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1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。
2021年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝．2．已知1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根（i为虚数单位），则2a+b＝．3．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则xy＝．4．已知球的主视图的面积为，则该球的体积为．5．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为．6．已知实数x、y满足条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为．7．方程（log3x）2+log93x＝2的解集为．8．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：高一6 6.577.58高二6789101112高三3 4.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为．9．已知A（1，0）、B（0，﹣1），若曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，则t的取值范围为．10．将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，则b的最小值为．11．已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a+2020b﹣ab＝0，m+n＝8（），则（m+）•（n+）的取值范围为．12．已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知实数a≠0，则“a＜1”是“＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．以圆x2+y2+4x+3＝0的圆心为焦点的抛物线标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x15．已知函数f（x）（x∈D），若对任意的x∈D，都存在t∈D，使f（t）＝﹣f（x）成立，称f（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（）①f（x）＝x2；②f（x）＝lnx；③f（x）＝x+；④f（x）＝cos x．A．1个B．2个C．3个D．4个16．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m，且对任意的n∈N*都有a n+a n+1＝2n+1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数m，使得{a n}为等差数列；②在实数m，使得{a n}为等比数列；③若存在k∈N*使得S k＝S k+1＝55，则实数m唯一．A．①B．①②C．①③D．①②③三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，已知圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E﹣CD﹣B的大小（结果用反三角函数值表示）．18．已知函数f（x）＝sin x，x∈R．（1）设g（x）＝f（2x）+2f2（x+），求函数g（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）＝，b＝1，△ABC 的面积为，求sin C的值．19．在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h（x）万元，已知h（x）＝．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求a的值；（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．20．（16分）已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点A（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．（1）若直线l经过F2，求△F1PQ的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程；（3）若＝λ，求实数λ的取值范围．21．（18分）已知无穷实数列{a n}，n∈N*，若存在M＞0，使得对任意n∈N*，|a n|≤M恒成立，则称{a n}为有界数列；记b i＝|a i+1﹣a i|，（i＝1，2，3，…，n﹣1），若存在T＞0，使得对任意n≥2，n∈N*，b1+b2+b3+…+b n﹣1≤T恒成立，则称{a n}为有界变差数列．（1）已知无穷数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*，判断{a n}是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为c1＝1，公比为实数q的等比数列{c n}为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列{d n}和{e n}都为有界数列，记f n＝d n•e n，n∈N*，证明：数列{f n}为有界变差数列．参考答案一、填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝{﹣1，0，1}．解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．已知1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根（i为虚数单位），则2a+b＝﹣2．解：因为1+i是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根，所以1﹣i也是实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的根，故，解得a＝﹣2，b＝2，所以2a+b＝﹣2．故答案为：﹣2．3．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则xy＝2．解：二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，解得，则xy＝2．故答案为：2．4．已知球的主视图的面积为，则该球的体积为．解：πR2＝，R＝，V＝πR3＝．故答案为：．5．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为20．解：展开式的二项式系数和为2n∴2n＝64解得n＝6∴展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展开式的常数项为C63＝20故答案为206．已知实数x、y满足条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值为2．解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（1，0），由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．7．方程（log3x）2+log93x＝2的解集为．解：将原方程变成，解得log3x＝1或，∴x＝3或，∴原方程的解集为．故答案为：．8．某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：高一6 6.577.58高二6789101112高三3 4.567.5910.51213.5则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为140．解：样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为20﹣6＝14（人），估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为200×＝140（人）．故答案为：140．9．已知A（1，0）、B（0，﹣1），若曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，则t的取值范围为[2，+1）．解：由题意，可知t＝•＝||||cos∠PBA，当||cos∠PBA，是向量在上的投影，曲线C：y＝上存在两个不同的点P满足条件•＝t，如图中的红色直线与半个圆有两个交点，红色直线的斜率为﹣1，直线方程设为：y＝﹣x+b，直线与圆x2+y2＝1（y≥0）有2个交点，可知b≥1，，解得＜b，此时t＝•∈[，），即t＝•∈[2，+1）．故答案为：[2，+1）．10．将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，则b的最小值为．解：将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的y＝g（x）＝2sin（2x+）﹣1图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个零点，即方程sin（2x+）＝在[0，b]（b＞0）上至少含有2021个解．则当b最小时，满足2b+＝+2020π，求得b＝，故答案为：π．11．已知a、b、m、n均为正实数，且满足2021a+2020b﹣ab＝0，m+n＝8（），则（m+）•（n+）的取值范围为[2﹣2，+∞）．解：（m+）•（n+）＝mn+＝mn+＝mn+＝mn+﹣2，因为2021a+2020b﹣ab＝0，所以＝1，∴m+n＝8（）＝8，则（m+）（n+）＝mn+﹣2，设t＝mn＝m（8﹣m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，∵0＜m＜8，∴t∈（0，16），∴（m+）（n+）＝mn+﹣2＝t﹣2≥2﹣2，当且仅当t＝，即t＝时取等号，∴（m+）（n+）≥2﹣2，∴（m+）（n+）的取值范围为[2﹣2，+∞）．故答案为：[2﹣2，+∞）．12．已知a、b、c为正整数，方程ax2+bx+c＝0的两实根为x1，x2，且|x1|＜1，|x2|＜1，则a+b+c的最小值为9．解：依题意，可知，从而可知x1，x2∈（﹣1，0），所以有，故，又a，b，c为正整数，取c＝1，则a+1＞b⇒a≥b，所以a2≥b2≥4ac＝4a⇒a≥4，所以b2≥4ac≥16．又b＜4+1＝5，所以b＝4，因此a+b+c有最小值为9．故答案为：9．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．已知实数a≠0，则“a＜1”是“＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：实数a≠0，则“a＜1”，“＞1”不一定成立，如a＜0，＜0，所以充分性不成立；＞1时，﹣1＞0，化为＜0，解得0＜a＜1，所以a＜1，必要性成立；是必要非充分条件．故选：B．14．以圆x2+y2+4x+3＝0的圆心为焦点的抛物线标准方程为（）A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝﹣8x D．y2＝8x解：x2+y2+4x+3＝0的圆心（﹣2，0），圆心为焦点的抛物线标准方程为y2＝﹣8x．故选：C．15．已知函数f（x）（x∈D），若对任意的x∈D，都存在t∈D，使f（t）＝﹣f（x）成立，称f（x）是“拟奇函数”，下列函数是“拟奇函数”的个数是（）①f（x）＝x2；②f（x）＝lnx；③f（x）＝x+；④f（x）＝cos x．A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意，依次分析4个函数，①f（x）＝x2，有f（x）≥0，一定不满足f（t）＝﹣f（x），不是“拟奇函数”；②f（x）＝lnx，设D＝（0，+∞），若对任意的x∈D，都存在t＝∈D，满足f（t）＝﹣f（x），则f（x）＝lnx是“拟奇函数”；③f（x）＝x+，定义域为{x|x≠0}，设其定义域为D，若对任意的x∈D，都存在t＝﹣x∈D，满足f（t）＝﹣f（x），则f（x）＝x+是“拟奇函数”；④f（x）＝cos x，设D＝（0，π），若对任意的x∈D，都存在t＝π﹣x∈D，满足f（t）＝﹣f（x），在f（x）＝cos x是“拟奇函数”；故选：C．16．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝m，且对任意的n∈N*都有a n+a n+1＝2n+1，则下列三个命题中，所有真命题的序号是（）①存在实数m，使得{a n}为等差数列；②在实数m，使得{a n}为等比数列；③若存在k∈N*使得S k＝S k+1＝55，则实数m唯一．A．①B．①②C．①③D．①②③解：∵a n+a n+1＝2n+1，∴，则a n+2﹣a n＝2，由a1+a2＝3，a1＝m得，a2＝3﹣m，故，①当m＝1时，{a n}为等差数列，①对；②{a n}不可能为等比数列，②错；③当n为偶数时，，当n为奇数时，，∵S k＝S k+1＝55，∴S k＝55，且a k+1＝0，（i）当k为偶数时，，解得；（ii）当k为奇数时，，解得，∴m不唯一，③错．故选：A．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，已知圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E﹣CD﹣B的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）∵圆锥SO底面圆的半径r＝1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为．∴SA＝2，∴圆锥SO的侧面积S侧＝πrl＝2π．（2）∵E为母线SA的中点，EA＝1，SO垂直圆O所在的平面，CD⊂圆O所在的平面，∴CD⊥SO，∵CD⊥AB，SO∩AB＝O，SO、AB⊂平面SOA，∴CD⊥平面SOA，∵OE⊂平面SOA，∴OE⊥CD，∵AB⊥CD，∴∠EOB是二面角E﹣CD﹣B的平面角，在△BOE中，OB＝OE＝1，BE＝，∴cos∠EOB＝﹣，∴二面角E﹣CD﹣B的大小为．18．已知函数f（x）＝sin x，x∈R．（1）设g（x）＝f（2x）+2f2（x+），求函数g（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）＝，b＝1，△ABC 的面积为，求sin C的值．解：（1）g（x）＝f（2x）+2f2（x+）＝sin2x+2sin2（x+），＝sin2x+2cos2x＝sin2x+cos2x﹣1＝2sin（2x+）+1，因为﹣1≤sin（2x+）≤1，所以﹣1≤f（x）≤3，故函数的值域[﹣1，3]；（2）f（A）＝sin A＝，所以A＝或A＝，因为S△ABC＝＝＝，所以c＝4，当A＝时，a2＝b2+c2﹣bc＝16+1﹣4＝13，所以b＝，所以sin C＝＝；当A＝时，a2＝b2+c2+bc＝16+1+4＝21，故b＝，所以sin C＝＝，故sin C＝或sin C＝．19．在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本h（x）万元，已知h（x）＝．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求a的值；（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．解：（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为1600a+49×40+250万元，利润为50×40﹣（1600a+49×40+250）＝190，解得a＝﹣；（2）当x∈（0，50]时，y＝50x﹣（）＝，∵对称轴方程为x＝﹣2＜0，则函数在（0，50]上为增函数，∴当x＝50时，y max＝425万元；当x∈（50，100]时，y＝50x﹣（51x+﹣860+250）＝610﹣（x+）＝610.5﹣（）≤610.5﹣2≈445.4．当且仅当，即x＝≈82.1时取等号．即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．20．（16分）已知椭圆C：+y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点A（0，2）的直线l交椭圆C于不同的两点P、Q．（1）若直线l经过F2，求△F1PQ的周长；（2）若以线段PQ为直径的圆过点F2，求直线l的方程；（3）若＝λ，求实数λ的取值范围．解：（1）因为椭圆C：+y2＝1，所以椭圆C的长半轴长为，由椭圆的定义可得，，所以△F1PQ的周长为；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，此时Q（0，1），P（0，﹣1），又F2（1，0），所以，所以符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与，则有（1+2k2）x2+8kx+6＝0，所以，△＝64k2﹣4（1+2k2）×6＞0，解得，因为，＝（x1﹣1）（x2﹣1）+（kx1+2）（kx2+2）＝0，所以（k2+1）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5＝0，故，解得，故直线l的方程为11x+8y﹣16＝0，综上所述，直线l的方程为x＝0或11x+8y﹣16＝0；（3）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，若Q（0，1），P（0，﹣1），则，所以，此时；若Q（0，﹣1），P（0，1），则，所以，此时λ＝3；②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），又A（0，2），所以，因为＝λ，所以，故，由（1）可知，，所以，则，即，因为，故3（1+2k2）＞12，，所以，因为，由，可得，即，所以，综上所述，实数λ的取值范围为．21．（18分）已知无穷实数列{a n}，n∈N*，若存在M＞0，使得对任意n∈N*，|a n|≤M恒成立，则称{a n}为有界数列；记b i＝|a i+1﹣a i|，（i＝1，2，3，…，n﹣1），若存在T＞0，使得对任意n≥2，n∈N*，b1+b2+b3+…+b n﹣1≤T恒成立，则称{a n}为有界变差数列．（1）已知无穷数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*，判断{a n}是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为c1＝1，公比为实数q的等比数列{c n}为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列{d n}和{e n}都为有界数列，记f n＝d n•e n，n∈N*，证明：数列{f n}为有界变差数列．解：（1）∵，∴若使数列{a n}为有界数列，则需使M≥1，由知，a n＞a n+1，则b i＝|a i+1﹣a i|＝a i﹣a i+1，（i＝1，2，3，4……，n﹣1），∴b1+b2+b3+……+b n﹣1＝a1﹣a n＜a1＝1，则T≥1即可，则数列{a n}为有界变差数列．（2），则b i＝|a i+1﹣a i|＝|q i﹣q i﹣1|＝|q﹣1|•|q|i﹣1，当q＝1时，则b i＝0，显然满足题意．当q＝﹣1时，则b i＝2，则b1+b2+b3+…+b n﹣1＝2（n﹣1），若2（n﹣1）≤T，则n≤，舍去．当q≠1时，则{b n}是首项为|q﹣1|，公比为|q|的等比数列，则b1+b2+b3+…+b n﹣1＝，若0＜|q|＜1时，，则符合题意．若|q|＞1时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去．综上可得，q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1]．（3）证明：因为{d n}和{e n}为有界数列，则存在M1＞0，使得对任意的n∈N*，|d n|≤M1恒成立，则存在M2＞0，使得对任意的n∈N*，|e n|≤M2恒成立，b i＝|d i+1e i+1|﹣|d i e i|＝|d i+1e i+1﹣d i e i+1+d i e i+1﹣d i e i|＝|（d i+1﹣d i）e i+1+（e i+1﹣e i）d i|≤|（d i+1﹣d i）e i+1|+|（e i+1﹣e i）d i|，又因为{d n}和{e n}为单调递增的有界数列，b i＝|d i+1e i+1﹣d i e i|≤|d i+1﹣d i|•|e i+1|+|e i+1﹣e i|•|d i|≤M1（d i+1﹣d i）+M2（e i+1﹣e i），则b i≤M2（d i+1﹣d i）+M1（e i+1﹣e i），则b1+b2+b3+…+b n﹣1≤M2（d n﹣d1）+M1（e n﹣e1）≤M2（|d n|+|d1|）+M1（|e n|﹣|e1|）≤M2•2M1+M1•2M2＝4M1M2，所以存在T≥4M1M2即可，则数列{f n}为有界变差数列．。
1华二附中2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16~题每题4分,第7-12题每题5分）1．直线3310x y +-=的倾斜角为______．2．抛物线2y x =的准线方程为______．3．已知12,F F 是椭圆22:132x y C +=的两个焦点，椭圆C 上的两个动点P 、Q 与1F 满足三点共线，则2PQF △的周长是______．4．平行直线210x y +-=与2430x y ++=的距离为______．5．已知双曲线2221(0)4x y m m -=>的一条渐近线方程是520x y -=，则m =______．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点12,F F 是两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12120F PF ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是______．7．斜率为1的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，若l 与圆22(5)8x y -+=相切，则P 等于______．8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为______．9．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为170米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为______．210．已知,x y 为实数，代数式22221(2)9(3)y x x y +-++-++的最小值是______．11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．二、选择题（共4题，共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）13．椭圆22152x y +=的长轴长为（）A ．25B ．5C ．4D ．214．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若,A B 两点的横坐标之和为3，则||AB =（）A ．5B ．143C ．133D ．415．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3,ABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A ．43B ．12C ．123D ．3316．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题（共5题，共78分）17．（14分）直线1:2110l x y +-=与直线2:2100l x y +-=相交于点P ，直线l 经过点P （1）若直线2l l ⊥，求直线l 的方程：（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．18．（14分）已知抛物线2:2C y px =（p 为常数，0p >）的焦点F 与椭圆22195y x +=的右焦点重合，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线AB 的斜率为1，求||AB ．419．（14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3,6MON OA ∠=-=（百米），Q 到直线ON ，ON 的距离分别为3（百米）（百米）．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r=（百米）(09,01)t a ≤<<<，当喷泉表演开始时，一观光车s （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA（百米/分钟）的速度开往休息区A ．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B=是双曲线上的两点，AB的中点(1,2)M．（1）求双曲线C的方程：（2）求直线AB方程：（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，问A、B、C、D四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．5621．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．7参考答案一、填空题1.120;2.14x =-;3.;4.52; 5.5;6.,12⎫⎪⎪⎣⎭;7.218或;8.3;；11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．-【解析】设双曲线的右焦点为1F ,因为O 为1FF 中点,M 为PF 中点,所以MO 为三角形1PFF 的中位线,11,2MO PF =又1122MT PT PM PF FT PF PF FT=-=--=-所以()112MO MT PF PF FT FT a-=-+=-a FT ===又所以MO MT -=.-.12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．【解析】由()2248x y -+=得22880x x y -++=,于是22222828,x x y x y -++=+从而()22221442x x y x y -++=+,=8等于点P 到点()2,0M 的距离.所以PQ PQ PM MQ =+ ,而min ||MQ =-=所以PQ +二、选择题13.A14.A 15.A 16.C15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A．B ．12C．D ．3【答案】A【解析】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()((8,0,,A B C ---.圆D 的方程为223x y +=，可设)Pαα，所以(,AB BP αα==+- .故126sin 126AB BP πααα⎛⎫⋅=++-=+≤ ⎪⎝⎭故选:A.16．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）9①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】由方程方程1x x y y +=-,当0x ,0y 时不成立;当0,0x y ><时,22149y x -=；当0,0x y <>时,22194x y -=;当0,0x y 时,22194x y +=;如下图示:由图判断函数在R 上单调递减,故(1)正确,(2)错误;当()320f x x +=,即()23f x x =-,函数()()32g x f x x =+的零点,就是函数()y f x =和23y x =-的交点,而23y x =-是曲线221,049y x x -=>,0y <和221,0,094x y x y -=<>的渐近线,所以没有交点.由图知,23y x =-和221,094x y x += ,0y 没有交点,所以函数()()32g x f x x =+不存在零点,故(3)正确;由图,()y f x =上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y 的图象上,即满足22194x y +=,设(),P x y,PO ===,当0x =时取最小值2,故(4)正确.故选:C .三．解答题1017.（1）250x y -+=（2）43070x y x y -=+-=或18.（1）28y x =（2）16AB =19.（1）AB =(2)不会，理由略20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B =是双曲线上的两点，AB 的中点(1,2)M ．（1）求双曲线C 的方程：（2）求直线AB 方程：（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，问A 、B 、C 、D 四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．【答案】（1）2212y x -=（2）1y x =+（3）略【解析】(1)依题意得c ce a ⎧=⎪⎨==⎪⎩,解得1a =.所以222312b c a =-=-=,故双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得:()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+,由题意得121212,2,4x x x x y y ≠+=+=,所以()1212121221x x y y x x y y +-==-+,即 1.AB k =故直线AB 的方程为1y x =+.11(3)假设A B C D 、、、四点共圆,且圆心为P .AB 为圆P 的弦,所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上,又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ,圆心P 为CD 中点M .下面只需证CD 的中点M 满足MA MB MC MD ===即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得:()1,0A -,()3,4B .由(1)得直线CD 方程:3y x =-+,由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:(3C -+(63D ---+,()3,6CD M ∴-⋅的中点2,MA MB MC MD MA MB MC MD ======∴=== 即A B C D 、、、四点在以点()3,6M -为圆心,为半径的圆上.21．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．12【答案】（1）2214x y +=（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】(1)设()()00,,,W x y D x y ,则()()00,0,0,A x B y ,由题意知1AB =,所以WA AB = ,得()()000,,x x y x y --=-,所以00,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩因为22001x y +=,得2214x y +=,故曲线C 的方程为2214x y +=.(2)由题意可知,直线12,l l 不平行坐标轴,则可设1l 的方程为:2x my =-,此时直线2l 的方程为12x y m=--.由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得:()22440m y my +-=,解得:244m y m =+或0y =(舍去),所以222428244m m x m m m -=⋅-=++,所以222284,44m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得:222284,4141m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.①当1m ≠±时,直线MN 的斜率存在,13()222224222244455556441,:,2828161644445441MN MN m m m m m m m m k l y x m m m m m m m ++⎛⎫++====+ ⎪-----⎝⎭-++所以直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.②当1m =±时,直线MN 斜率不存在,此时直线MN 方程为:65x =-,也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上所述:直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)存在点。
2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分，满分54分）1.（4 分）已知 zi = l+z', Z2=2+3Z',求 zi+z2=.2.（4 分）已知 A={x|2xWl}, B={-1, 0, 1},贝i| .3.（4分）若^+y2 -2x~ 4y=0,求圆心坐标为 .4.（4分）如图正方形ABCD,求百.5.（4 分）已知f（x）+2,则广1 （1） =.x6.（4分）已知二项式（x+a） 5展开式中，x2的系数为80,则a=.x<37.（5分）已矢小2x-y-2》o, z=x-y,则z的最大值为 .3x+y-8》08.（5分）已知{a”}为无穷等比数列，671=3, S的各项和为9, bn=ain,则数列化”}的各项和为.9.（5分）己知圆柱的底面圆半径为1,高为2, AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为 .10.（5分）已知花博会有四个不同的场馆A, B, C, D,甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为.11.（5分）已知抛物线y2=2px（p>0）,若第一象限的A, B在抛物线上，焦点为F, |时| =2,|BF|=4, |AB|=3,求直线AB的斜率为.12.（5 分）已知 a庭N* （z=l, 2,…，9）对任意的k€N* （2WZW8）, ak=ak-l+]或破=ak+i - 1中有且仅有一个成立，ai—6, <29=9,则ai+---+a9的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.y= - 3xB. j=x3C. y=log3xD. y=3xx=3t~4t314.（5分）已知参数方程< * 二_, re[-i, 1],以下哪个图符合该方程（）.y=2tVl-t2三、解答题17. （14 分）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB=BC=2, 441=3.(1) 若F 是棱A L D I 上的动点，求三棱锥C-PAD 的体积;(2) 求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小.18. （14 分）在△ABC 中，已知 Q =3, b=2c.（1）若 A = 求 S/VlBC.(2) 若 2sinB - sinC= 1,求 C MBC .19. (14分)已知一企业一年营业额1.1亿元，每年增加0.05亿元，利润0.16亿元，每年增 长4%.A. C. 15. （5 分） 已知 f （x ） =3sinx+2,对任意的 xi£[O,=2/-(x+0) +2成立，则下列选项中，。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A. y =−3xB. y =x 3C. y =log 3xD. y =3x2. 已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程A.B.C.D.3. 已知f(x)=3sinx +2，存在任意的x 1∈[ 0,π2]，都存在x 2∈[ 0,π2]，使得f(x)=2f(x +θ)+2成立，则下列选项可行 θ的值是A. 3π5B. 4π5C. 6π5D. 7π54. 已知x 1、y 1、x 2、y 2、x 3、y 3为6个不同的实数，满足 ①x 1<y 1，x 2<y 2，x 3<y 3， ②x 1+y 1=x 2+y 2=+， ③x 1y 1+x 3y 3=2x 2y 2，以下选项值恒成立的是A. ．2x 2<x 1+x 3B. 2x 2>x 1+x 3C. x 22<x 1x 3D. x 22>x 1x 3二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 已知z 1=1+i ，z 2=2+3i ，则z 1+z 2=_____． 6. 已知A ={x|2x ≥1}，B ={ −1,0，1 }，则A B =_____． 7. 已知圆x 2+y 2+2 x −4y =0，则该圆的圆心坐标为_____． 8. 如图，正方形A B C D 的边长为3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____． 9. 已知f(x)=3x +2，则f −1(1)=_____．10. 已知二项式(x +a)5展开式中，的系数为80，则a =_____． 11. 已知实数 x , y 满足{x ≤32x −y −2≥03x +y −8≥0，则z =x −y 的最大值为_____．12. 已知无穷等比数列 {a n } 和 {b n }，满足a 1=3，b n =a 2n ，若a 2n 的各项和为9，则数列{b n }的各项和为_____．13. 在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB ，C 是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC 的面积的取值范围为_____．14.有四个不同的馆，甲、乙2人每人选2个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为_____．15.已知抛物线y2=2px(p>0)，若第一象限的 A ,B在抛物线上，焦点为F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB的斜率为_____．16.已知a i∈N∗(i=1,2，⋯，9)，对a k=a k−1+1或a k=a k+1 −1(2≤k≤8)中有且仅有一个成立，且a1=6，a9=9，则a1+a2+⋯+a9的最小值为_____．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥C−PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角．18.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2c．(1)若A=2π，求△ABC的面积；3(2)若2sinB−sinC=1，求△ABC的周长．19.已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%．(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2)哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%．20. 已知椭圆 Τ：x 22+y 2=1，F 1，F 2是左右焦点，直线且 l 过点P(m,0) (m <−√2)交椭圆 Τ于A ，B 两点，点A ，B 在 x 轴上方，点A 在线段BP 上 (1)若P 为上顶点，|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求m 的值；(2)若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线 l 的方程； (3)对于任意点P ，是否存在唯一的直线 l ，使得F 1⃗⃗⃗ A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若存在，求出直线 l 的斜率，若不存在，请说明理由．21. 对于定义域为R 的函数f(x)以及非空数S ：若对任意x 1，x 1∈R ，当x 1−x 2∈R 时，都有f(x 1)−f(x 2)∈S ，则称f(x)是S 关联的． (1)若f(x)=2 x +1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是 [0,1] 关联的； (2)设f(x)是 { 3 } 关联的，当x ∈[0,3]， f(x)=x 2−2x ，解不等式：2≤f(x)≤3； (3)证明：f(x)既是 { 1 } 关联的，又是关联的，当且仅f(x)是 [1,2] 关联的．答案解析一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1.以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A. y =−3xB. y =x 3C. y =log 3xD. y =3x【答案】A【解析】幂函数y =x 3在R 上单调递增，对数函数y =log 3x 与指数函数y =3x ，既不是奇函数也不是偶函数，所以选项 B ，C ，D 都不符合题意，故选：A ． 2.已知参数方程，，，以下哪个图符合该方程A.B.C.D.【答案】B 【解析】当t =0，x =0，y =0，所以过原点，排除A ， 当t =1时，x =−1，y =0，排除C 和D ， 当x =3t −4t 3=0，t 1=0，t 2=−√32，t 3=√32，则y 1=0，y 2=−√32，y 3=√32，故选：B ．3.已知f(x)=3sinx +2，存在任意的x 1∈[ 0,π2]，都存在x 2∈[ 0,π2]，使得f(x)=2f(x +θ)+2成立，则下列选项可行 θ的值是A. 3π5B. 4π5C. 6π5D. 7π5【答案】B【解析】【解析】由题意知，x 1是任意性，x 2是存在性，设f(x)=3sinx +2 的值域为A ，f(x)=2f(x +θ)+2的值域为B ，则A ⊆B ，A =[2,5]，对于选项A ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +35π)+6，B ≈[4.14,11.70]，不符合A ⊆B ，排除A ，对于选项B ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +45π)+6，B ≈[1.14,9.52]，符合A ⊆B ，B 项正确，对于选项C ，f(x)=2f(x +θ)+2=6sin(x +65π)+6，B ≈[1.1,2.5]，不符合A ⊆B ，排除C ，对于选项D，f(x)=2f(x+θ)+2=6sin(x+75π)+6，不符合A⊆B，故选：B．4.已知x1、y1、x2、y2、x3、y3为6个不同的实数，满足 ①x1<y1，x2<y2，x3<y3， ②x 1+y1=x2+y2=+， ③x1y1+x3y3=2x2y2，以下选项值恒成立的是A. ．2x2<x1+x3B. 2x2>x1+x3C. x22<x1x3D. x22>x1x3【答案】A【解析】【解析】方法：利用凹凸性构造函数由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=k，并令f(x)=x(k−x)=−x2+kx，则x1y1=x1(k−x1)=f(x1)，同理x2y2=f(x2)，x3y3=f(x3)，条件 ③转化为f(x1)+f(x3)2=f(x2)，考虑到函数f(x)为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数，因此f(x1)+f(x3)2=f(x2)，由条件 ①可得，x i<x1+y i2=k2(i=1,2，3)，且函数f(x)在(−∞,k2)上单调递增，因此f(x2)<x2<x1+x32，即2x2<x1+x3恒成立，故选：A．方法2：特殊值排除法由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=9，并令x1=1，x2=2，x3=4，满足条件，显然选项B，C，D均错误，故选：A．二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知z1=1+i，z2=2+3i，则z1+z2=_____．【答案】3+4i．【解析】【解析】+=1+2+(1+3)i=3+4i，故答案为：3+4i．6.已知A={x|2x≥1}，B={−1,0，1}，则A B=_____．【答案】{−1,0}．【解析】【解析】A ={x |x ≤12}，则 A ∩B = { −1,0 }，故答案为：{ −1,0 }． 7.已知圆x 2+y 2+2 x −4y =0，则该圆的圆心坐标为_____． 【答案】( 1,2 )．【解析】【解析】x 2+y 2+2 x −4y =0，配方化简得(x −1)2+(y −2)2= 5，故答案为：(1,2 )．8.如图，正方形A B C D 的边长为3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____． 【答案】9.【解析】【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2×3×√22=9，故答案为：9． 9.已知f(x)=3x +2，则f −1(1)=_____． 【答案】−3．【解析】【解析】令3x +2=1，解得x =−3，故答案为：−3． 10.已知二项式(x +a)5展开式中，的系数为80，则a =_____． 【答案】2.【解析】【解析】由题意可知，二项展开式的通项为T k+1=C 5k x 5−k a k，所以C 53a 3=80，所以a =2，故答案为：2．11.已知实数 x , y 满足{x ≤32x −y −2≥03x +y −8≥0，则z =x −y 的最大值为_____．【答案】4.【解析】【解析】由题意作出可行域，如图所示：当直线y =x −z 经过点A(3,−1)时，z =x −y 的最大值为4， 故答案为：4．12.已知无穷等比数列 {a n } 和 {b n }，满足a 1=3，b n =a 2n ，若a 2n 的各项和为9，则数列{b n }的各项和为_____． 【答案】185．【解析】【解析】由题意可知，设等比数列的公比为q ，则a 11−q =31−q =9，解得q =23，所以等比数列{b n }的各项和T n =b11−q 2=a21−q 2=a 1q1−q 2=185，故答案为：185．13.在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB ，C 是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则△ABC 的面积的取值范围为_____． 【答案】[2,√5].【解析】【解析】过C 作CD ⊥AB ，过点C 作CE ⊥⊙O ， 由三垂线定理可知DE ⊥AB ，CD =√CE 2+DE 2， 因为0≤DE ≤1，所以2≤CD ≤√5， 故S △ABC =CD ∈[ 2,√5 ]， 故答案为：[ 2,√5 ].14.有四个不同的馆，甲、乙2人每人选2个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为_____． 【答案】23．【解析】P =C 41⋅A 32C 42⋅C 42=23，故答案为：23．15.已知抛物线y 2=2px ( p >0 )，若第一象限的 A ,B 在抛物线上，焦点为 F ，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线 AB 的斜率为_____． 【答案】√52．【解析】由焦半径公式得，|AF|=x 1+p 2=2，|AF|=x 2+p2= 4，|AB|= 3，可知x 2−x 1= 2，又因为|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√22+(y 2−y 1)2= 3，所以y 2−y 1=√5， 因为x 2−x 1=y 22−y 122p= 2，(y 2−y 1)(y 2+y 1)2p = 2， 解得y 2+y 12p=√5，所以k AB =y 2−y1x 2−x 1=y 2−y 1y 22−y 122p=2py2+y 1=√52，故答案为：√52．16.已知a i ∈N ∗(i =1,2，⋯，9)，对a k =a k−1+1或a k =a k+1 −1( 2≤k ≤8 )中有且仅有一个成立，且a 1=6，a 9=9，则a 1+a 2+⋯+a 9的最小值为_____．【答案】31．【解析】若a1=6，a2=1，a3=2，a4=1，a5=2，a6=1，a7=2，a8=8，a9=9，此时a1+a2+⋯+a9=32，若a1=6，a2=7，a3=1，a4=2，a5=1，a6=2，a7=1，a8=2，=9，此时a1+a2+⋯+a9=31，故a1+a2+⋯+a9的最小值为31，故答案为：31．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3．(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥C−PAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角．【答案】(1)2；(2)arcsin√2613．【解析】(1)V C−PAD=V P−ADC13×S△ADC×ℎ=13×2×3=2；(2)解法1：因为O1B1⊥A1C1，O1B1⊥AA1，A1C1∩A1A A1，所以O 1B1⊥平面ACC1A1，所以θ=B1AO1为AB1与平面ACC1A1所成的角，在△B1AO1中，O1B1=√2，AB1=√13，sinθB1O1AB1√2√13√2613，θ=arcsin√2613，直线AB1与平面ACC1A1所成角的大小为arcsin√2613．解法2：建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标A( 2,0，0 )，B 1( 2,2，3 )，D( 0,0，0 )，B( 2,2，0 )，A 1(2,0，3 )，C ( 0,2，0 )， 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,2，3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 2,2，0 )，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,0，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −2,2，0 )， 设n⃗ =(u,v ，w)为平面ACC 1A 1的一个法向量， 则n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3w =0，n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2u +2v =0， 解得w =0，u =v ，取 u =1，n (1,1，0)， 设直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为θ，sinθ=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=2√13×√2=√2613，θ=arcsin√2613，故直线AB 1与平面ACC 1A 1所成角的大小为arcsin √2613．18.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =3，b =2c ． (1)若A =2π3，求△ABC 的面积；(2)若2sinB −sinC =1，求△ABC 的周长． 【答案】 (1)9√314；(2)3+4√2+√5． 【解析】(1)由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2 b c cosA ，解得c 297，故S ΔABC 12bcsinA12×2 c 2×√329√314∵b sinBc sinC，b =2c ，∴ sinB =2sinC ，∵2sinB −2sinC =1，保存编辑 ∴sinC13，sinB 23， ∴cosC =2√23，cosB =√53， ∴sinA =sin(B +C)=4√29±√59， ∵0<sinA ≤1， ∴sinA =4√2−√59，∴a⋅sinC sinA 4√2+√53， ∴△ABC 的周长为：a +b +c =3+4√2+√5．19.已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%．(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2) 哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%． 【答案】 (1)31.5亿元； (2)2027． 【解析】前20个季度的营业额为等差数列，首项为1.1，公差为0.05，所以营业额的总和为：(1.1+1.1+0.05×19)×202=31.5亿元；设第n 个季度的营业额为a n ，a n =a 1+(n −1)d =0.05n +1.05， 设第n 个季度的利润为b n ，则b n b 1⋅q n−1 0.16 1.04n−1，则有a n 18%< b n ，解得n ≥26， 故在2027年第二季度可超过．20.已知椭圆 Τ：x 22+y 2=1，F 1，F 2是左右焦点，直线且 l 过点P(m,0) (m <−√2)交椭圆 Τ于A ，B 两点，点A ，B 在 x 轴上方，点A 在线段BP 上 (1)若P 为上顶点，|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求m 的值； (2)若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线 l 的方程； (3)对于任意点P ，是否存在唯一的直线 l ，使得F 1⃗⃗⃗ A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若存在，求出直线 l 的斜率，若不存在，请说明理由．【答案】(1)m =−1−√2(2)y =13(x +4√63)； (3)存在唯一的k =√12m 2−4．【解析】(1)利用椭圆几何性质∵|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a =√2， ∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+c =√2+1， ∴m =−1−√2 (2)利用方程思想设直线l 方程为y =k (x −m)，设A(x 1,y 1)(x 1<0)，则F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 1−1)+y 12=x 12−1 +y 12=13， ∵x 22+y 2=1，∴y 12=1−x 122，代入得F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 12−1+y 12=x 12+1−x 122−1=13，解得：x 1=−√63，y 1=√63，即直线l ：√63=k (−√63−m) ①，由点到直线距离得：d =|km|√1+k2=4√1515 ②， 联立 ①和 ②得{m =−4√63k =13，l 的方程为：y =13(x +4√63)；(3)联立方程消元法设直线l 方程为y =k(x −m)(斜率必存在，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则F 1A =(x 1−1,y 1)，F 2B =(x 2−1,y 2)， ∵F 1A//F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x 1+1)⋅y 2=(x 2+1)⋅y 1， ∴(x 1+1)k (x 2−m)=(x 2−1)k(x 1−m)， 化简得x 2+x 1+m(x 2−x 1)−2m =0 ①， 联立得{y =k(x −m)x 2+2y 2=2，∴(1+2k2)x2−4mk2x+2k2m2−2=0，∴{x1+x2=4mk21+2k2x1x2=2k2m2−21+2k2，代入①得，4mk21+2k2+m(x2−x1)−2m=0，∴x2−x1=21+2k2 ②，∴(x2−x1)2=−4x1x2=16k2−8k2m2+8(1+2k2)2，代入②得：4k2+2k2m2+1=0，故k2=12m2−4，对于任意一个m<−√2，存在唯一的k=√12m2−4，即直线有且只有一条．21.对于定义域为R的函数f(x)以及非空数S：若对任意x1，x1∈R，当x1−x2∈R时，都有f(x1)−f(x2)∈S，则称f(x)是S关联的．(1)若f(x)=2 x+1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是[0,1]关联的；(2)设f(x)是{3}关联的，当x∈[0,3]，f(x)=x2−2x，解不等式：2≤f(x)≤3；(3)证明：f(x)既是{1}关联的，又是关联的，当且仅f(x)是[1,2]关联的．【答案】(1)关联，不关联；(2)[1+√3,5]；(3)见解析．【解析】(1)一方面，而则另一方面，x1−x2∈[0,1]，f(x1)−f(x2)=2(x1−x2)∈[0,2]，f(x1)−f(x2)∉[0,1]，故f(x)=2 x+1是关联的，[0,1]不关联；(2)f(x)是{3}关联的，则x1−x2=3，f(x1)−f(x2)=3，故，则当，=(x−3)2+(x−3)+3=x2−8x+18，结合图像可知，2≤f(x)≤3分别在[0,3]，[3,6]有解， ①x∈[0,3]，2≤x2−2 x≤3，则1+√3≤x<3， ②x∈[3,6]，2≤x2−8 x+18≤3，则3≤x≤5，综上可知：不等式2≤f(x)≤3的解集为[1+√3,5]．(3)一方面，若f(x)是{1}关联的，且是关联的，则f(x+1)=f(x)+1，并且f(x)为递增函数，所以对于x1−x2∈[1,2]，1=f(x2+1)−f(x2)≤f(x1)−f(x2)≤f(x2+2)−f(x2)= 2，即f(x)是[0,3]关联的，另一方面，若f(x)是[1,2]关联的，则x1−x2∈[1,2]，，则，，故，可得，故f(x)是{1}关联的，再证f(x)是关联的， ①当，则，此时， ②当，，n∈N∗，则有，，则．综合 ①和 ②可知，f(x)是关联的．。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.2.方程33log 1log (2)x x =-+的解集为_________.3.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z 的虚部为1，则a =_________.4.已知cos 5cos(2),sin 32θππθθθ=-<，则sin 2θ=_________.5.若二项式21()n x x-的展开式共有6项，则此展开式中含4x 的项的系数是_________.6.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.7.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_________.8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，若254a a +=，则8a 的值为_________.9.已知球O 的半径是1，,,A B C 三点都在球面上，若A 和B 的球面距离、A 和C 的球面距离都是4π，B 和C 的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是_________.10.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(10)z y ax a =+-<<最大值为8，则a 的值为_________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A ，,E F 为圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为_________.12.已知0,0a b ≠>，若222()2f x b ax b a x b b =+-+-有两零点12,x x ，且120x x +<，则ab的取值范围上_________.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.关于“若4a b +=，则,a b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（）A.原命题为真，逆命题为假B.原命题为假，逆命题为真C.原命题为真，逆命题为真D.原命题为假，逆命题为假14.设34:02x xp x-≤，22:(21)0q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.[]2,1- B.[]31-， C.[)(]2,00,1- D.[)(]2,10,1-- 15.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定16.已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当AB 上一点F 满足(01)AF AB λλ=<<时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为（）A.12B.23C.35D.45三、解答题（本题共5小题，满分76分）17.（7分+7分）已知关于x 得二次方程：2(2)4(2)0(,)x i x ab a b i a b R ++++-=∈.（1）当方程有实数根时，求点(,)a b 的轨迹方程；（2）求方程实数根的取值范围.18.（7分+7分）已知函数23()sin 3sin cos (,,0)2f x a x a x x a b a b a =+-+<,（1）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.19.（3分+4分+7分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10kP x x=+（k 为常数，且>0k ），日销售量()Q x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+；②()||Q x a x m b =-+；③()xQ x ab =；④()log b Q x a x =.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.20.（4分+6分+6分）如图，已知双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ= .（1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN ⋅的取值范围；（3）试用λ表示MON △的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.21.已知数列{}n a ：1，2-，2-，3，3，3，4-，4-，4-，4-，⋅⋅⋅，11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个，即当1)(122k k k k n -+<≤（）（*k ∈N ）时，1(1)k n a k -=-，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+（*n ∈N ）.（1）求2020S 的值；（2）求当(1)(1)(2)22k k k k n +++<≤（*k ∈N ），试用n 、k 的代数式表示n S （*n ∈N ）；（3）对于*t ∈N ，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n ∈N ，且1}n t ≤≤，求集合2020P 中元素的个数.上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.【答案】{0,1,2}【解析】:13A x -<<，{}0,1,2A Z ∴= 。
2021-2021年上海市高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=．2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+…+a n）=．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为．13．设函数f（x）=（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为．14．在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，x﹣y）构成的区域的面积为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．3π+4 D．2π+417．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S △ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形18．已知抛物线y=x2﹣7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．5 B． C．6 D．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：（1）异面直线PC与AD所成角的大小；（2）四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．23．已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4=S3，a9=a3+a4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a k a k+1=a k+2，求正整数k的值；（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列{a n}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N= [0，1] ．【考点】并集及其运算．【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的并集即可．【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即M={0，1}，由N中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴N=（0，1]，则M∪N=[0，1]，故答案为：[0，1]2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b= 3 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+b=0的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a、b的值．【解答】解：虚数1+2i是方程x2+ax+b=0的一个根，∴共轭虚数1﹣2i也是此方程的一个根，∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+2i+1﹣2i）=﹣2；b=x1x2=（1+2i）（1﹣2i）=5；∴a+b=﹣2+5=3．故答案为：3．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125 （结果用数值表示）【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1=125种；故答案为：125．4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为 2 ．【考点】复数求模．【分析】设z=x+i（x∈R，x≠0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设z=x+i（x∈R，x≠0），则|z|=≥=2，当且仅当x=时取等号，故答案为：2．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5} ．【考点】反函数．【分析】由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，利用反函数的定义及其性质即可得出．【解答】解：由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，∵函数f（x）不存在反函数，则m的值只可以为：﹣2，1，3，5，否则存在反函数．∴实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．故答案为：{﹣2，1，3，5}．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+…+a n）=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式、等比数列前n项和的极限性质即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1a3=1，a2+a3=，∴=1，=．解得a1=3，q=．则（a1+a2+…+a n）===．故答案为：．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω•≤，由此求得实数ω的最大值．【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．【考点】三阶矩阵．【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x的取值集合．【解答】解：由题意得，f（x）==cos（π+x）×1﹣2×（﹣1）=﹣cosx+2=，解得cosx=，则，所以实数x的取值集合是，故答案为：．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为64 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n．再利用展开式中各项的二项式系数之和为2n，即可得出．【解答】解：T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n=6．∴展开式中各项的二项式系数之和为26=64．故答案为：64．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为64π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），从而得到，即b=c，由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：∵A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，AB∥OC（O为坐标原点），∴C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），∴，∴bc=b2，∴b=c，∴a2=b2+c2=2c2，∴a==，∴直线AB的斜率k==．故答案为：．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为y=±．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出l的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，∴=2，解得k=±．∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．故答案为：y=±（x﹣1）．13．设函数f（x）=（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为（1，3] ．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【解答】解：a＞0，且a≠1，设函数f（x）=，若不等式f（x）≤3的解集是（﹣∞，3]，当x≥1时，|x2﹣2x|≤3，可得﹣3≤x2﹣2x≤3，解得1≤x≤3；当x＜1，即x∈（﹣∞，1）时，a x≤3，不等式恒成立可得1＜a≤3．综上可得1＜a≤3．∴实数a的取值范围为：（1，3]．故答案为：（1，3]．14．在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，x﹣y）构成的区域的面积为 4 ．【考点】简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．【分析】利用数量的数量积将不等式组进行化简，设M（s，t），将条件进行中转化，即可得到结论．【解答】解：由，得设M（s，t），则，解得，由，得．作出不等式组对应的平面区域，则对应平行四边形OABC，则A（0，2），B（2，0），C（2，﹣2），则四边形的面积S=2×，故答案为：4．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的真假，再判断“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论．【解答】解：当“a=3”时，直线（a2﹣2a）x+y=0的方程可化为3x+y=0，此时“直线（a2﹣a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”即“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”为真命题；而当“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”时，a2﹣2a﹣3=0，即a=3或a=﹣1，此时“a=3”不一定成立，即“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”为假命题；故“a=3”是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件故选：A．16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．3π+4 D．2π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．∴该几何体的表面积=π×12+π×1×2+2×2=4+3π．故选：C．17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S △ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出AF⊥BC，进而便可得出AB=AC，即b=c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2=2c2=b2+c2，这样便可得出△ABC的形状．【解答】解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵；∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c；∴延长AF交BC的中点于O，则：，b=c；∴；∴；∴4c2﹣a2=a2；∴a2=2c2=b2+c2；∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故选：D．18．已知抛物线y=x2﹣7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．5 B． C．6 D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先设出直线AB的方程，代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，由中点坐标公式求得AB中点M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由题意可得，可设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=x2﹣7化简可得x2﹣x﹣b﹣7=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣b﹣7，y1+y2=x12﹣7+x22﹣7=（x1+x2）2﹣2x1•x2﹣14=1+2b+14﹣14=1+2b，故AB 的中点为M（，b+），由点M在x+y=0上，即+b+=0，解得：b=﹣1，∴x1•x2=﹣6，∴由弦长公式可求出丨AB丨=•=•=5，故答案选：B．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出=，从而可由得出，这样即可得到A=；（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，====；又A为锐角；∴；（2）；∴；∴=．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：（1）异面直线PC与AD所成角的大小；（2）四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）BC与PC所成的角∠PCB等于AD与PC所成的角，且BC⊥PB，即可求出异面直线PC与AD所成角的大小；（2）利用体积、侧面积公式求出四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．【解答】解：（1）由已知，有BC∥AD，AD⊥面PAB，故BC与PC所成的角∠PCB等于AD与PC所成的角，且BC⊥PB．…因BC=1，易知，故．故异面直线BC与PC所成角的大小为．…求得：，故由余弦定理，得；从而．…又，因此．…21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据f（﹣2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，∴log（）=1，∴=，解得：a=﹣1，∴f（x）=log（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；又∵f（﹣x）=log（）=log（）=﹣log（）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，设g（x）=log（）﹣（）x，则g（x）在[2，3]上是增函数．∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，∴t＜g（2）=﹣．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由题意可得a=1，b=2，可得双曲线的方程，求出直线AM的方程，可令x=0，求得P的坐标；（2）求得对称点N的坐标，直线AN方程，令x=0，可得N的坐标，假设存在T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合M在双曲线上，化简整理，即可得到定点T；（3）设出直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR，OS的数量积为0，化简整理，解方程可得k的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线l的方程．【解答】解：（1）双曲线C：﹣=1的渐近线为y=±x，由题意可得=2，a=1，可得b=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1，又AM的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得P（0，）；（2）点M关于y轴的对称点为N（﹣m，n），直线AN的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得Q（0，），假设x轴存在点T（t，0），使得TP⊥TQ．即有k TP•k TQ=﹣1，即为•=﹣1，可得t2=，由（m，n）满足双曲线的方程，可得m2﹣=1，即有=4，可得t2=4，解得t=±2，故存在点T（±2，0），使得TP⊥TQ；（3）可设过点D（0，2）的直线l：y=kx+2，代入双曲线的方程可得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8=0，即有△=16k2+32（4﹣k2）＞0，即k2＜8，设R（x1，y1），S（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=﹣，由|+|=||=|﹣|，两边平方可得•=0，即有x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，即为（1+k2）•（﹣）+2k（）+4=0，化简可得k2=2，检验判别式大于0成立，即有k=±，则所求直线的方程为y=±x+2．23．已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4=S3，a9=a3+a4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a k a k+1=a k+2，求正整数k的值；（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列{a n}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设{a n}的奇数项构成的等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，运用通项公式，解方程可得d=2，q=3，即可得到所求通项公式；（2）当k为奇数时，当k为偶数时，运用通项公式，解方程可得k的值；（3）求得S2k，S2k﹣1，若为数列{a n}中的一项，整理化简求得k，m的值，再由数学归纳法证明，即可得到结论．【解答】解：（1）设{a n}的奇数项构成的等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，则．由已知，得故数列{a n}的通项公式为：．（2）当k为奇数时，由a k a k+1=a k+2，得．由于当k为偶数时，由a k a k+1=a k+2，得．综上，得k=2．（3）由（1）可求得，．若为数列{a n}中的一项，则．（i）若，则．当k=1时，m=3，结论成立；当k≠1时，，由，由于m为正奇数，故此时满足条件的正整数k不存在．（ii）若，显然k≠1，．由k＞1得．，因此，从而．当k=2时，3k﹣1=k2﹣1；下面用数学归纳法证明：当k≥3时，3k﹣1＞k2﹣1．①当k=3时，显然3k﹣1＞k2﹣1；②假设当k=l≥3时，有3l﹣1＞l2﹣1；当k=l+1时，由l≥3得3（l2﹣1）﹣[（l+1）2﹣1]=（l﹣1）2+（l2﹣4）＞0，故3（l+1）﹣1=3•3l﹣1＞3（l2﹣1）＞（l+1）2﹣1，即当k=l+1时，结论成立．由①，②知：当k≥3时，3k﹣1＞k2﹣1．综合（i），（ii）得：存在两个正整数k，k=1或2，使为数列{a n}中的项．。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1.已知函数ℎ(x)=f(x)−x 2是奇函数，且f(1)=−2，函数g(x)=f(x)+1x ，则g(−1)=( )A. 3B. 2C. 1D. −22.函数y =2x −12x +1⋅sinx 的图象大致为( )A.B.C.D.3. 若集合A ={1,2,3,4}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}4.已知函数f(x)={lnx, 1≤x ≤4−2lnx, 14≤x ≤1，若函数F(x)=f(x)−kx 在区间[14,4]上恰好有一个零点，则k 的取值范围为( )A. (1e ,16ln2]∪{0} B. (1e ,+∞)∪{0} C. [ln22,16ln2)∪{0} D. (ln22,16ln2]∪{0}二、单空题（本大题共10小题，共40.0分） 5.设曲线y =x n+1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1+log 2015x 2+⋯+log 2015x 2014的值为______ ． 6. 函数y =2−sinθ1−cosθ的最小值为______ ． 7. 不等式4x −5⋅2x +4<0的解集为______ ．8.半径为100mm 的圆上，有一段弧长为300mm ，此弧所对的圆心角的弧度数为______ ．9.若幂函数f(x)=x a 经过点(3,9)，则α=______．10. 设常数a >0且a ≠1，函数f(x)=log a x ，若f(x)的反函数图象经过点(1,2)，则a =______． 11. 已知下列四下命题：①函数f(x)=2x 满足：对任意x 1,x 2∈R,有f(x 1+x 22)≥12[f(x 1)+f(x 2)]；②函数f(x)=log 2(x +√1+x 2),g(x)=1+22x −1均是奇函数； ③函数f(x)=e −2−e x 切线斜率的最大值是−2； ④函数f(x)=x 12−(14)x 的在区间(14,13)上有零点．其中正确命题的序号是______ ． 12. 定义在上的函数，若关于的方程有5个不同的实根，则=___________13. 已知x >1，函数y =x 2x−1的最小值为______ ．14. 设f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若 f(1)>1，f(2015)=2a−3a+1，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)与g(x)=log 4(a ⋅2x −43a)，其中f(x)是偶函数． (1)求实数k 的值及f(x)的值域； (2)求函数g(x)的定义域；(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．16. 二次函数y =ax 2+x +1,(a >0)的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为x 1,x 2． (1)证明：(x 1+1)(x 2+1)=1； (2)证明：x 1<−1,x 2<−1；(3)若x 1,x 2满足不等式|lg x1x 2|≤1，试求a 的取值范围．17. 张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x(x ≥10)万元之间满足：y =f(x)=ax 2+10150x −bln x，a，b为常数．当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元．(参考10数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润=旅游增加值−投入)18.已知函数f(x)=lnx−ax−3(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的零点个数；(2)若∀x∈[1,2]，函数g(x)=x3+x2[m−2f′(x)]在区间(a,3)有最值，求实数m的取值范围．2参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值，题目有一定的难度． 由已知ℎ(−1)=−ℎ(1)是解题的关键．解：因为函数 ℎ(x)=f(x)−x 2 是奇函数，且 f(1)=−2 ，函数 g(x)=f(x)+1x , 所以g(−1)=f(−1)−1，且ℎ(−1)=f(−1)−1， 又因为ℎ(−1)=−ℎ(1)， 所以f(−1)−1=−[f(1)−1]， 得到f(−1)−1=−(−2−1)， 解得f(−1)=4，g(−1)=4−1=3． 故选A ．2.答案：D解析：解：根据题意，设y =f(x)=2x −12x +1⋅sinx ，当x =0时，有f(0)=20−120+1sin0=0，排除B 、C ；当x =π时，sinπ=0，有f(π)=0，排除A ； 故选：D ．根据题意，用排除法分析：令x =0和x =π，求出函数的值，由排除法分析选项即可得答案． 本题考查函数的图象分析，注意特殊值法的运用，属于基础题．3.答案：D解析：解：由B 中不等式变形得：(x +2)(x −3)≤0， 解得：−2≤x ≤3，即B =[−2,3]， ∵A ={1,2,3,4}， ∴A ∩B ={1,2,3}， 故选：D求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.答案：A解析：解：由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=kx在区间[14,4]上恰好有一个交点，如图所示：显然，当k=0时，满足条件．当y=kx和y=lnx相切时，设切点为A(x0,lnx0)，由导数的几何意义可得1x0=lnx0−0x0−0，解得x0=e，故切线的斜率为1e．当y=kx经过点B(14,4ln2)时，k=4ln214=16ln2．故k的范围为(1e,16ln2]∪{0}，故选：A．由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=kx在区间[14,4]上恰好有一个交点，数形结合求得k的范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于基础题．5.答案：−1解析：解：对y=x n+1(n∈N∗)求导，得y′=(n+1)x n，令x=1得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1，在点(1,1)处的切线方程为y−1=k(x n−1)=(n+1)(x n−1)，不妨设y=0，x n=nn+1，则x1⋅x2⋅x3…⋅x n=12×23×34×…×nn+1=1n+1，从而log2015x1+log2015x2+⋯+log2015x2014=log2015(x1⋅x2…x2014)=log201512015=−1．故答案为：−1．要求log2015x1+log2015x2+⋯+log2015x2014，需求x1⋅x2⋅…⋅x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．6.答案：34解析：解：y=2−sinθ1−cosθ=2sin2θ2+2cos2θ2−2sinθ2cosθ21−(1−2cos2θ2)=tan2θ2+1−tanθ2tan2θ2=cot2θ2−cotθ2+1=(cotθ2−12)2+34，故当cotθ2=12时，函数y取得最小值为34，故答案为：34．由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，把函数的解析式化为y=2sin2θ2+2cos2θ2−2sinθ2cosθ21−(1−2cos2θ2)=(cotθ2−12)2+34，再利用二次函数的性质求得它的最小值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，二次函数的性质的应用，属于中档题．7.答案：{x|0<x<2}解析：解：设t=2x，原不等式可转化为：t2−5t+4<0，即(t−1)(t−4)<0，∴1<t<4，∴1<2x<4，∴0<x<2∴原不等式的解集为{x|0<x<2}．故答案为{x|0<x<2}．本题先进行换元，将原不等式转化为一元二次不等式，解出一元二次不等式后，再解相应的指数不等式，得到本题结论．本题考查的是解不等式，解题的方法是换元法，利用换元可以化难为易，本题难度不大，属于基础题．8.答案：3解析：解：半径为100mm的圆上，有一段弧长为300mm，则由弧长公式可得：α=lr =300100=3，故答案为：3．由已知利用弧长公式即可计算得解．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．9.答案：2解析：解：设幂函数为y =x α， 幂函数y =f(x)的图象经过点(3,9)， 所以9=3α，α=2， 故答案为：2．设出f(x)的解析式，把(3,9)点代入求出α即可．考查求幂函数的解析式，指数与对数简单运算，基础题．10.答案：2解析：解：∵常数a >0且a ≠1，函数f(x)=log a x ，f(x)的反函数的图象经过点(1,2)， ∴函数f(x)=log a x 的图象经过点(2,1)， ∴log a 2=1， 解得a =2． 故答案为：2．由反函数的性质得函数f(x)=log a x 的图象经过点(2,1)，由此能求出a ．本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.答案：②解析：解：对于①，函数f(x)=2x ，令x 1=0，x 2=2，则x 1+x 22=1，显然f(x 1+x 22)=f(1)=2；12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(0)+f(2)]=52，f(x 1+x 22)<12[f(x 1)+f(x 2)]，故①错误；对于②，函数f(x)=log 2(x +√1+x 2)的定义域为R ，且f(−x)+f(x)=log 2(−x +√1+(−x)2)+log 2(x +√1+x 2)=log 21=0，所以，f(−x)=−f(x)，即f(x)=log 2(x +√1+x 2)为奇函数； 同理可得，g(−x)+g(x)=0，即g(x)=1+22x −1是奇函数，故②正确； 对于③，函数f(x)=e −2−e x 的导函数f′(x)=−e x <0， 函数f(x)=e −2−e x 切线斜率无最大值，故③错误对于④，函数f(x)=x 12−(14)x ，f′(x)=2√x −(14)x ln 14=2√x +(14)x ln4>0，所以，f(x)=x 12−(14)x 为R 上的增函数，又f(14)=(14)12−(14)14<0，f(13)=(13)12−(14)13=(127)16−(116)12<0，所以，f(x)=x 12−(14)x 在区间(14,13)上无零点，故④错误．故答案为：②．①，函数f(x)=2x 中，足：令x 1=0，x 2=2，可得f(x 1+x 22)=f(1)=2；12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(0)+f(2)]=52，可判断①；②，利用奇偶函的概念可判断函数f(x)=log 2(x +√1+x 2),g(x)=1+22x −1均是奇函数从而可判断②；③，利用导数的几何意义可求得函数f(x)=e −2−e x 切线斜率，从而可判断③；④，利用零点存在定理可判断函数f(x)=x 12−(14)x 在区间(14,13)上无零点．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义、函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题．12.答案：解析：试题分析：因为有5个不同的根，必有对应有三个不同的根，还有一个对应有两个不同的根．对应的根分别是4，14，−6，不妨设为．对应有两个不同的跟关于对称，所以，故，=考点：方程的零点分布13.答案：4解析：解：∵x >1，∴x −1>0． 函数y =x 2x−1=x 2−1+1x−1=x +1+1x−1=x −1+1x−1+2≥2√(x −1)⋅1x−1+2=4，当且仅当x =2时取等号． ∴函数y =x 2x−1的最小值为4．故答案为：4．变形利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14.答案：(−1,23)解析：解：由f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数， 则f(x +3)=f(x)，f(−x)=−f(x)，∴f(2015)=f(3×671+2)=f(2)=f(2−3)=f(−1) =−f(1)，又f(1)>1，∴f(2015)<−1， 即2a−3a+1<−1，即为3a−2a+1<0，即有(3a −2)(a +1)<0，解得，−1<a <23． 故答案为：(−1,23).先根据周期性和奇函数，将f(2015)化成f(−1)=−f(1)，然后根据已知条件建立关系式，解分式不等式即可求出实数a 的取值范围．本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，周期性和奇偶性都是函数的整体性质，同时考查了分式不等式的求解，属于中档题．15.答案：解：(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(−x)，∴log 4(4x +1)+kx =log 4(4−x +1)−kx ， ∴log 44x +14−x +1=−2kx ，即x =−2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k =−12．f(x)=log 4(4x +1)−12x =log 4(2−x +1)≥log 41=0∴f(x)的值域是[0,+∞)--------------------------------------------------------------(4分) (2)当a ⋅2x −43a >0时，函数解析式有意义 当a >0时，2x >43，得x >log 243；当a <0时，2x <43，得x <log 243.----------------------------------------(5分) 综上，当a >0时，定义域为{x|x >log 243}；当a <0时，定义域为{x|x <log 243}；---------------------------------(6分) (3)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x +1)−12x =log 4(a ⋅2x −43a)有且只有一个实根，即方程2x+12x =a⋅2x−43a，有且只有一个实根，------------------------------------(7分)令t=2x>0，则方程(a−1)t2−43a−1=0有且只有一个正根，①当a=1时，t=−34，不合题意；②当a≠1时，由△=0得a=34或−3，若a=34，则t=−2不合题意；若a=−3，则t=12满足要求；----------------------------------------(8分)若△>0，则此时方程应有一个正根与一个负根，∴−1a−1<0，∴a>1，又△>0得a<−3或a>34，∴a>1.-----------------------(9分)综上，实数a的取值范围是{−3}∪(1,+∞).----------------------------------------(10分)解析：(1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值，化简函数，即可求出f(x)的值域；(2)当a⋅2x−43a>0时，函数解析式有意义，分类讨论，即可求函数g(x)的定义域；(3)根据函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．16.答案：(1)证明：由题意得：x1+x2=−1a ，x1⋅x2=1a，∴(1+x1)(1+x2)=x1x2+(x1+x2)+1=1；(2)证明：由△=1−4a>0，解得：a<14，∵(1+x1)(1+x2)=1>0，而(1+x1)(1+x2)=x1+x2+2=−1a+2<−4+2<0，∴1+x1<0，1+x2<0，故x1<−1，x2<−1；(3)解：x2=−x11+x1，|lg x1x2|≤1，∵110≤x1x2≤10，∴110≤−(1+x1)≤10，∴−11≤x1≤−1110，a=1x1x2=−(1x12+1x1)=−(1x1+12)2+14，当1x1=−12时，a的最大值是14，当1x1=−111时，a的最小值是10121，故a的范围是[10121,1 4 ].解析：本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．(1)根据韦达定理求出x1+x2，x1⋅x2的值，证明即可；(2)由△>0，求出a的范围，从而证出结论；(3)求出x2=−x11+x1，由110≤x1x2≤10，得到110≤−(1+x1)≤10，求出a的范围即可．17.答案：解：(1)由条件{a×202+10150×20−bln2=35.7a×102+10150×10−bln1=19.2(2分)解得a=−1100,b=1(4分)则f(x)=−x2100+10150x−ln x10(x≥10).(6分)(2)由T(x)=f(x)−x=−x2100+5150x−ln x10(x≥10)则T′(x)=−x50+5150−1x=−(x−1)(x−50)50x(10分)令T′(x)=0，则x=1(舍)或x=50当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50,+∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50,+∞)上是减函数，∴x=50为T(x)的极大值点(12分)即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)=24.4万元．(13分)解析：(1)由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求f(x)的解析式；(2)先写出函数T(x)的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．18.答案：解：(1)∵x >0，∴f′(x)=1x −a ，若a <0，∴f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(e 3)=−ae 3>0，x →0时，f(x)→−∞，此时，f(x)存在唯一零点；若a >0，f′(x)=1−ax x =0，x =1a ， 所以x ∈(0,1a )，f(x)单调递增，x ∈(1a ,+∞)，f(x)单调递减，∴f(x)max =f(1a )=−lna −4，当−lna −4<0，即a >e −4时，f(x)无零点；当−lna −4=0，即a =e −4时，f(x)有一个零点；当−lna −4>0，即0<a <e −4时，f(x)有两个零点；综上：a <0或a =e −4时，f(x)有一个零点；0<a <e −4时，f(x)有两个零点；a >e −4时，f(x)无零点．(2)g(x)=x 3+x 22[m −2f′(x)]，g′(x)=3x 2+(m +2a)x −1．∵g(x)在(a,3)上有最值，∴g(x)在(a,3)上不单调，而g′(0)=−1<0，∴{g′(3)>0g′(a)<0恒成立． 又a ∈[1,2]，由g′(a)<0，即m <1a −5a ，所以m <−192，又g′(3)>0，所以3m +26+6a >0，解得m >−323，故−323<m <−192． 解析：(1)求出f(x)的导数，分类讨论a 的取值得到函数f(x)的零点个数；(2)根据条件判断出g(x)在(a,3)上有最值，则{g′(3)>0g′(a)<0恒成立．结合a 的取值范围可得m 取值范围． 本题考查利用函数导数求函数零点个数，利用分类讨论思想是关键，属于中档题．。
