当02x <<时， ()0f x '>；当2x >时， ()0f x '<， 所以()f x 在()0,2内单调递增，在()2,+∞内单调递减， 故()f x 有极大值()12ln22f =-，无极小值； (2).()2ln 1g x x ax x =+-+，则()121g x ax x=+-' ()2210ax x x x -+=>． 设()221h x ax x =-+，①当0a =时， ()1x g x x-=-'，当01x <<时， ()0g x '>，当1x >时， ()0g x '<，所以()g x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减，不满足条件； ②当0a <时， ()221h x ax x =-+是开口向下的抛物线，方程2210ax x -+=有两个实根，设较大实根为0x ．当0x x >时，有()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞内单调递减，故不符合条件；③当0a >时，由()0g x '≥可得()2210h x ax x =-+≥在()0,+∞内恒成立，故只需()0010 400h a a ≥⎧⎪⎪⎪⎨--≤∆>>⎪⎪⎪⎩或0∆≤，即1010 41800a a a ⎧⎪⎪≥≤->>⎪⎨⎪⎪⎪⎩或180 0a a -≤>⎧⎨⎩，解之得18a ≥． 综上可知，实数a 的取值范围是1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 解析：。

数学试卷一、选择题1、设全集是实数集,集合, ,则为( )A. B. C. D.2、设复数满足( 为虚数单位),则的实部是( )A.1B.2C.3D.43、等差数列中,如果, ,则数列前9项的和为( )A.297B.144C.99D.664、下列命题中正确命题的个数是( )(1)命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;(2)设回归直线方程中, 增加1个单位时, 一定增加2个单位;(3)若为假命题,则均为假命题;(4)对命题,使得,则,均有;A.1B.2C.3D.45.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为( )A.B.C.D.6、一个算法的程序框图如图,则其输出结果是( )A.0B. C.D.7.若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值,则ω的取值范围是( )A. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦ B. 51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 35,44⎛⎤ ⎥⎝⎦8、已知抛物线的准线与双曲线两条渐近线分别交于A,B 两点,且,则双曲线的离心率e 为( )A.2B.C.D.9、已知 且,则下面结论正确的是( )A.B. C.D. 10.已知ABC ∆的重心为G ,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 303aGA bGB ++=u u u r u u u r u u ur ,则角A 为( )A.6π B. 4πC. 3πD. 2π11、已知函数,若 互不相等,且 ,则的取值范围是 ( )A. B. C. D.12、动圆C 经过点 ,并且与直线 相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C 的面积( )A.有最大值B.有最小值C.有最小值D.有最小值二、填空题13、设实数x,y 满足约束条件 ,若目标函数 ( )的最大值为8,则的最小值为 . 14、设 ,, ,则 的大小关系是 .15、若点在直线上,则的值等于 .16.在四面体S ABC -中, ,2AB BC AB BC SA SC ⊥====,二面角S AC B --的余弦值是3-,则该四面体的外接球的表面积是__________ 三、解答题17.在等差数列{}n a 中, 13a =,其前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的各项均为正数, 11b =,公比为q ,且2212b S +=,22S q b =. (1).求n a 与n b ; (2) 证明：1211123n S S S +++<L . 18.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动。

2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2}2.已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C ．D．23.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.4 5月9.685.610.2125.6 6月8.631.78.442.9 7月953.68.447.7 8月9.93910.149.5 9月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61﹣﹣12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.61382月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6.圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97.函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8.正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9.已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10.设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（共4小题）13.平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14.若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣．15.已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16.已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为≤﹣．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18.如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19.过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥P A1．20.设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y ≤1.04）≈0.85．22.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23.设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．【知识点】交集及其运算2.【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z﹣1|．【解答】解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．【知识点】复数求模3.【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．【解答】解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．【知识点】进行简单的合情推理4.【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．【知识点】等差数列与等比数列的综合、等比数列的通项公式5.【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．【解答】解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．【知识点】古典概型及其概率计算公式6.【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．【知识点】直线与圆的位置关系7.【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．【知识点】函数图象的作法8.【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．【解答】解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．【知识点】由三视图求面积、体积9.【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．【解答】解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．【知识点】双曲线的简单性质10.【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，【解答】解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞c＞b．故选：B．【知识点】不等关系与不等式、奇偶函数图象的对称性11.【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用12.【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．【解答】解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．【知识点】数列与不等式的综合、数列递推式二、填空题（共4小题）13.【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．【解答】解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律14.【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．【解答】解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．【知识点】简单线性规划15.【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；【解答】解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．【知识点】椭圆的简单性质16.【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．【解答】解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．【知识点】函数恒成立问题三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．【解答】解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．【知识点】余弦定理18.【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．【知识点】直线与平面所成的角、平面与平面垂直的判定19.【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥P A1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥P A1．【知识点】抛物线的简单性质20.【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．【解答】解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值21.【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．【解答】解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义22.【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．【解答】解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a＜3．【知识点】函数图象的作法、不等式恒成立的问题。

2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2−1≥0}，B ={x|0<x <4}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. [0,4)C. [1,4)D. (4,+∞)2. 已知直线l 1：xsinα+y −1=0，直线l 2：x −2ycosα+1=0，若l 1⊥l 2，则tanα=( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知复数z 满足|z|=2，则|z +3−4i|的最小值是( )A. 5B. 2C. 7D. 34. 已知命题p ：∀x ≥0，e x ≥1或sinx ≤1，则﹁p 为( )A. ョx <0，e x <1且sinx >1B. ョx <0，e x ≥1或sinx ≤1C. ョx ≥0，e x <或sinx >1D. ョx ≥0，e x <1且sinx >15. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18,S 3−a 1=34，则S 5=( )A. 3132B. 3116C. 318D. 3146. 有两条不同的直线m 、n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是( )A. m ⊥α，n//β，且α//β，则m ⊥nB. m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m//nC. m//α，m ⊥α，且α⊥β，则m//nD. m//α，n//β，且α//β，则m//n7. 已知f(x −1)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，下列说法正确的是( )A. f(21x)>f((18)2)>f(log 2(18))B. f((18)2)>f(21x)>f(log 2(18))C. f(21x )>f(log 2(18))>f((18)2) D. f((18)2)>f(log 2(18))>f(21x ) 8. 已知O 是△ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2且∠BAC =60˚，则△OBC 的面积为( ) A. √33B. √3C. √32D. 239. 若直线x −y +2=0与圆O:(x −a )2+y 2=2相切，则a =( )A. 0B. −4C. 2D. 0或−410.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为()A. 3π4B. π4C. 0D. −π411.已知抛物线y2=4x的准线与x轴的交点为A，焦点为F，l是过点A且倾斜角为π3的直线，则点F到直线l的距离等于()A. 1B. √3C. 2D. 2√312.设函数f(x)为定义域为R的奇函数，且f(x)=f(2−x)，当x∈[0,1]时，f(x)=sinx，则函数g(x)=|cos(πx)|−f(x)在区间[−3,5]上的所有零点的和为()A. 10B. 8C. 16D. 20二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=1，b⃗ =(1,√3)，(b⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为______．14.设实数x，y满足{x−3y+10≤0x+2≥0x+2y−5≤0，则z=yx的取值范围为________．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若∠PF1F2=30°，则该双曲线的离心率为______．16.数列{a n}前n项和S n=n2+n+1，则a n=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都是2，O是AC与BD的交点，A1O⊥AB，A1O⊥BC．(Ⅰ)证明：BD⊥平面A1CO；(Ⅱ)若BD=2，求点C到平面OBB1的距离．18.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：零件的个数x(个)2345加工的时间y(ℎ) 2.534 4.5(â=y−−b̂x−,b̂=∑x ini=1y i−nx−y−∑x i2ni=1−n(x−)2)(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足cosAcosB +ab=2cb，且b=4．(1)求角B；(2)求△ABC周长的最大值．20.已知点Q是圆M：(x+√5)2+y2=36上的动点，点N(√5,0)，若线段QN的垂直平分线MQ于点P．(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程(Ⅱ)若A是轨迹E的左顶点，过点D(−3,8)的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．21.已知函数f(x)=(x−2)e x．(1)求函数f(x)的最小值；,1)，都有x−lnx+a>f(x)，求证a>−4．(2)若∀x∈(1222.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为{x=2+2cosαy=−1+2sinα(α为参数)，直线l的极坐标方程为ρ=√3√3sinθ+cosθ．(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C的交点分别为A，B，点P(0,1)，求1|PA|+1|PB|的值．23.设a，b，c∈R+，求证：a5+b5+c5≥a3bc+b3ca+c3ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−1≥0}={x|x≤−1或x≥1}，B={x|0<x<4}，∴A∩B=[1,4)．故选：C．本题考查集合的交集，是基础题．求出集合A，再根据交集的定义求解即可．2.答案：B解析：本题考查了直线的一般式方程、两条直线垂直的性质，由题意得，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，根据l1⊥l2，即可得结果．解：由题意得，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，因为l1⊥l2，所以，即，故选B．3.答案：D解析：本题考查复数的模，复数z对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆上，|z+3−4i|表示点z到点(−3,4)的距离，即可求出|z+3−4i|的最小值．解：复数z对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆上，|z+3−4i|表示点Z到点(−3,4)的距离，∴|z+3−4i|的最小值为√(−3−0)2+(4−0)2−2=5−2=3．故选D．4.答案：D解析：本题考查的知识点是全称命题的否定，属于基础题．根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．解：把全称改为特称，再否定结论，所以命题p：∀x≥0，e x≥1或sinx≤1，则￢p为∃x≥0，e x<1且sinx>1，故选D.5.答案：B解析：解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a4=18,S3−a1=34，∴{a1q3=18a1(1−q3)1−q−a1=34，解得a1=1，q=12，∴S5=a1(1−q5)1−q =1−1321−12=3116．故选：B．利用正项等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出a1=1，q=12，由此能求出S5的值．本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：A解析：本题考查空间中直线、平面的位置关系，是基础题．逐个选项判断即可．解：对于A ，由m ⊥α，n//β，且α//β得m ⊥n ，故正确； 对于B ，由m ⊥α,n ⊥β,α⊥β得m ⊥n 故错误；对于C ，由m//α，n ⊥β，且α⊥β，得m//n 或m,n 相交或异面，故错误； 对于D ，由m//α，n//β，且α//β得m,n 得关系可以垂直，相交，平行，故错误． 故选A7.答案：C解析：解：∵f(x −1)是偶函数， ∴f(−x −1)=f(x −1)， ∴f(−x)=f(x −2)， ∴f(log 218)=f(−3)=f(1)，∵x >0，21x >1>164，f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f(21x)>f(log 2(18))>f((18)2)．故选：C ．利用f(x −1)是偶函数，可得f(−x)=f(x −2)，f(log 218)=f(−3)=f(1)，根据x >0，21x >1>164，f(x)在(0,+∞)上单调递增，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.答案：A解析：本题考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，特别注意已知O 是△ABC 内部一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ⇔O 为三角形△ABC 的重心，以及灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．据向量的平行四边形法则判断出点O 为三角形的重心，据重心的性质得出△OBC 的面积与△ABC 面积的关系，利用向量的数量积公式，求出三角形两邻边的乘积，据三角形的面积公式求出面积．此题是个中档题． 解：∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴O 是△ABC 的重心， 是S △OBC =13S △ABC ，。

数学试卷一、选择题1.不等式110x->成立的充分不必要条件是( ) A.1x > B.1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -<<或1x >2.已知数列{}n a 中，11a =，2112a =+，31123a =++，411234a =+++，L ，11234n a n =+++++L ，L ，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．1n n + B ．1n n + C. 221n n + D ．21n n +3.若函数()lg(f x x mx =为偶函数，则m =（ ）A.-1B. 1C.-1或1D.4.若复数z 满足1z =,则34i z --的最小值为( )A.1B.2C.3D.4 5.已知点D 是ABC △所在平面内一点，且满足4AD DB =-u u u r u u u r ，若(,R)CD xCA yCB x y =+∈u u u r u u u r u u u r ，则x y -=（ ）A. 43-B.1C. 53-D. 536.已知πsin()32α-=，则πcos()3α+=（ ）A. 12 D. 12- 7.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 10sin ac B C =，7a b +=，且cos 25C =，c =（ ）A ．4B ．5 C. D ．78.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ,那么在空白框中填入及最后输出的n 值分别是( )A. 1n n =+和6B. 2n n =+和6C. 1n n =+和8D. 2n n =+和89.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积为( )A. 8π3B. 16π3C. 48π3D. 64π310.双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 作一条直线与两条渐近线分别相交于,A B 两点，若112F B F A =u u u r u u u r ，122F F OB =，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．311.抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F 已知点,A B 为抛物线E 上的两个动点，且满足2π3AFB ∠=．过弦AB 的中点M 作抛物线E 准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB 的最大值为( )AB ．1 CD ．212.已知函数3,21()e ,20x x a x x f x a x x ⎧--≤-⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21[,)33-- B ．221[,)3e -- C ．211(,)e e -- D ．11(,)e 3-- 二、填空题13.已知5250125(31).......x a a x a x a x -=++++，则135a a a ++= .14.设,x y 满足约束条件001030x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩，则2z x y =-的取值范围为 . 15.已知函数()e (2)x f x x a =+的极小值点为12x =-.则()f x 的图象上的点到直线30x y --=的最短距离为_______________.16.如图,点P 是正方形1111ABCD A B C D -外的一点,过点P 作直线,l 记直线l 与直线1,AC BC 的夹角分别为1θ，2θ，若121sin(50)cos(140)=2θθ-︒=︒-，则满足条件的直线l 有 条。

数学试卷一、选择题1、复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、已知集合，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3、已知随机变量的值如下表所示,如果与线性相关且回归直线方程为,则实数( )A. B. C. D.4、若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,则的值为( )A. B. C. D.5、若实数满足不等式组为常数),且的最大值为12,则实数( )A. B. C. D.6、执行右边的程序框图,如果输入,那么输出的的值为( )A.3B.4C.5D.67、如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的表面积为A、B、C、D、<8、设、是不同的直线, 、是不同的平面,则下列命题:①若,则;②若,则;③若,则;④若,则.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.39、等比数列 满足 ,且,则当 时,( )A.B.C. D.10.定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-，将函数sin ()cos x f x x=的图象向左平移(0)n n >个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( ) A.6πB.3π C.65π D.23π 11、抛物线 的焦点为 ， 在抛物线上，且 ，弦的中点 在其准线上的射影为 ，则 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、设函数,其中 表示不超过 的最大整数,如 ,.若直线与函数的图象恰好有3个不同的交点,则实数 的取值范围是 ( )A. B. C. D.二、填空题13.已知向量)a =r,()0,1b =-r,(c k =r ,若()2//a b c -r r r,则实数k =__________.14、已知函数,则函数 的图象在点 处的切线方程是 . 15、在中,分别为内角 的对边,已知 ,则.16、若函数在区间上的最大值与最小值分别为和,则.三、解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且35141350,,,S S a a a +=成等比数列. 1.求数列{}n a 的通项公式;2.设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .18、在某次高三考试成绩中，随机抽取了9位同学的数学成绩进行统计。

数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x｜x＞0}，B＝{x｜log2（3x－1）＜2}，则A．A∩B＝（0，53）B．A∩B＝（0，13]C．A∪B＝（13，＋∞）D．A∪B＝（0，＋∞）2．已知复数z满足z（1－i）＝2，其中i为虚数单位，则z－1＝A．i B．－i C．1＋i D．1－i3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（－3，4），则sin2α＝A．－1225B．－2425C．1625D．854．下图是我国第24～30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54．55．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若17S ＝272，则3915a a a ＋＋＝A ．64B ．48C ．36D ．246．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填A ．S ≥7?B ．S ≥21?C ．S ≥28?D ．S ≥36?7．已知()1252a ＝，259b ＝，2log 33c ＝，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b8．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （6，y 0）是C 上一点，｜AF ｜＝2p ，则p ＝A ．1B ．2C ．4D ．89．函数f （x ）＝lnx －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝A ．－1B ．14C ．12D ．1 10．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE u u u r ·AB u u u r ＝A ．－3B ．－6C ．4D ．911．已知直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为A ．10B ．3C ．15D ．6 12．已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数为()f x '，当x ≥0时，恒有()3x f x '＋f （x ）＞0．则不等式x 3f （x ）－（1＋2x ）3f （1＋2x ）＜0的解集为A ．{x ｜－3＜x ＜－1}B ．{x ｜－1＜x ＜－13}C ．{x ｜x ＜－3或x ＞－1}D ．{x ｜x ＜－1或x ＞－13}第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2log 2121x x x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩－，＜，＝，≥，，则 f （f （0））＝__________． 14．数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝2n －1，n a ＞20182成立，则n 的最小值为__________．15．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0关于直线x ＋y －1＝0的对称圆的标准方程为__________．16．已知双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为左支上任意一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，点P 在直线l 上的投影为Q ，且当｜PF 2｜＋ ｜PQ ｜取最小值5时，12F QF S △的最大值为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－ （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数g （x ）＝f （x ）－m 在[0，2π]上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并求tan （x 1＋x 2）的值．18．（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝CD ＝2，BC ＝4，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将△ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ；（2）若直线AB 与直线MN 所成角为4，求三棱锥P —ABC 的表面积．19．（本小题满分12分）已知点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，｜AB ｜＝3，BM u u u u r ＝2MA u u u r ．（1）求M 的轨迹C 的方程；（2）过点N （0，1）作两条互相垂直的直线l 1、l 2，与曲线C 分别交于P 、Q （不同于点N ）两点，求证：直线PQ 过定点．20．（本小题满分12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的质量，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．（1）根据乙生产线样本的频数分布表，在治疗指标小于25的产品中任取2件，求两件都为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线,根据上述图表所提供的数据①绘制两条生产线合格率的等高条形图；②完成下面的2×2列联表，并判断是否有97．5％的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关?若有97．5％的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好?21．（本小题满分12分）已知函数()4ln a f x x x x＝＋－，()x a g x e x x＝－－． （1）若f （x ）在（0，＋∞）上单调递增，求a 的取值范围；（2）求证：当x ＞0时，f （x ）＋g （x ）＞8－8ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为13cos 3sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3πθ＝（ρ＞0），直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝，点P （6，6π）． （1）求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 2交于点A ，曲线C 1与曲线C 2交于点B ，求△PAB 的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝｜x－3｜＋｜x－1｜．（1）若不等式f（x）≤x＋m有解，求实数m的取值范围；（2）函数f（x）的最小值为n，若正实数a，b，c满足a＋b＋c＝n，证明：4ab＋bc＋ac≥8abc．。

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.6 1﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6 根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．2【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z ﹣1|．解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.61﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B 正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．4【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．7．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x ＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f （x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞b＞c．故选：A．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣9 ．【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为a≤﹣或a＝e2．【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥PA1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a≤3．。

数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120 分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x｜x＞0}，B＝{x｜log2（3x－1）＜2}，则A．A∩B＝（0，53）B．A∩B＝（0，13]C．A∪B＝（13，＋∞）D．A∪B＝（0，＋∞）2．已知复数z满足z（1－i）＝2，其中i为虚数单位，则z－1＝A．i B．－i C．1＋i D．1－i3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（－3，4），则sin2α＝A．－1225B．－2425C．1625D．854．下图是我国第24～30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54．55．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（6，y0）是C上一点，｜AF｜＝2p，则p＝A．1 B．2C．4 D．86．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填A．S≥7? B．S≥21?C ．S ≥28?D ．S ≥36?7．下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是A ．f （x ）＝xlnxB ．f （x ）＝e x －e －x C ．f （x ）＝sin2x D ．f （x ）＝x 3－x8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE u u u r ·AB u u u r＝A ．－3B ．－6C ．4D ．99．已知直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成的角的正弦值为A B C D 10．已知双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若AF u u u r ＝2FB u u u r，则该双曲线的离心率为A B C D 11．已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数为()f x '，当x ≥0时，恒有()3xf x '＋f （x ）＞0．则不等式x 3f （x ）－（1＋2x ）3f （1＋2x ）＜0的解集为 A ．{x ｜－3＜x ＜－1} B ．{x ｜－1＜x ＜－13} C ．{x ｜x ＜－3或x ＞－1} D ．{x ｜x ＜－1或x ＞－13} 12．已知三棱锥P —ABC 中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，∠APB ＝90°，PA ＝PB＝2，则有下列四个结论：①若O 为△ABC 的外心，则PC ＝2；②△ABC 若为等边三角形，则AP ⊥BC ；③当∠ACB ＝90°时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为（0，4π]； ④当PC ＝4时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在△PBC 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。