下载文档原格式
计算留数的方法一、留数的概念。
1.1 留数啊，就像是函数在孤立奇点周围的一个小秘密。
它反映了函数在这个奇点附近的一种特殊性质。
想象一下，函数就像一个复杂的迷宫，而孤立奇点就是迷宫里的特殊点，留数就是这个特殊点周围隐藏的小线索。
1.2 从数学定义来讲，对于一个以孤立奇点为中心的洛朗级数展开式，留数就是这个展开式中负一次幂项的系数。
这就好比在一堆数字和式子组成的宝藏里，我们专门挑出那一个特别的系数当作留数。
二、计算留数的常见方法。
2.1 可去奇点处的留数。
对于可去奇点，这是一种比较温和的奇点类型。
就像一个小坎坷，很容易就跨过去了。
在可去奇点处的留数是0。
这就好像这个小坎坷周围没有什么特别的东西留下，干干净净的，留数为0很符合它的特性。
2.2 极点处的留数。
一阶极点。
如果函数f(z)在z = a处有一阶极点，那么计算留数就有一个简单的公式，留数等于lim(z→a) (z a)f(z)。
这就像是我们有一把专门的钥匙来打开一阶极点处留数的大门。
比如说，有个函数f(z)=(1/(z 1))，在z = 1处是一阶极点，那我们用这个公式一算，留数就是1。
简单直接，就像我们走直路一样顺畅。
高阶极点。
当z = a是函数f(z)的m阶极点时，计算留数就稍微复杂一点。
留数等于lim(z→a) [(1/(m 1)!)]×(d^(m 1)/dz^(m 1))[(z a)^m f(z)]。
这就像在走一条有点绕的小路，不过只要按照这个公式一步一步来，也能算出留数。
比如说有个函数f(z)=1/(z 2)^3，在z = 2处是三阶极点，按照这个公式算下来，留数是1/2。
虽然过程有点繁琐，但就像解一道有点难度的谜题，解开的时候还是很有成就感的。
2.3 本性奇点处的留数。
本性奇点可就比较调皮了。
它没有像极点那样有比较规矩的计算留数的公式。
我们通常得通过函数的洛朗级数展开式来求留数。
这就像在一个没有明显标记的森林里找东西，只能靠自己慢慢探索。
z变换留数计算法
z变换留数计算法是z变换的一种计算方法，在计算z变换时，当极点处于单位圆上时，可以使用留数定理进行求解。
留数计算法的步骤如下：
1. 将z变换的极点表示为z=k，其中|k|=1
2. 利用留数定理，求出极点k处的留数res(k)
3. 根据留数定理，z变换的值等于所有极点留数的总和，即
Z(f(k)) = Σ res(k)
4. 最后，将得到的结果进行逆变换，以得到原始信号的时域表示
需要注意的是，在计算留数时，可以使用极点处的导数来计算留数，也可以使用主值来估算留数。
此外，在计算留数时，需要排除掉重根的情况，并且极点必须在信号的收敛域内。
总体来说，留数计算法是一种非常高效而又实用的z变换求解方法，可以在计算z变换时大大减少计算量和复杂度。
用留数计算积分例题留数理论的一个重要应用就是用来计算实函数的积分，我们先从复变函数的孤立奇点的分类将起：定义： f:D\rightarrow C 是一个全纯函数：当存在一个半径 r>0 时，有 K_{0,r}\left( z_{0}\right)\subset D 时。
这时称 z_{0} 为复变函数 f\left( z \right) 的一个孤立奇点。
现在假设 f 在K_{0,r}\left( z_{0} \right) 中展开点为 z_{0} 的Laurent 级数为：f\left( z \right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{a_{k}\left( z-z_{0} \right)^{k}}则有一下关于孤立奇点的定义：a) 当 \forall k<0:a_{k}=0 ,则 z_{0} 叫做可去奇点。
b) 当\exists m\in N:a_{-m}\ne0\wedge\forall k<-m:a_{k}=0 ,则 z_{0} 叫做m 阶极点。
c) 当z_{0} 既不是可去奇点也不是极点时，则z_{0}称为 f 的本质奇点。
对于该定义可以这样理解：a)可去奇点意味着可以在D\cup z_{0} 上找到一个全纯函数 g ，使得：f=g且g 在 z_{0} 处有定义。
这种 g 其实就是 f 在 z_{0}的 Taylor 级数。
\lim_{z \rightarrowz_{0}}{f\left( z\right)}<\inftyLaurent 级数不含主部分。
b)m 阶极点意味着可以在 D\cup z_{0}上找到一个全纯函数 g ，使得:f=\frac{g}{\left( z-z_{0}\right)^{m}}\lim_{z \rightarrowz_{0}}{f\left( z\right)}=\infty Laurent 级数含主部分的有限项（ m 为记就含有几项）。
