2019-2020年高三上学期期中数学试卷(理科)含解析

P(0,2),且在点 P 处有相同的切线．
一、选择题
题号 1
2
答案 B
C
二、填空题
哈师大附中 xx 级高三上学期期中考试 数学试题（理科）答案
3
4
5
6
7
8
9
C
A
A
D
C
B
B
13． 14． 15． 16．
17．（Ⅰ） f (x) sin 2 x cos2 x 2 3 sin xcos x
3 sin 2 x cos2 x 2sin(2 x ) 6
()
A．
B．或
C．
cos B uuur
12．已知是△外接圆的圆心， 、、为△的内角，若
AB
sin C
为（
）
D． 或
cosC uuur AC
uuur 2m AO ，则的值
sin B
A． 1
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）
二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把每小题的答案填在答题纸的相应
1 ( + 1 + ln a)
a
1
2ln a ，
a
a
令，因为 g (a)
1 1+ a2
2 a
(1 1) 2 a
0，
所以在上是增函数．
而，故当时， ，即；
所以，当时， ，即，函数在上是增函数，解得；
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 12 分
22． ( Ⅰ ) 由已知得 f (0) 2, g(0) 2, f (0) 4, g (0) 4 ,
（1）
cosC 0

2019-2020年高三上学期期中考试数学（理）试卷含解析(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知全集为R，集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2} B．{x|x＜﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x≤2}3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位4．已知平面向量，满足||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，则的值为（）A．0 B．1 C．D．6．下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”7．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，当且仅当n≥7时数列{S n}递增，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣16，﹣14] B．（﹣16，﹣14）C．[﹣16，﹣14）D．[﹣16，﹣14]10．在下面四个图中，有一个是函数f（x）=（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B． C．D．或二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．dx= ．12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ﹣μ= ．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，B=120°，则a= ．14．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是．15．设数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（ n∈N*）．则满足＜＜的所有n的和为．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．17．已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值．18．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，数列的前n项和为S n，若S n＞，试求n的最小值．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，tanA=2．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求角B的大小．20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）设b n=，试求数列{b n}的最大项．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．2014-2015学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据所给的复数的代数形式，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，写出点的坐标，看出点的位置．解答：解：∵复数z====﹣1+i，∴复数对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数对应的点的在第二象限，故选B点评：本题看出复数的代数形式的运算和复数的几何意义，本题解题的关键是正确运算复数的除法运算，本题是一个基础题．2．已知全集为R，集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2} B．{x|x＜﹣1，或x≥2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x ≤2}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次不等式化简集合A，然后利用补集运算求解．解答：解：∵A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A={x|﹣1＜x＜2}．故选：C．点评：本题考查了补集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数的图象的平移原则求解即可．解答：解：=，∴为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位．故选：D．点评：本题考查函数的图象的平移变换，注意左加右减以及x的系数，基本知识的考查．4．已知平面向量，满足||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，由题意可得4+2×2×cosθ﹣2×4=﹣2，解得cosθ的值，再结合θ∈[0，π]，求得θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，由题意可得+﹣2b2=﹣2，即4+2×2×cosθ﹣2×4=﹣2，解得cosθ=．再结合θ∈[0，π]，∴θ=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，则的值为（）A．0 B．1 C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题可先研究log2（4）的取值范围，利用函数的周期性与函数的奇函数的性质将的值用已知关系式表示出来，即可求出所求值．解答：解：当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，由题意函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），可得其周期是2，又log2（4）=，∴=f（）=f（+2）=f（）=﹣f（﹣）=﹣=﹣，故选：D．点评：本题考点是函数奇函数的性质，考查了奇函数的对称性，函数的周期性，对数的去处性质，解题的关键是函数的性质，本题考察了转化的思想，本题是一个函数性质综合考查题，此类题是每年高考必考题，规律较固定，题后要好好总结．6．下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用复数命题的真假判断A的正误；充要条件判断B的正误；逆命题的真假判断C 的正误；命题的否定判断D的正误；解答：解：对于A，命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题，显然不正确，应该推出至少一个是真命题，所以A不正确．对于B，已知x∈R，则“x＞1”不能推出“x＞2”，反之成立，所以前者是后者的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以B不正确．对于C，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是：a＜b则am2＜bm2，逆命题显然不正确，因为m=0时不成立．判断为逆命题是真命题，是错误的，所以C不正确；对于D，命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”符号特称命题与全称命题的否定关系，是正确的，所以D正确．故选：D．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查充要条件，四种命题的逆否关系，复数命题的真假，命题的否定，基本知识的考查．7．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可．解答：解：对于y=f（x）=sin（2x﹣），其周期T==π，f（）=sin=1为最大值，故其图象关于x=对称，由﹣≤2x﹣≤得，﹣≤x≤，∴y=f（x）=sin（2x﹣）在上是增函数，即y=f（x）=sin（2x﹣）具有性质①②③，故选：A．点评：本题考查正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性的综合应用，考查转化思想，属于中档题．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S＜100，输出K的值为7．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S＜100，S=2，K=2；满足条件S＜100，S=6，K=3；满足条件S＜100，S=14，K=4；满足条件S＜100，S=30，K=5；满足条件S＜100，S=62，K=6；满足条件S＜100，S=126，K=7；不满足条件S＜100，输出K的值为7．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．9．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，当且仅当n≥7时数列{S n}递增，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣16，﹣14] B．（﹣16，﹣14）C．[﹣16，﹣14）D．[﹣16，﹣14]考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式可得S n=n2+（λ+1）n，利用二次函数的单调性，列不等式组即可求解．解答：解：∵a n=2n+λ，∴a1=2+λ，∴S n===n2+（λ+1）n，由二次函数的性质和n∈N可知：6.5＜＜7.5即可满足题意，解不等式可得﹣16＜λ＜﹣14故选：B点评：本题考查等差数列的性质，涉及二次函数的性质和不等式组的解法，属基础题．10．在下面四个图中，有一个是函数f（x）=（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B． C．D．或考点：函数的图象；导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象．解答：解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴f′（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称其图象必为第四张图．由图象特征知f′（0）=0，∴a2﹣1=0，且对称轴﹣a＞0，∴a=﹣1．∴函数f（x）=x3﹣x2+1，故答案为f（﹣1）=﹣﹣1+1=﹣，故选：B．点评：本题考查函数与其导函数的综合应用，三次函数与其导函数（二次函数）的关系，综合考查二次函数的应用．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．dx= （e2﹣1），．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则计算即可解答：解：dx=e2x|=（e2﹣1），故答案为：（e2﹣1），点评：本题主要考查了定积分的计算，属于基础题12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ﹣μ= ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由于，可得，化为．与比较即可得出．解答：解：如图所示，∵，∴，化为．∵，∴λ=，μ=，∴λ﹣μ=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量的三角形法则、向量相等，属于基础题．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，B=120°，则a= ．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosB的值代入求出a的值即可．解答：解：∵△ABC中，c=，b=，B=120°，∴b2=a2+c2﹣2accosB，即6=a2+2+a，解得：a=，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是（﹣∞，0] ．考点：导数的运算．分析：先对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0问题，进而求出参数a的取值范围．解答：解：y=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0．实数a的取值范围是（﹣∞，0]．故填：（﹣∞，0]．点评：主要考查函数单调性的综合运用，函数的单调性特征与导数之间的综合应用能力，把两个知识加以有机会组合．15．设数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（ n∈N*）．则满足＜＜的所有n的和为7 ．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：根据递推数列，得到数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列，解不等式即可得到结论．解答：解：∵2a n+1+S n=3，∴2a n+2+S n+1=3，两式相减得2a n+2+S n+1﹣2a n+1﹣S n=0，即2a n+2+a n+1﹣2a n+1=0，则2a n+2=a n+1，当n=1时，2a2+a1=3，则a2=，满足2a2=a1，即2a n+1=a n，则即数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列，则前n项和为S n==3﹣3•（）n，==1+（）n，若＜＜，则＜1+（）n＜，即＜（）n＜，则7＜2n＜17，则n=3或4，则3+4=7，故答案为：7点评：本题主要考查递推数列的应用，根据递推数列得到数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导，由题意可知，从而求a，b的值；（Ⅱ）代入a，b的值，求极值处的极值及端点值，从而求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2，∴f′（x）=3ax2+2bx，由题意可知，解得a=﹣2，b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=﹣2x3+3x2，∴f′（x）=﹣6ax2+6x=﹣6x（x﹣1），令f′（x）=﹣6ax2+6x=﹣6x（x﹣1）=0可解得，x=0或x=1；∵f（﹣）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=﹣4；故函数f（x）在区间上的最大值是1，最小值为﹣4．点评：本题考查了导数的综合应用及闭区间上的最值，属于中档题．17．已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值．考点：正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；两角和与差的正弦函数．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先根据向量的坐标运算求出f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x再通过恒等变换求出f（x）=，进一步利用整体思想求出单调区间．（Ⅱ）利用上一步的结论求出零点，最后进一步求出结果．解答：解：（Ⅰ）已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），所以：f（x）=•=（sinx+cosx）2+2cos2x=，令：（k∈Z），解得：，所以函数f（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）；（Ⅱ）方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2所以：，即：，因为：x∈（0，π），所以：，解得：，．点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，函数零点的应用，属于基础题型．18．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，数列的前n项和为S n，若S n＞，试求n的最小值．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质、通项公式化简条件，求出q、a1的值，再求出a n；（Ⅱ）根据对数的运算律化简b n，再求出，利用裂项相消法求出数列的前n项和为S n，代入不等式化简后求出n的最小值．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a42=9a1a5得，a42=9a32，即q2=9，因为各项均为正数，所以解得q=3，由2a1+a2=15得，2a1+3a1=15，解得a1=3，所以a n=3n；（Ⅱ）因为a n=3n，所以b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=1+2+3+…+n=，则=2（），所以S n=2[（1﹣）+（）+（）+…+（）]=2（1﹣）=，由解得，n＞39，所以n的最小值为40．点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，对数的运算律，以及裂项相消法求出数列的前n项和，属于中档题．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，tanA=2．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求角B的大小．考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）首先利用正弦的展开式求出3sinAcosC=2sinCcosA，进一步求出结论．（Ⅱ）利用上部结论，进一步利用关系式的变换求得B的大小．解答：解：（Ⅰ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，利用正弦定理得：3sinB=5sinCcosA所以：3sin（A+C）=5sinCcosA展开解得：3sinAcosC=2sinCcosA即：3tanA=2tanC由tanA=2．解得：tanC=3（Ⅱ）在△ABC中，A+B+C=πtanB=﹣tan（A+C）=0＜B＜π所以：B=点评：本题考查的知识要点：三角函数关系的应用，正弦定理的应用，及相关的运算问题．属于基础题型．20．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）设b n=，试求数列{b n}的最大项．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅲ）求出b n=的通项公式，建立不等式关系即可试求数列{b n}的最大项．解答：解：（Ⅰ）由a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．得，即{}是首项为，公差d=1的等差数列，则=，数列{a n}的通项公式a n=（2n﹣1）•2n﹣1；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；∵a n=（2n﹣1）•2n﹣1；∴S n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1；2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣1）•2n；两式相减得﹣S n=1+2（21+22+…+2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=1+=﹣3+（3﹣2n）•2n；∴S n=（2n﹣3）•2n+3（Ⅲ）∵b n=，∴b n═（2n﹣3）•（）n，由，即，解得，即n=4，即数列{b n}的最大项为．点评：本题主要考查递递推数列的应用，综合考查学生的运算能力，要求熟练掌握求和的常见方法．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，利用导数性质能求出函数f（x）的最小值．（Ⅱ）由已知得a≤lnx+x+对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=lnx+x+，则=，由此利用导数性质结合已知条件能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）由已知得当且仅当x=时，f（x）min=f（）=﹣，设m（x）=﹣，x∈（0，+∞），则m′（x）=，由此利用导娄性质能证明对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=时，f（x）min=f（）=﹣．（Ⅱ）解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx≥﹣x2+ax﹣6恒成立，即a≤lnx+x+对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=lnx+x+，则==，∵x∈（0，+∞），∴x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（2，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x∈（0，+∞）时，h（x）存在唯一极小值h（2），即为最小值，∴h（x）min=h（2）=5+ln2，∵a≤lnx+x+对x∈（0，+∞）恒成立，只需a≤h（x）min即可，∴a≤5+ln2．（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞恒成立，由（Ⅰ）可知，f（x）=xlnx在x∈（0，+∞）时，当且仅当x=时，f（x）min=f（）=﹣，设m（x）=﹣，x∈（0，+∞），则m′（x）=，∴x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．∴当且仅当x=1时，m（x）取得极大值也是最大值m（1），∴m（x）max=m（1）=﹣，∴，∴对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．点评：本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。

2019-2020年高三上学期期中数学试卷（理科）含解析(VII)一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数i（3+4i）的虚部为（）A．3 B．3i C．4 D．4i2．已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是（）A．命题¬p：∀x∈R，x≤2 B．命题¬p：∃x∈R，x＜2C．命题¬p：∀x∈R，x≤﹣2 D．命题¬p：∃x∈R，x＜﹣23．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A．4 B．16 C．256 D．log3165．满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．106．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．57．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b8．点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．11．若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式．12．已知α为锐角，，则=．13．不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为．14．设某商品的需求函数为Q=100﹣5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，Q'是Q的导数），则商品价格P的取值范围是．三、解答题，共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．16．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．17．设函数f（x）=（x+1）2﹣2klnx．（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．2015-2016学年北京市汇文中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．复数i（3+4i）的虚部为（）A．3 B．3i C．4 D．4i【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：∵i（3+4i）=3i+4i2=﹣4+3i，∴复数i（3+4i）的虚部为3．故选A．【点评】熟练掌握复数的运算法则和虚部的定义是解题的关键．2．已知命题p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是（）A．命题¬p：∀x∈R，x≤2 B．命题¬p：∃x∈R，x＜2C．命题¬p：∀x∈R，x≤﹣2 D．命题¬p：∃x∈R，x＜﹣2【考点】命题的否定．【专题】规律型．【分析】本题中所给的命题是一个全称命题，书写其否定要将结论变为相对的，还要改变量词，由此规则写出其否定即可【解答】解：由题意p：∀x∈R，x≥2，∴¬p：∃x∈R，x＜2，故选B．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是理解并掌握命题的否定书写的规律，对于两个特殊命题的否定，要记忆其书写规则，即：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，要注意量词的变化．3．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的周期，判断选项即可．【解答】解：函数中，对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），可知函数是偶函数，f（x﹣π）=f（x），可知函数的周期为π，f（x）=sinx不满足题意；f（x）=sinx•cosx=sin2x，是奇函数，不满足题意；f（x）=cosx的周期是2π；不满足题意；f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，满足题意；故选：D．【点评】本题考查抽象函数的性质，函数的奇偶性以及函数的周期的求法，三角函数的化简，考查计算能力．4．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，那么输出的a值为（）A．4 B．16 C．256 D．log316【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=4，当a=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=16，当a=16时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=256，当a=256时，满足退出循环的条件，故输出的a值为256，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A．14 B．13 C．12 D．10【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=b2﹣4ac=4﹣4ab≥0，∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选B．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，高是1，棱柱的高为2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣=1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：=4，故选：C．【点评】本题考查有三视图还原几何体，本题是一个基础题，解题的过程中看清各个部分的数据，代入求体积公式得到结果．7．已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．【解答】解：“a＞b”能推出“a＞b﹣1”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a＞b﹣1”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选A．【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．8．点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】先利用导数求出过点P的切线方程：①由切线方程可求得点A、B的坐标，进而利用两点间的距离公式即可证明；②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长，再利用基本不等式的性质即可证明；③先假设满足条件的点M、N存在，利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在，否则不存在．【解答】解：设动点P（m＞0），则，∴，∴过动点P的切线方程为：．①分别令y=0，x=0，得A（2m，0），B．则|PA|=，，∴|PA|=|PB|，故①正确；②由上面可知：△OAB的周长=≥+=4，当且仅当，即m=1时取等号．故△OAB的周长有最小值4+2，即②正确．③假设曲线C上存在两点M，N，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°．则，，所以化为解得，故假设成立．因此③正确．故选D【点评】理解导数的几何意义、基本不等式的性质、两点间的距离公式及等腰直角三角形的性质是解题的关键．二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据正弦定理，算出sinB==，由b＜a得B是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出cosB=，再用商数关系算出tanB=，即可得到本题答案．【解答】解：∵∴由正弦定理，得sinB==∵b＜a可得B是锐角，∴cosB==，因此，tanB===故答案为：【点评】本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角，求另一个角的正切之值，着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．11．若数列{a n}的前n项和S n=n2﹣10n（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式2n﹣11．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题．=2n﹣11．当n=1时，a1=S1=﹣9，也符合a n=2n﹣11，进而【分析】由题意可得：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1求出数列的通项公式．=（n﹣1）2﹣10（n﹣1）=n2﹣12n+11，【解答】解：由题意可得：当n≥2时，S n﹣1=2n﹣11．所以a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=﹣9，也符合a n=2n﹣11，所以数列的通项公式为：a n=2n﹣11．故答案为：a n=2n﹣11．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握数列通项公式的方法，以及结合正确的运算．12．已知α为锐角，，则=﹣3．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由α为锐角和cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入即可求出值．【解答】解：由α为锐角，cosα=，得到sinα==，所以tanα=2，则tan（+α）===﹣3．故答案为：﹣3【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．13．不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为1．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A（1，3），B（，），C（1，k）∴S△ABC=AC•d（d为B到AC的距离）=×（3﹣k）×（﹣1）=1，∴k=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题．14．设某商品的需求函数为Q=100﹣5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，Q'是Q的导数），则商品价格P的取值范围是（10，20）．【考点】函数最值的应用．【专题】计算题．【分析】利用Q=100﹣5P，弹性大于1，建立不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵Q=100﹣5P，弹性大于1∴=＞1∴（P﹣10）（P﹣20）＜0∴10＜P＜20故答案为：（10，20）【点评】本题考查新定义，考查解不等式，解题的关键是对弹性的理解．三、解答题，共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题．16．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．17．设函数f（x）=（x+1）2﹣2klnx．（1）当k=2时，求函数f（x）的增区间；（2）当k＜0时，求函数g（x）=f′（x）在区间（0，2]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）因为要求函数的增区间所以求出f′（x）令其大于零，同时考虑到x＞0，故求出增区间即可；（2）因为g（x）=f'（x），分区间讨论k的取值并根据a+b≥2当且仅当a=b时取等号的方法求出最小值即可．【解答】解（1）k=2，f（x）=（x+1）2﹣4lnx．则f′（x）==＞0，（此处用“≥”同样给分）注意到x＞0，故x＞1，于是函数的增区间为（1，+∞）．（写为[1，+∞）同样给分）（2）当k＜0时，g（x）=f′（x）=．g（x）=≥，当且仅当x=时，上述“≥”中取“=”．①若∈（0，2]，即当k∈[﹣4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为；②若k＜﹣4，则在（0，2]上为负恒成立，故g（x）在区间（0，2]上为减函数，，于是g（x）在区间（0，2]上的最小值为g（2）=6﹣k．综上所述，当k∈[﹣4，0）时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为；当k＜﹣4时，函数g（x）在区间（0，2]上的最小值为6﹣k．【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力，a+b≥2当且仅当a=b时取等号的灵活运用．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】（I）根据2a n=S n+2n+1，分别取n=1，2，3，可求出a1，a2，a3的值；（II）因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立，两式相减可得a n+1+2=2（a n+2），然后根据等比数列定义可得结论；（III）先求出数列{n•a n}的通项公式，然后利用错位相消法进行求和即可．【解答】（本小题满分13分）（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（Ⅱ）证明：因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．两式相减得：2a n+1﹣2a n=a n+1+2．所以a n+1=2a n+2（n∈N*），即a n+1+2=2（a n+2）．…所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：a n+2=5×2n﹣1，即a n=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．则na n=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为P n，则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，所以﹣P n=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，即P n=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…所以数列{n•a n}的前n项和T n=，整理得，T n=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…【点评】本题主要考查了等比关系的确定，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程．（Ⅱ）设g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g（x）＞a，只要求出g（x）的最小值就可以．【解答】解：（Ⅰ）由，∴，∴k=f′（1）=3，又∵f（1）=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5=0；（Ⅱ）由f（x）＞﹣x+2，得，即a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g′（x）=lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）=lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．【点评】导数再函数应用中，求切线方程就是求再某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k=1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【考点】等差数列的通项公式．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013=0，可得a1007=0，a1008=d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k=n时，显然|S n|=0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013=0，∴=0，∴a1+a2013=0，即a1007=0，∴a1008=d，当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013=，∴1006d+d=，即d=，∴a n=a1007+（n﹣1007）d=（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n=，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k=n时，显然|S n|=0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k=a1+a2+…+a k=﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|=|a1+a2+…+a k|=|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|=|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|=1，∴|S k|（k=1，2，…，n）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2019-2020年高三数学上学期期中试卷理（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．若全集U=R，集合A={x||2x+3|＜5}，B={x|y=log3（x+2）}，则∁U（A∩B）=（）A． {x|x≤﹣4或x≥1} B． {x|x＜﹣4或x＞1} C． {x|x＜﹣2或x＞1} D． {x|x≤﹣2或x≥1}2．以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥03．已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A． f′（x）＞0，g′（x）＞0 B． f′（x）＞0，g′（x）＜0 C． f′（x）＜0，g′（x）＞0 D． f′（x）＜0，g′（x）＜04．已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于（）A． 25 B．﹣25 C． 24 D．﹣245．函数y=sin（2x﹣）在区间的简图是（）A．B．C． D．6．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2+x）=f（2﹣x），则f（4）=（） A． 4 B． 2 C． 0 D．不确定7．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A． 1 B． 2 C．﹣1 D．﹣28．已知向量，满足=（2，0），．△ABC，=2+2，﹣6，D为BC边的中点，则=（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 89．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A． 4sin（B+）+3 B． 4sin（B+）+3 C． 6sin（B+）+3 D． 6sin（B+）+310．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则①f（）=0；②|f（）|＜|f（）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是（k∈Z）；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是（）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．①②④⑤二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上）11．已知向量=（sinθ，﹣2），=（1，cosθ），且，则sin2θ+cos2θ的值为．12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）= ．13．已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知集合A={x∈R|log2（6x+12）≥log2（x2+3x+2）}，B={x|2＜4x}．求：A∩（∁R B）．17．已知=（1，2），=（2，1）．（1）求向量在向量方向上的投影．（2）若（m+n）⊥（﹣）（m，n∈R），求m2+n2+2m的最小值．18．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．20．已知函数f（x）=，其中，=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b， c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．xx安徽省蚌埠市铁路中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．若全集U=R，集合A={x||2x+3|＜5}，B={x|y=log3（x+2）}，则∁U（A∩B）=（）A． {x|x≤﹣4或x≥1} B． {x|x＜﹣4或x＞1} C． {x|x＜﹣2或x＞1} D． {x|x≤﹣2或x≥1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：求出集合A中绝对值不等式的解集，确定出集合A，根据集合B中对数函数的真数大于0，列出关于x的不等式，求出不等式的解集，确定出集合B，找出两集合的公共解集，确定出两集合的交集，根据全集为R，求出交集的补集即可．解答：解：由集合A中的不等式|2x+3|＜5变形得：﹣5＜2x+3＜5，可化为：，解得：﹣4＜x＜1，∴集合A={x|﹣4＜x＜1}，由集合B中的函数y=log3（x+2）有意义，得到x+2＞0，解得：x＞﹣2，∴集合B={x|x＞﹣2}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜1}，又全集U=R，则C U（A∩B）={x|x≤﹣2或x≥1}．故选D点评：此题属于以绝对值不等式的解法及对数函数的定义域为平台，考查了交、并、补集的混合运算，是高考中常考的基本题型，学生在求补集时注意全集的范围．2．以下说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据特称命题的否定方法，可判断D．解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故C错误；命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；故选：C点评：本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．3．已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A． f′（x）＞0，g′（x）＞0 B． f′（x）＞0，g′（x）＜0 C． f′（x）＜0，g′（x）＞0 D． f′（x）＜0，g′（x）＜0考点：函数奇偶性的性质；导数的几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．解答：解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0．故选B点评：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点，故要熟练掌握．4．已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于（）A． 25 B．﹣25 C． 24 D．﹣24考点：平面向量数量积的运算．专题：向量法．分析：通过勾股定理判断出∠B=90，利用向量垂直的充要条件求出，利用向量的运算法则及向量的运算律求出值．解答：解：∵，，∴∴∠B=90°∴===﹣=﹣25故选B点评：本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律．5．函数y=sin（2x﹣）在区间的简图是（）A． B．C． D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：作图题．分析：将x=π代入到函数解析式中求出函数值，可排除B，D，然后将x=代入到函数解析式中求出函数值，可排除C，进而可得答案．解答：解：，排除B、D，，排除C．故选A．点评：本题主要考查三角函数的图象．对于正弦、余弦函数的图象和性质要熟练掌握，这是高考的必考点．6．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2+x）=f（2﹣x），则f（4）=（） A． 4 B． 2 C． 0 D．不确定考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0．根据f（2+x）=f（2﹣x），可得f（4）=f（0）即可得出．解答：解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．又∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4）=f（0）=0．故选：C．点评：本题考查了函数奇偶性、对称性，属于基础题．7．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A． 1 B． 2 C．﹣1 D．﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由y=ln（x+a），得，由直线y=x﹣1与曲线y=ln（x+a）相切，得，所以切点是（1﹣a，0），由此能求出实数a．解答：解：∵y=ln（x+a），∴，∵直线y=x﹣1与曲线y=ln（x+a）相切，∴切线斜率是1，则y'=1，∴，x=1﹣a，y=ln1=0，所以切点是（1﹣a，0），∵切点（1﹣a，0）在切线y=x+1上，所以0=1﹣a+1，解得a=2．故选B．点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．已知向量，满足=（2，0），．△ABC，=2+2，﹣6，D为BC边的中点，则=（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平面向量的坐标运算；向量的模．专题：计算题．分析：表示出，代入向量，，然后求出，即可．解答：解：因为D为BC边的中点，所以=（）=2﹣2=（1，﹣）=故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，考查计算能力，是基础题．9．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A． 4sin（B+）+3 B． 4sin（B+）+3 C． 6sin（B+）+3 D． 6sin（B+）+3考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．解答：解：根据正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故选D．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．10．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则①f（）=0；②|f（）|＜|f（）|；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是（k∈Z）；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是（）A．①②④ B．①③ C．①③④ D．①②④⑤考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先将f（x）=asin2x+bcos2x，a＞0，b＞0，变形为f（x）=sin（2x+∅），再由f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假．解答：解：①f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+∅），由f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立得|f（）|==|asin+bcos|=|+|，即=|+|，两边平方整理得：a=b．∴f（x）=bsin2x+bcos2x=2bsin（2x+）．①f（）=2bsin（+）=0，故①正确；②|f（）|=|f（）|=2bsin，故②错误；③f（﹣x）≠±f（x），故③正确；④∵b＞0，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得，kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），即f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故④错误；⑤∵a=b＞0，要经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行，又f（x）的振幅为2b＞b，∴直线必与函数f（x）的图象有交点，故⑤错误．综上所述，结论正确的是①③．故选B．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查复合三角函数的单调性，求得f（x）=2bsin （2x+）是难点，也是关键，考查推理分析与运算能力，属于难题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上）11．已知向量=（sinθ，﹣2），=（1，cosθ），且，则sin2θ+cos2θ的值为 1 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得tanθ=2，而sin2θ+cos2θ=，分子分母同除以cos2θ，代入tanθ=2可得答案．解答：解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ==2，所以sin2θ+cos2θ=====1故答案为：1点评：本题考查三角函数的运算，把函数化为正切函数是解决问题的关键，属基础题．12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）= 6 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g（﹣2）=3，求出f（2）的值．解答：解：∵g（﹣2）=f（﹣2）+9∵f（x）为奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2）∴g（﹣2）=﹣f（2）+9∵g（﹣2）=3所以f（2）=6故答案为6点评：本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）13．已知p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，若p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的解法．分析：由已知可得：p：，q：x＜a，或x＞a+1，再由求命题否定的方法求出¬q，结合充要条件的判定方法，不难给出答案．解答：解：∵p：，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，∴q：x＜a，或x＞a+1∴¬q：a≤x≤a+1又∵p是¬q的充分不必要条件，∴解得：则实数a的取值范围是故答案为：点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．考点：解三角形．专题：计算题；压轴题．分析：由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE 中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD．解答：解：由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC∴BE=BC=∵AB=2∴cosB==∴B=30°∴AE=BE•tan30°=1∵∠ADC=45°∴AD==故答案为：点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为①②④．考点：命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．从图中可以得出：②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．故答案为：①②④．点评：本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知集合A={x∈R|log2（6x+12）≥log2（x2+3x+2）}，B={x|2＜4x}．求：A∩（∁R B ）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由，得A={x|﹣1＜x≤5}，由B={x|}={x|﹣1＜x＜3}．知C R B={x|x≤﹣1，或x≥3}．由此能求出A∩C R B．解答：（本小题满分12分）解：由，得，…（3分）解得：﹣1≤x≤5．即A={x|﹣1＜x≤5}．…（6分）B={x|}={x|}，由，得x2﹣3＜2x，解得﹣1＜x＜3．即B={x|﹣1＜x＜3}．…（9分）∴C R B={x|x≤﹣1，或x≥3}．∴A∩C R B={x|3≤x≤5}．…（12分）点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的灵活运用．17．已知=（1，2），=（2，1）．（1）求向量在向量方向上的投影．（2）若（m+n）⊥（﹣）（m，n∈R），求m2+n2+2m的最小值．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）求出向量a，b的数量积和向量b的模，再由投影定义，即可得到所求；（2）运用向量垂直的条件及向量的数量积和模的公式，化简得到m=n，再由二次函数的最值，即可得到．解答：解：（1）设与向量的夹角为θ，由题意知向量在向量方向上的投影为||cosθ===；（2）∵（m+n）⊥（﹣），（m+n）•（﹣）=0，即5m+4n﹣4m﹣5n=0，∴m=n．∴m2+n2+2m=2m2+2m=2（m+）2﹣≥﹣，当且仅当m=n=﹣时取等号，∴m2+n2+2m的最小值为﹣．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的模及投影的定义，考查向量垂直的条件，同时考查二次函数的最值，属于中档题．18．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，建立条件关系即可求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，进行转化即可求实数k的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=2x+k•2﹣x是奇函数，∴f（0）=0，即1+k=0，∴k=﹣1．（2）∵x∈[0，+∞），均有f（x）＞2﹣x，即2x+k•2﹣x＞2﹣x成立，k＞1﹣22x，∴对x≥0恒成立，∴k＞[1﹣（22x）]max．∵y=1﹣（22x）在[0，+∞）上是减函数，∴[1﹣（22x）]max=1﹣1=0，∴k＞0．点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数恒成立问题，利用指数函数的运算性质是解决本题的关键．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；（2）根据C的范围和f（C）=0可求出角C的值，再根据两个向量共线的性质可得sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值．解答：解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵x∈[﹣，]∴2x﹣∈[﹣，]则sin（2x﹣）∈[﹣，1]∴函数f（x）的最小值为﹣﹣1和最大值0；（2）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即 sin（2C﹣）=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．∵向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得 b=2a，①∵c=，由余弦定理得3=a2+b2﹣2abcos，②解方程组①②，得 a=1，b=2．点评：本题主要考查了两角和与差的逆用，以及余弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=，其中，=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算；解三角形．专题：计算题．分析：（I）利用向量的数量积的坐标表示及二倍角公式对函数整理可得，，根据周期公式可得，根据正弦函数的性质相邻两对称轴间的距离即为，从而有代入可求ω的取值范围．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，由f（A）=1可得，结合已知可得，由余弦定理知可得b2+c2﹣bc=3，又b+c=3联立方程可求b，c，代入面积公式可求也可用配方法求得bc=2，直接代入面积公式可求解答：解：（Ⅰ）f（x）=cosωx•sinωx=cos2ωx+sin2ωx=∵ω＞0∴函数f（x）的周期T=，由题意可知，解得0＜ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，∴∵f（A）=1∴而，∴2A+π∴A=由余弦定理知cosA=∴b2+c2﹣bc=3，又b+c=3联立解得∴S△ABC=（或用配方法∵∴bc=2∴．点评：本题综合考查了向量的数量积的坐标表示，由函数的部分图象的性质求解函数的解析式，正弦函数的周期公式，由三角函数值求解角，余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合，综合的知识比较多，解法灵活，要求考生熟练掌握基础知识并能灵活运用知识进行解题．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值．（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果．（3）要证明不等式成立，问题等价于证明，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，构造新函数，得到结论．解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①，t无解；②，即时，；③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；∴．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则，设，则，x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（1）=4因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4；（3）问题等价于证明，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取到设，则，易得，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．点评：不同考查利用导数研究函数的最值，利用最值解决函数的恒成立思想，不同解题的关键是构造新函数，利用新函数的性质解决问题．。