6.2用留数定理计算实积分

应用留数定理计算实变函数定积分留数定理是复变函数中的一个重要定理，用于计算围道中的奇点处的留数（residue），并应用于计算复变函数的积分。

但是，在实变函数中，我们也可以将留数定理应用于特定的情况下，来计算实变函数的定积分。

留数定理的基本思想是将实变函数扩展为复变函数，然后计算复变函数在久里斯曼圆中的奇点处的留数，最后应用留数定理将奇点的贡献转化为整个久里斯曼圆的贡献，从而得到实变函数的定积分。

下面我们将介绍如何应用留数定理计算实变函数的定积分。

首先，我们考虑一个一元实变函数f(x)，我们希望计算其在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx。

为了将实变函数扩展为复变函数，我们可以将f(x)视为复变函数在实轴上的取值，即f(z) = f(x)，其中z = x+iy为复平面上的复数，x为实数，y为虚数。

接下来，我们将实变函数扩展为复变函数的方法是引入一个收敛的复函数F(z)，并构造一个包含[x_1,x_2]区间的有限大小圆C的闭合曲线Γ，该圆C不包含[x_1,x_2]区间上的任何奇点。

然后，我们计算复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数。

根据留数定理，F(z)在C中的奇点处的留数之和等于C中的奇点数目与围道曲线Γ绕过奇点的次数的乘积。

由于圆C的半径是有限的，其包含的奇点数量是有限的。

因此，F(z)在C中的奇点处的留数之和是有限的。

然后，我们利用留数定理的一个推论，即围道曲线Γ上的积分等于复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数之和。

具体而言，我们有∫Γ F(z) dz = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。

最后，我们将上述等式中的围道曲线Γ替换为两条直线的组合，一条是[x_1,x_2]区间上的水平线段，另一条是连接x_1和x_2的垂直线段。

这样，我们得到了实变函数f(x)在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。

第六章留数理论及其应用§1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)nk=1C2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，f(z)=φ(z) (z−a)n,其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，φ(z)=(z−a)f(z),则Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点φ(z)=(z−a)2f(z)则Res(f(z),a)=φ′(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Res(f(z),∞)=12πi∫f(z)dzΓ−=−c−1即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。

注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。

8.计算留数的另一公式：Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)§2.用留数定理计算实积分一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ注：注意偶函数二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上lim R→+∞zf (z )=λ则lim R→+∞∫f(z)dz S R=i(θ2−θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中P (z )=c 0z m +c 1z m−1+⋯+c m (c 0≠0)Q (z )=b 0z n +b 1z n−1+⋯+b n (b 0≠0)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m ≥2;（2）Q(z)没有实零点于是有∫f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0+∞−∞注：lim R→R+∞∫f(x)dx +R −R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞−∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞−∞型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且lim R→+∞g (z )=0在ΓR 上一致成立。

第六章留数理论及其应用§ 1.留数1. （定理6.1柯西留数定理）：dz = 2 mJc£=i2. （定理6.2）:设a为f⑵的m阶极点,事（町（…尸’其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点,Re^f(z),a) = <p(a)4. （推论6.4）:设a为f⑵的二阶极点® ⑴=（Z-A）V（«）则5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6. 无穷远点的留数:RES（F（R「8）=霜/严f(z)dz=- j即，血血垃S）等于f⑵在点的洛朗展式中这一项系数的反号7. （定理6.6）如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则f（z）在各点的留数总和为零。

注：虽然f（z）在有限可去奇点a处，必有Z畑⑴°,但是，如果点为f（z）的可去奇点（或解析点），则血昭⑵妙）可以不为零。

8. 计算留数的另一公式:(昭詞§ 2•用留数定理计算实积分Q R(cos^,sin&)M型和分—引入注：注意偶函数1. (引理6.1大弧引理)：»上limzf(z)= X则limH'J-M B2. (定理6.7) 设f(-器梯理分式，其中P(z) = e o z m + 耳厂，+ + c m(c0丰 0)QCz) = b Q x n + %0勺 + * + 丰 0)为互质多项式，且符合条件：(1)n-m >2;(2)Q(z股有实零点于是有f(x)dx — 2ui工Res(f(z)t au}Jrtiajt >0注：以fg可记为PM广；«x)dx丿；黔厂心型积分3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5£=恥叫0彰"・丘充金走上连续，且lim鸟⑵=0在「里上一致成立。

则lim f幻(胡叫E = o■ rn4. (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:(1) Q 的次数比P 高;(2) Q 无实数解；(3) m>0特别的，上式可拆分成:及四. 计算积分路径上有奇点的积分5. (引理6.3小弧引理)：S m 询lim(z-a)f (2)=X r-+D于5'r 上一致成立，则有limf /wdz=i (02-五. 杂例六. 应用多值函数的积分§ 3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数 f'M2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n 阶零点，贝U a 必为函数 的一阶极点，并且(2)设b 为f(z)的m 阶极点，贝U b 必为函数的一阶极点，并且Res 2ni1 X) Res{ff (2je in ^f a^则有1.对数留数:3. (定理6.9对数留数定理)：设C 是一条周线，f(z)满足条件：(1) f(z)在 C 的内部是亚纯的；(2) f(z)在 C 上解析且不为零。

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sin xdx x∞⎰，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->⎰为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。

而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。

2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰⎰Ñ；3）()l f z dz ⎰Ñ可以应用留数定理，1()l f x dx ⎰就是所求的定积分。

如果2()l f z dz ⎰较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则dz izdx =∴dz dx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰Ñ 类型二-()f x dx ∞∞⎰.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ϕ两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=⎰图1()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+⎰⎰⎰Ñ根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x dx f z dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dzRf z dz zf z zf z zf z zf z zzRππ=≤≤=⋅→⎰⎰⎰所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理 如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=⎰求解方法：000111()cos ()()()()222imx imx imx imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+⎰⎰⎰⎰经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=⎰⎰⎰⎰同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=⎰⎰ 由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和所以()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形 考虑积分-()f x dx ∞∞⎰，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路. 于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++⎰⎰⎰⎰⎰Ñ取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有()1()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=⋅-⎰⎰所以()0lim 0C P z dz εεα→-=⎰而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εεϕϕπαεϕππαααε----=-==-=---⎰⎰⎰ 于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑⎰上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx i Resf z iResf z ππ∞∞=+∑∑⎰上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞⎰ 解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=⎰⎰这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有图310=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞⎧⎫==⋅⎨⎬⎩⎭⎰被积函数在单极点的留数 即sin =2x dx x π∞⎰推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==⎰⎰ (m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-⎰⎰ (m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰和20cos()x dx ∞⎰解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==∴2210ix I iI e dx ∞+=⎰取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izle dz =⎰Ñ 即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=⎰⎰⎰令R →∞.222()/4/4/40lim lim()i i i i i RRR R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-⎰⎰⎰/4(1)28i e i πππ=-=-+/4222222i RRiz Reiz izC C z Redz e dz e iziz π==+⎰⎰2Riz C e dz ⎰而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）2222sin 2cos 2sin 22222222R RRiz R iR R i i C C C eeedz Re id Rd iz iR eRϕϕϕϕϕϕϕ-+-=≤⎰⎰⎰2sin 221max 02424R e R R ϕππ-⎛⎫≤=→⎪ ⎪⎝⎭（于R →∞） 图4所以21(1)08I iI iπ+-+=即18Iπ=，28Iπ=（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分2co0)s(,axe bx bdx a∞->⎰为任意实数解：由类型三，将原积分改写221cos2ax ax ibxe bxdx e e dx∞∞---∞=⎰⎰取如图所示回路，由于矩形区域内函数2ax ibxe-+无奇点，所以根据留数定理得20az ibzle dz-+=⎰Ñ即2222234N ax ibx az ibz az ibz az ibzN l l le dx e dz e dz e dz-+-+-+-+-+++=⎰⎰⎰⎰当N→∞时，2222234ax ibx az ibz az ibz az ibzl l le dx e dz e dz e dz∞-+-+-+-+-∞=---⎰⎰⎰⎰只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出2ax ibxe dx∞-+-∞⎰所以，2cosaxe bxdx∞-⎰就可以求出.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。

毕业论文（2014届）题目用留数定理计算实积分的再讨论学院数计学院专业数学与应用数学（师范）年级2010级(2)班学生学号***********学生姓名刘艳指导教师汪文帅2014年5月8日用留数定理计算实积分的再讨论数学计算机学院数学与应用数学师范专业2014届刘艳摘要:正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径,然而大量教材或者相关文献长期或者有意无意的按照既定思维对某些实积分计算问题选择基本固定不变的积分路径进行求解,在一定程度上给学生造成思维定势. 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想.这为进一步开拓思维,更为深刻理解留数定理有积极的意义.关键词:留数定理;实积分;积分曲线中图分类号:O174Further discussion of Calculation on real integral by the residue theoremAbstract: The correct use of the residue theorem to calculate real integration means to understand its essence and to construct easy-solved integral path, but a lot of materials or the relevant studies always select the same integral path to solve the similar problem, which give the students wrong understanding when most teachers did not pay attention to the ideological inspiration in teaching. T o some extent, this limits students’ thinking. In this paper, the selection method of integral curve is given with examples in view of the different integral path and the core idea of the residue theorem is shown in calculating process, which has a positive significance for further development of thinking and more understanding of the residue theorem. Key words: real integral；residue theorem；integral curve目 录1 引言 (1)2 主要定理 (1)3 留数定理为实积分的计算提供了新思路 .........................................................................4 4 留数定理在实积分计算中的应用 ......................................................................................4 4.1 如何把实积分转化为复积分 ............................................................................................4 4.2 实积分计算方法中的固定模式 ...................................................................................5 4.2.1计算形如dx x R ⎰+∞∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数 (5)4.2.2 用留数定理讨论所构造的三种积分曲线上的实积分的计算 .....................8 4.2.3 计算形如⎰+∞∞-cos )(mxdx x f 或⎰+∞∞-sin )(mxdx x f )0(>m (13)结束语 ...........................................................................................................................................17 参考文献 ......................................................................................................................................19 致谢 (20)用留数定理计算实积分的再讨论1 引言对于留数定理，国内外数学家已经有了很多研究，如:留数定理的应用及推广，留数定理计算广义积分[1]、定积分[2]以及用留数定理解决某些物理问题[3]都做出了相应的讨论和研究. 留数定理是柯西定理在区域内有孤立奇点时的推广，因其在理论和实际计算中的重要性使得他至今在大学理工科复变函数教材中仍占有一席之地. 推广的留数定理进一步解决了以往实积分的计算难题，这些都使得用留数定理计算实积分的过程更为简单可行. 但是纵观这些理论所建立的基础，不难发现在研究很多实积分计算的问题时，在选择相应的积分路径的过程中，都大同小异，都选取包含实轴的或者部分实轴的封闭曲线而且对于其他可以选取的路径只是提到，也没有加以讨论. 在这样的教学情境下，必然会对学生掌握留数定理造成错误的认识，让学生误认为: 在用留数定理计算实积分的时候只能选取包含x轴的这样一个封闭曲线. 事实上，我们知道，正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径，用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取不会影响积分值，这只是我们通过柯西积分公式以及留数理论所得出的结论，然而对本部分的认识我们还是建立在理论认识之上,并没有一个系统的分类，计算和验证.那么讨论不同的积分曲线的选取是否会影响积分值? 或者,研究一个不包含实轴的封闭曲线是否能计算实积分就显得很有意义了. 本文在前人研究的基础之上，总结和讨论了以往实积分计算方法当中存在的某些惯性思维，进而对这些惯性思维进行补充和改进. 本文主要介绍了留数定理在复变函数积分中的应用，用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想，为进一步开拓思维，更为深刻理解留数定理有积极的意义. 如何将实积分转化为复积分? 讨论在转化的过程中不同的曲线选取对于积分计算的影响. 探讨了用留数定理计算实积分方法中存在的某些既有思维，通过三种积分曲线的选取，说明了积分曲线的选取不会影响积分值．2主要定义和定理为了后文的求解方便，我们先列出一些主要的定义和运用到的定理: 定义 2.1 留数设f 在域0<0z z -<R 内解析，称环绕着孤立奇点0z ()∞≠的积分dz z f i L⎰)(21π (其中:L 0z z -=,ρR <<ρ0)，为f 在0z 的留数，记为es R ()=0,z f dz z f iL ⎰)(21π. 由多连通域柯西积分定理知,当R <<ρ0时，留数的值与ρ无关(甚至将L 改为域中环绕0z 的任何分段光滑封闭曲线也可以).定义 2.2 无穷远点处的留数设f 在域R <z <∞+内解析，称环绕着孤立奇点∞的积分⎰-L f iπ21为f 在∞点的留数，记为=∞),(Re f s ⎰-L f i π21,这里:L ,ρ=z .+∞<<ρR 积分曲线L 取顺时针方向. 则 =∞),(Re f s ⎰-L f i π211α-=，即f 在∞点的留数等于它在∞邻域的罗朗展式中负一次幂的系数的相反数.定理 2.1 柯西积分定理: 设f 是在区域D 内解析的函数，0L ，1L 是区域D 内具有相同起点和终点的简单光滑弧或者是区域D 内的简单光滑闭曲线. 若它们在D 内同伦，即)(~10D L L ，则⎰⎰=1L L f f . 特别地，当简单光滑闭曲线0L 在D 内同伦于零，即)(0~0D L 时，则00=⎰L f .定理 2.2 多连通区域柯西定理 设区域D 是由复合闭路--++++=n L L L L 10为边界的有界的多连通区域，其中n L L L ,,,21 是简单封闭光滑曲线0L 内部互相相离的n 条简单封闭光滑曲线(以后称这样的曲线组L 为复合闭路),若f 在D 上连续，在D 内解析，则有0=⎰Lf ，其中L 取关于D 的正向，或写为⎰⎰⎰⎰+++=nL L L L f f f f 21.定理 2.3 柯西积分公式 设区域D 是由复合闭路--++++=n L L L L 10所围成的有界多连通域. 若f 在D 上连续,而在D 内解析，则对D 内任意一点z ,都有ξξξπd zf i z f L ⎰-=)(21)(. 其中的积分称为柯西积分，把整个式子称为柯西积分公式.定理 2.4 留数定理（留数基本定理） 设是D 由复合闭路--++++=n L L L L 10所围成的有界多连通域. 若函数f 在D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 外解析，在D -{n z z z ,,,21 }上连续，则∑⎰==nk k Lz f s i f 1),(Re 2π，其中L 取关于D 的正向.这个定理把沿封闭曲线L 的积分归结为求在L 内各孤立奇点处的留数和. 若边界上有孤立奇点时需要将留数定理推广.定理 2.5 推广的留数定理（路见可） 设D 是由复合闭路--+++=n L L L L 10 所围成的有界多连通域,.,,,,,,,2121L t t t D z z z N m ∈∈ 设函数)(z f 在-D {m z z z ,,,21 }解析，在},,,;,,,{2121N m t t t z z z D -连续，)(z f 在N t t t ,,,21 分别有关于D 的N n n n ,,,21 阶的极点，则 ∑∑⎰==+=Nj j j m k k L )s(f,t β)s(f,z f πi 11Re Re 21其中j β为在j t 处关于D 的张度，L 取关于D 的正向，积分在每个j t 处在高阶奇异积分（重极点时）或柯西主值（单极点时）意义下理解，j β的计算方法不再详细叙述.+0L-1L-2L-n L图2.1 有界的多连通区域图3 留数定理为实积分的计算提供了新思路在数学分析以及实际问题中，往往要计算一些定积分和反常积分. 而这些积分中被奇函数的原函数不能用初等函数表示出来；或者，即使可以求出原函数，计算也常常比较复杂. 因此寻求新的计算方法就显得尤为重要. 而在复变函数的积分当中柯西定理充当了相当重要的角色，这使得复变函数理论进一步延伸和发展，多连通域上的柯西积分定理更进一步说明了复积分之值与所选择的积分路径无关，这就为解有关复积分问题提供了新的研究思路和解题方法，然而留数在一点处的定义作的非常巧妙，留数定理的得出采用多连通域上的柯西积分定理的思想将积分的值化为求域内各个孤立奇点处留数之和. 留数定理以比较简洁的形式阐述了有关复变函数积分的新思路，这使得复变函数的积分有了一套比较系统的方法. 那么对于有些比较复杂的实积分可否化成复变函数的积分,再运用留数定理得到解答呢?应用留数理论对于复变函数的积分计算比起线积分计算方便,计算某些实变函数的积分时，可以化为复变函数沿闭合回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被奇函数在闭合回路曲线内孤立奇点上求留数的计算. 接下来就讨论如何用留数定理计算一些实积分. 在选取积分路线上的方式，探讨所选积分路线是否影响积分值?4 留数定理在实积分计算中的应用4.1 如何把实积分转化为复积分计算实积分的第一步就是讲实积分转化为复积分，比如讨论实积分: ⎰+∞+=02)1(x dxI .由被奇函数的偶性，有 ⎰-+∞→+=R R R x dx I 22)1(lim 21.考虑复函数 22)1(1)(z z f +=. 它（在实轴上就是被奇函数）在i z ±=有二阶极点. 以原点为中心，以R >1为半径作上半平面的半圆周R Γ，以i 为心、以充分小的半径ρ做圆周ρC ，使ρC 完全落入上半圆盘（图4.1），则)(z f在上半闭圆盘除去小圆盘ρ<-i z 后的连通封闭区域上满足柯西定理:.)()()1(22dz z f dz z f x dxC RR R ⎰⎰⎰++=++Γ-ρ (4.1)对此式子两边取极限，因为当R +∞→时,0)(lim=⎰+Γ+∞→dz z f RR . 所以对于(4.1)式中第二个积分就趋于零了，第一个积分趋于I 2，而右端的积分是与R 无关的常数. 因此，我们看到，要将实积分转化为复积分运用留数定理计算，首先积分应该转化到封闭的积分曲线上(其实质是应用留数定理)，而且积分曲线一般都会包含实轴(对于其它情形见后文讨论)，并且在非实轴的积分曲线上被积函数的积分值可以求出. 于是我们所求解的实积分就可以化成复变函数的积分，从而应用留数定理进行计算.4.2 实积分计算方法中的固定模式我们给出两种积分模型，通过采用不同的方法讨论实积分计算方法中存在的可优化的问题，在前人讨论的基础上，提出几种自己的看法和思考. 为此，我们分别给出所构造的积分区域，并用留数定理计算有关题型.4.2.1 计算形如dx x R ⎰+∞∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数，型1 计算形如dx x R ⎰+∞∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数，分母的次数至少比分子高二次. 这时可以设辅助函数为)(z R ，它在C 上有有限个极点j z . 以0=z 为圆心在上半平面作半径图 4.1R 为充分大的半圆盘，其包含所有0Im ≥j z 的极点，如图4.2（若下半平面极点的个数少于上半平面，则以下半平面作围道更便于计算） 于是由留数定理⎰⎰Γ-+Rdz z R dx x R RR)()( )),((Re 20Im j z z z R s ij ∑≥=π,其中R Γ为上半圆周R z =)0(Im ≥z ,令)()()(x Q x P x R =,其中)(x P 和)(x Q 均为多项式，0)(=x Q 没有实根(即在实轴上无奇点)且)(x Q 的次数比)(x P 的次数至少高两次. 积分路线如图4.2所示由留数定理)),((Re 2)()()()(0Im ∑⎰⎰≥Γ-=+j R z j RR z z R s i dz z Q z P dx x Q x P π 在R Γ上令θi z Re =，有θπθθθd Q i P dz z Q z P i i i R ⎰⎰=Γ0)(Re Re )(Re )()(. 因为)(z Q 的次数比)(z P 的次数至少高两次，于是当∞→z 时，=)()(z Q z zP )(Re Re )(Re θθθi i i Q P 0→，所以0)()(lim =⎰Γ∞→dz z Q z P R z ， 则)),((Re 2)()(0Im ∑⎰≥-=j z j RR z z R s i dx x Q x P π 即0)(lim =∞→z zR z ,故 0)(lim=⎰Γ+∞→Rdz z R R .从而图4.2∑⎰≥+∞∞-=0Im )),((Re 2)(j z jzz R s idx x R π[4]这种积分区域的选取通常是我们最容易选取的，因为在实轴上的积分就表示我们所求的实积分，在计算上只要会计算留数并且满足相应的引理，积分值便很容易求解. 然而,如果纵观一些实积分计算方法，很多积分的积分曲线都采用的是包含实轴的上半圆. 这种积分曲线的选取会对学习者造成些许思维定势，使得学习者在解题过程中墨守成规，不懂得变通或者产生错误的认识.例题 4.1 计算积分dx x I ⎰+∞+=0411[5] 解 分母次数比分子次数至少高两次，奇点是4ie π,43i eπ,45i eπ,47i eπ.实轴上无奇点，所以积分存在，在上半平面有两个极点4ie π和43i eπ.8)1(2))()((1lim ),(Re 47454344+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→i e z e z e z e z f s ii i e z ii πππππ8)1(2))()((1lim 2),(Re 474544343--=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→i e z e z e z i e z f s i i i e z iiππππππ 利用被奇函数的偶性，可得dx x I ⎰+∞∞-+=11214由留数定理得∞→R limdx x RR ⎰-+114+dz z R ⎰Γ+114=),(Re 24i e f s i ππ+),(Re 243i e f s i ππ由于∞→R lim dz z R⎰Γ+114=0, 所以∞→R limdx x RR ⎰-+114=),(Re 24i e f s i ππ+),(Re 243i e f s i ππ22π=则dx x I ⎰+∞∞-+=11214=21∞→R limdx x RR ⎰-+114-=21∞→R lim dx x RR⎰-+11442π=.在本题中，应用了型1所给出的积分区域模型,其实本题有四个极点，上半平面与下半平面极点的个数一样多，但很多人都会选择上半平面来计算实积分，而不会去考虑下半平面的情况，或者选择其他封闭区域的情况. 当然通常我们所选取的封闭曲线是上半圆盘连同实轴，那么如果选择下半圆盘、右半圆盘、倾斜的半圆盘是否同样能应用留数定理计算实积分呢? 并且不会影响最后的积分值.4.2.2 用留数定理讨论所构造的三种积分曲线上实积分的计算针对型1我们给出构造的三种不同的积分区域，并且在每一个积分区域上计算给定的实积分.例题 4.2 计算积分dx x I ⎰+∞+=0411,dx x J ⎰+∞-=0411，积分J 在1=x 处理解为柯西主值.第一种: R z =的下半圆周和实轴组成的封闭区域.解 利用被奇函数的偶性，可得dx x I ⎰+∞∞-+=11214，dx x J ⎰+∞∞--=11214.由留数定理以及推广的留数定理得dx x RR⎰--114+dz z R ⎰Γ-114=),(Re 2i f s i -π+))1,(Re )1,((Re -+f s f s i π. 图4.3由于011lim4=-⎰Γ∞→dz z R R ，所以∞→R lim dx x R R ⎰--114=),(Re 2i f s i -π+))1,(Re )1,((Re -+f s f s i π =)1)((1lim22---→z i z i i z π+))1)(1(1lim )1)(1(1lim (2121+-+++-→→z z z z i z z π =2π+0 ∞→R limdx x RR⎰--114=dx x R R ⎰---114=2π-, 所以dx x J ⎰+∞∞--=11214=21∞→R lim dx x RR ⎰--114=2π-21⨯ =4π- 而∞→R limdx x RR⎰-+114+dz z R ⎰Γ+114=),(Re 245i e f s i ππ+),(Re 247i ef s i ππ由于∞→R limdz z R⎰Γ+114=0，所以 ∞→R limdx x RR⎰-+114=),(Re 245i e f s i ππ+),(Re 247i ef s i ππ=))()((1lim 24743445ii iez ez e z e z i iπππππ---→+))()((1lim 24543447i iiez ez ez e z i iπππππ---→=))1(221)1(221(2i i i i +-+-π=22π-则dx x I ⎰+∞∞-+=11214=21∞→R limdx x RR ⎰-+114-=21∞→R lim dx x RR⎰-+11442π=. 第一种积分区域的选取上选择了包含实轴的封闭曲线，在理解上很容易接受，也符合一般的思维，即: 将实积分转化为复积分就必须要选择包含实轴的封闭曲线，这是一种思维上的误导. 所以在以后的教学或者学习过程中，要尽量从不同的角度来阐述一个问题，不拘泥于固定的模式和固定的思维. 接下来给出第二种封闭区域，不包含实轴的封闭曲线.第二种: R z =的右半圆周和虚轴组成的封闭区域.用此积分区域解例题4.2，过程如下:解 利用被奇函数的偶性，可得dx x I ⎰+∞∞-+=11214，dx x J ⎰+∞∞--=11214 由留数定理以及推广的留数定理得dz z iRiR⎰--114+dz z R ⎰Γ-114=),(Re i f s i -π+）i f s i f s i ,(Re )1,(Re 2ππ+. 在虚轴上，令=z 2i re π.)(1)1242iiRiRire d re ππ⎰--（dr r e RRi⎰--=142π=dr r i R R ⎰---114i -=dx x RR ⎰--411由于 0dz 1z 1limRΓ4R =-⎰∞→，所以 ∞→R lim dx x R R ⎰--411=),(Re i f s i -π+）i f s i f s i ,(Re )1,(Re 2ππ+=2π- 则dx x J ⎰+∞∞--=11214=21∞→R limdx x RR ⎰--114=4π-. 由留数定理可得dz z iRiR⎰-+114+dz z R ⎰Γ+114=),(Re 24ie f s i ππ+),(Re 247ie f s i ππ图4.4由于 011lim4=+⎰Γ∞→dz z RR ，在虚轴上令=z 2ire π. dz z iRiR⎰-+114=2421)(1iiR iRidre re ππ⎰-+dr r iRR⎰+=-4122i π-= 所以dx x I ⎰+∞∞-+=11214=21∞→R limdx x RR ⎰-+114-=21∞→R lim dx x RR⎰-+11442π=. 用第二种方法计算例题4.2，能得到与第一种方法相同的结论，值得注意的是第二种方法中所选取的积分曲线并不包含实轴，而是选取了虚轴和R z =的右半圆盘. 说明了在用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取并非只能选取含有实轴的封闭曲线. 对于不含实轴的我们可以将其用复数形式表达出来，再作相应的变换，就可以化为实积分的计算. 为了进一步验证上述结论，下面给出另外一种积分区域并且得出用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选取不会影响积分值. 第三种: R z =的右上半圆盘和l :43i rez π=组成的封闭区域.用此积分区域解例题4.2，过程如下 解 利用被奇函数的偶性，可得图4.5dx x I ⎰+∞∞-+=11214 ,dx x J ⎰+∞∞--=11214 由留数定理得dz z ii ⎰--4343ReRe 411ππ+dz z R ⎰Γ-114=）i f s i f s i ,(Re 2)1,(Re 2ππ+. 在直线上，令=z 43i re π.由于0dz 1z 1lim R Γ4R =-⎰∞→，所以43Re Re 44343431)1i i drerei i ππππ⎰--（dr r e R R i⎰---=1443π⎰-+--=R R dr r 143cos 4π⎰---R R dr r i 143sin 4π⎰-+-=R R dr r i 11)1(224.而）i f s i f s i ,(Re 2)1,(Re 2ππ+)1(2-=i π所以∞→R limdx x RR ⎰+-41122π=dx x I ⎰+∞∞-+=11214=21∞→R limdx x RR ⎰-+114=42π. 由留数定理以及推广的留数定理可得dz z i i ⎰-+4343ReRe411ππ+dz z R ⎰Γ+114=),(Re ,(Re ),(Re 247434i ii e f s i e f s i e f s i ππππππ++）在直线上，令=z 43ire π.由于 0dz 1z 1lim R Γ4R =+⎰∞→,所以43Re Re 44343431)1i i drerei i ππππ⎰-+（dr r e R R i⎰-+-=1443π⎰-+-=R R dr r 143cos 4π⎰--R R dr r i 143sin 4π)1(22-=i ⎰--RR dr r 114.又因为),(Re ,(Re ),(Re 247434i iief s i e f s i e f s i ππππππ++）)1(2-=i iπ所以∞→R limdx x RR ⎰--4112π-= dx x J ⎰+∞∞--=11214=21∞→R lim dx x R R ⎰--114=4π-.通过上述三种构造的积分区域，分别计算了例题4.2的实积分，并且不管采用上述哪种积分区域，都能得到相同的答案. 值得注意的是: 在第二种和第三种方案中都没有选取含有实轴的封闭曲线，在计算实积分的过程中，充分应用了复变函数的有关知识，比如:复变函数的三角函数式和欧拉式，通过应用相关的复变函数的知识将实积分的计算转化为复积分计算问题再通过变量代换，在封闭区域上，应用留数定理以及推广的留数定理求出积分的值. 而积分的值是不会因为积分区域的变化而变化，也充分说明，在用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取不会影响积分值，可以根据个人的需要，选择不同的积分曲线进行计算.4.2.3 计算形如⎰+∞∞-mxdx x f cos )(或⎰+∞∞-mxdx x f sin )(（0>m ）型2 其中)(z f 在0Im ≥z 上除有限个孤立奇点外处处解析（且在实轴上的孤立奇点只能是极点），而且当z 在0Im ≥z 时，0)(lim =∞→z f z .为后面的积分估计，我们先来介绍约当(Jordan)引理的一个简单情形.约当引理 设)(z f 在闭区域21arg θθ≤≤z ，+∞<≤z R 0(00≥R ,)021πθθ≤<≤上连续，并设R Γ是这封闭区域上的一段以原点为圆心、R 为半径的圆弧)(0R R >. 若当z 在这封闭区域上时,0)(lim =∞→z f z ，则对任何0>m ，有0)(lim=⎰Γ+∞→dz e z f Rimz R有了本引理,我们设辅助函数为)(z f e imz . 作与型1相同的围道见（图4.2).使这个上半闭圆盘内含)(z f 的所有0Im ≥j z 的孤立奇点j z （实轴上的只是极点），由推广的留数定理，有dx x f e RRimx )(⎰-dz z f e Rimz )(⎰Γ+)),((Re 20Im j imz z jz z f e s ij ∑≥=βπ. (4.2)当+∞→R ，由引理0)(=⎰Γdz z f e Rimz ，比较上式左右两边的实部与虚部，就得出所求的积分.例题 4.3 求积分dx xxI ⎰+∞=0sin . 方法 1 此函数在数学分析中用比较法则，可以判断为绝对收敛但无法用实分析的方法求出[6]. 因此将实积分化为复变函数的积分，应用留数定理解 由被积函数的偶性有dx xx I R R R ⎰+-+∞→=sin lim 21而x i x e ix sin cos +=. 所以⎰⎰⎰+-+∞→+-+∞→+-+∞→+=R R R R R R RR ixR xx i dx x x dx x e sin lim cos lim lim 又因为0cos lim=⎰+-+∞→dx x xRR R , 于是dx xx I R R R ⎰+-+∞→=sin lim 21=dx x e i R R ixR ⎰+-+∞→lim 21. 令 )()(z f e ze z g iz iz ≡=，它在0=z 有一阶极点. 01lim )(lim ==∞→∞→z z f z z . 由(4.2)式 i g s i dz z g dx x e R RR ixππ==+⎰⎰Γ-)0,(Re )(.令 R +∞→，i dx xe ixπ=⎰∞+∞-. 从而2π=I .在此例题中，我们所选取的积分曲线是一个如(图4.2)所示的封闭曲线且是包含实轴的部分和R z =的上半圆周两条线共同围成的封闭区域，并且满足约当引理的条件，就可以在此区域内将实积分化成复变函数的积分，从而应用留数定理会使得计算简便，还能便于理解. 在此方法的基础上，再介绍另外一种方法.方法二[7]解 考虑函数ze zf iz=)(沿图7所示的围线C （具有半圆形缺口的矩形周线）的积分，则由留数定理知 0)(=⎰dz z f C，即dz z e rC iz⎰+dx x e R r ix ⎰+dy i iy R e R y iR ⎰+-0+dx iRx e R R R ix ⎰--++idy iy R e R y iR ⎰+---0+dx x e r R ix⎰--=0 (4.3)把(4.3)式等号左边各个积分依次记为1I ,2I ,...,6I . 则2I +6I =2i⎰Rrdx xxsin 注意到R y R iy R iy R ≥+=+-=+22. R iR x ≥+,1===-iR ix iR ie e ie ，则由积分的性质543543I I I I I I ++≤++dx R e dy R e R R RRy⎰⎰+---+≤02012−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→--R R R e R e 在r C 上令θi re z =.θπθd e i dz ze I i rire C iz⎰⎰==01R -R图4.6[]θθθπθd r i r e i r ⎰+-=-0sin )cos sin()cos cos([]i r i e r e i r r r πθθπθθ-−−→−+-=→--02sin 1sin )cos sin()cos cos(21 式中1θ与2θ皆介于0与π间，故由（4.3）式，令0→r ，∞→R 取极限，得2sin 0π=⎰∞dx x x .方法三解 考虑函数ze zf iz=)(沿图4.7所示的围线C 的积分，则由留数定理i f s i dz z f Cππ2)0,(Re 2)(==⎰有dz ze rC iz⎰+dx x e R r ix ⎰+dy i iy R e R y iR ⎰+-0+dx iR x e R R R ix ⎰--++idy iy R e R y iR ⎰+---0+dx x e r R ix ⎰--=i π2 (4.4)把(4.4)式等号左边各个积分依次记为1I ,2I ,...,6I . 则 2I +6I =2i⎰Rrdx xxsin 注意到R y R iy R iy R ≥+=+-=+22. R iR x ≥+，1===-iR ix iR ie e ie ，则由积分的性质图4.7543543I I I I I I ++≤++dx R e dy Re R R R Ry⎰⎰+---+≤02012−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→--R R R e R e 又 θππθd ei I i ire ⎰=21[]θθθππθd r i r e i r ⎰+=-2sin )cos sin()cos cos([]i r i e r e i r r r πθθπθθ−−→−+=→--02sin 1sin )cos sin()cos cos(21 式中1θ与2θ皆介于π与π2间，故由(4.4)式，令0→r ，∞→R 取极限，得2sin 0π=⎰∞dx x x . 上述三种方法都应用了留数定理的思想，但不同的是选取了不同的积分曲线，第一种方法是用留数定理解决实积分计算的一种普遍的方法，通过将整个复平面分为上下两个部分，再观察在哪个平面上的极点个数少，就选取这个平面作半圆周，连同实轴所围成的封闭区域上应用留数定理. 将实积分的计算转化成复变函数的积分，只要计算相应极点的留数，再应用留数定理问题就得到解答. 显然，这种方法对于解决形如⎰+∞∞-mxdx x f cos )(或⎰+∞∞-mxdx x f sin )(（0>m ）的积分，满足相应的引理的条件，那么计算也省去了复杂的过程. 第二种方法也应用了留数定理的思想，选择了封闭区域，使得积分区域内部没有孤立点，应用积分的性质将各个部分的积分整理合并，最终通过取极限得到积分的值，整个过程的计算很繁琐，但是，通过这种方法依然可以得到答案. 第三种方法同样应用了留数定理的思想，只不过将半圆型缺口的矩形中的半圆换成下半圆，这样积分路径所围成的封闭区域内部含有一个孤立奇点，我们采取与第二种方法同样的计算方法，通过整理、化简、合并最后应用留数定理得到最终的解答. 比较三种方法，我们知道，这三种方法选取了不同的积分曲线，积分曲线的不同，只会使得我们的计算方法上有所差别，但是积分曲线的选取是不会对积分的结果产生影响. 其实对于每一种方法，他们所采用的思想是一样的，即是用柯西积分定理，留数定理的思想. 当然，我们还可以选取任意的简单光滑封闭曲线连同实轴部分只要包围上半平面，或者下半平面的所有极点，也可以得到同样的积分值. 这里通过引用第二种方法，就是要说明对于某些实积分的计算方法,我们不应该拘泥于一种固定的方式，当然，能正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质意义并且在计算实积分的过程中把握留数定理的核心思想选取我们容易求解的积分路径.上述三种方法应用了留数定理的基本思想，选取不同的积分路径，得出了相同的积分值，也就是说用留数定理计算实积分的过程中积分路径的选取不会影响积分的值.结束语本文主要研究和提出了几种用留数定理计算实积分的新思路，通过比较以往用留数定理计算实积分方法中存在的固定模式构造了几种不同的积分区域，并且在所构造的积分区域上对给定的实积分进行计算，得出了用留数定理计算实积分的过程中积分路径的选取不会影响积分值的结论. 留数定理的核心思想就是在复合闭路上的复积分的值不会随着积分路径的变化而变化. 于是根据这个核心点，我们讨论了在应用留数定理计算实积分的过程中积分路径的选取会不会影响积分值?并且考虑将实积分的计算化为复变函数的积分进而应用留数定理算出积分值. 在讨论中，我们引用最常见的两种实积分类型，并用留数定理的思想，针对大家普遍认为正确的但没有进行具体验证的问题提出自己的想法和解题思路. 然而，并不是所有的实积分都可以化为复积分应用留数定理进行解答,而留数定理却为我们解决某些复杂的实积分计算问题提供了更加简洁的计算方式.参考文献[1] 黄庆波.围道积分法计算一种类型的广义积分——利用留数定理计算实变函数定积分[J].科技创新导报,2009,(3),235.[2] 李小飞.留数定理在一类定积分中的计算[J]黄冈师范学院学报,2011,31(6):34-35.[3] 戴海峰.留数定理在一类物理问题中的应用[J].淮北师范大学学报（自然科学版）2012,(2)：85-88.[4]路见可,钟寿国.复变函数（第二版）[M].武汉：武汉大学出版社,2001.[5] 郭晓梅.用留数定理解决实积分的计算问题[J].枣庄学院学报2009,26(5):78-81.[6]王瑞苹.论留数与定积分的关系[J].山东:菏泽学院学报,2005,27(2):70-72.[7] 魏汝龄.对用留数计算实积分的浅见[J].中国大学教学,2013,(12):37-38.致谢论文完成，四年的大学生活即将结束，感慨万千！首先，感谢我的导师汪文帅老师，从课题选择、开题，到论文写作的整个过程，汪老师都倾注了大量的心血. 正是在汪老师科学、严谨的指导下，我的论文写作才能顺利进行，这篇论文也才得以顺利完成。

指导教师：论文题目：留数理论及其在计算实积分中的应用学院：专业：班级：学号：姓名：留数理论及其在计算实积分中的应用摘要：留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物。

留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法。

在此主要探讨留数定理对实积分的计算。

把求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算。

本文主要介绍留数定义、留数定理定义、留数计算方法、利用留数定理计算实积分的方法。

关键词：留数，留数定理，实积分。

引言：留数的一个很重要的应用是计算一些特殊类型的实积分。

如，在研究阻尼振动时计算积分dx x x sin 0⎰∞；在研究光的衍射时，需要计算菲涅尔积分dx 2sinx 0⎰∞；在热学中需要计算积分⎰∞-0cos e bxdx ax （a>0，b 为任意实数）等。

如果用实函数分析中的方法来计算这些积分几乎是不可能的，即便能计算某些积分，过程也很繁琐且易出错。

因此，利用留数定理将实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分来进行计算，就相对简单多了。

要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，实积分可化为某个沿闭路的积分。

下面主要介绍留数及留数定理的定义和计算，还有利用留数定理计算类型为⎰πθθ20)sin ,(cos R ，dx e x Q x P dx x i a -)()(,Q(x )P(x )⎰⎰+∞∞-+∞∞（a>0）的实积分和积分路径上有奇点的积分。

另外还会介绍利用留数定理计算物理学中常用的实积分。

一、留数 1.1留数定义设0z 是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在0z 处的洛朗展开式中负一次幂项的系数1-C 称为f(z)在0z 处的留数。

记作Res[f(z),0z ],即 Res[f(z),0z ]=1-C 。

显然，留数1-C 就是积分⎰c dz z f )(i21π 的值，其中C 为解析函数f(z)在0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线。

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分sin xdx x∞⎰，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->⎰为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。

而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。

2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰⎰；3）()lf z dz ⎰可以应用留数定理，1()l f x dx ⎰就是所求的定积分。

如果2()l f z dz ⎰较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则dz izdx =∴dz dx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰ 类型二-()f x dx ∞∞⎰.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数图1至少高于()x ϕ两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=⎰()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+⎰⎰⎰根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x dx f z dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dzRf z dz zf z zf z zf z zf z zzRππ=≤≤=⋅→⎰⎰⎰所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理 如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=⎰求解方法：000111()cos ()()()()222imx imx imx imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+⎰⎰⎰⎰经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=⎰⎰⎰⎰同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=⎰⎰ 由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和所以0()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和 0()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形 考虑积分-()f x dx ∞∞⎰，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路.于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++⎰⎰⎰⎰⎰取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有()1()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=⋅-⎰⎰所以()0lim 0C P z dz εεα→-=⎰而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εεϕϕπαεϕππαααε----=-==-=---⎰⎰⎰ 于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑⎰上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx i Resf z iResf z ππ∞∞=+∑∑⎰上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分图（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞⎰解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=⎰⎰ 这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有10=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞⎧⎫==⋅⎨⎬⎩⎭⎰被积函数在单极点的留数 即sin =2x dx x π∞⎰推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==⎰⎰ (m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-⎰⎰ (m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰和20cos()x dx ∞⎰解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e == ∴2210ix I iI e dx ∞+=⎰取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20iz le dz =⎰即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=⎰⎰⎰令R →∞.222()/4/4/4lim lim()i i i i i RRR R ee d eed eed ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-⎰⎰⎰/4(1)28i e i πππ=-=-+图4/4222222i R Riz Reiziz CC z Re dz e dz eiziz π==+⎰⎰2Riz C e dz ⎰而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R Rπ---≤+→ （于R →∞） 2222sin 2cos 2sin 22222222R RRizRiR R i i C C C e e e dz Re id Rd iz iR e R ϕϕϕϕϕϕϕ-+-=≤⎰⎰⎰2sin 221max 02424R e R R ϕππ-⎛⎫≤=→⎪ ⎪⎝⎭（于R →∞） 所以21(1)08I iI i π+-+=即18I π=，28I π=（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分2co 0)s (,ax e bx b dx a ∞->⎰为任意实数解：由类型三，将原积分改写2201cos 2ax ax ibxe bxdx e e dx ∞∞---∞=⎰⎰ 取如图所示回路，由于矩形区域内函数2axibxe-+无奇点，所以根据留数定理得20az ibzledz -+=⎰即22222340NaxibxazibzazibzazibzNl l l e dx e dz e dz e dz -+-+-+-+-+++=⎰⎰⎰⎰图5当N →∞时，2222234ax ibxaz ibzaz ibzaz ibzl l l edx edz edz edz ∞-+-+-+-+-∞=---⎰⎰⎰⎰只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出2ax ibxedx ∞-+-∞⎰所以，2cos ax e bxdx ∞-⎰就可以求出.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。