任意角和弧度制练习题(含答案)教学内容

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。

高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.4.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.5.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，求sinα的值．【答案】【解析】∵OP＝，∴cosα＝＝x.又α是第二象限角，∴x<0，得x＝－，∴sinα＝＝.6.已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.【答案】4【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以S＝4(cm2)max7.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.8.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.9.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用商数关系及题设变形整理即得的值；（2）注意既是一个无理式，又是一个分式，那么化简时既要考虑通分，又要考虑化为有理式.考虑通分，显然将两个式子的分母的积作为公分母，这样一来，被开方式又是完全平方式，即可以开方去掉根号，从将该三角式化简.试题解析：（1）∵∴ 2分解之得 4分（2）∵是第三象限的角∴= 6分=== 10分由第（1）问可知：原式＝＝ 12分【考点】三角函数同角关系式.10.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.12.已知角的终边经过点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故点的坐标为，所以，所以，解得，故选A.【考点】三角函数的定义13.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.14.已知扇形的周长是8cm，圆心角为2 rad，则扇形的弧长为 cm．【答案】4【解析】设扇形的弧长，半径，圆心角分别为，则，又由即，得.【考点】扇形的弧长公式.15.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.16.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.17.已知角的终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，角的终边与单位圆交于，所以，，=，故选.【考点】三角函数的定义，三角函数诱导公式、倍角公式.18.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.19.若角与角终边相同，则在内终边与角终边相同的角是 .【答案】【解析】因为角与角终边相同，所以=2kπ+，z，=，令k=0，1,2,3分别得到，即为所求。

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）． 故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=， 故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（ ）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ， 过点O 作OD CD ⊥， 在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=， 又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（ ）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可． 【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ） ABCD． 【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==， 所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23， 解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。

人教A 版（2019）必修第一册 5.1 任意角和弧度制一、单选题1．已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．下列选项中，满足αβ<的是（ ） A ．1α=，2β=︒ B ．1α=，60β=-︒ C ．225α=︒，4β= D ．180α=︒，πβ=4．下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ） A ．-56°与664° B ．800°与-1360° C ．150°与630° D ．-150°与930°5．角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ，则角α与β的终边（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上答案都不对6．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．半径为1cm ，圆心角为120︒的扇形的弧长为（ ） A ．1cm 3B ．2cm 3C ．cm 3πD ．2cm 3π8．已知()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，则角θ的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第三或第四象限9．如图所示的时钟显示的时刻为4:30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为（ ）A ．2πB ．4π C ．8π D ．16π10．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．154π D ．52π11．下列说法：①终边相同的角必相等；①锐角必是第一象限角；①小于90︒的角是锐角；①第二象限的角必大于第一象限的角；①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是第三或第四象限角，其中错误的是（ ） A ．①①①B ．①①①C ．①①①①D ．①①①①{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（ ）A ．AB =∅ B ．B①AC ．A①BD ．A B =二、填空题13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．14．已知角2020α=-︒，则与α终边相同的最小正角是______．15．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.16．已知扇形的周长为16cm ，面积为162cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为___________.三、解答题17．已知扇形的周长为20cm ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数．18．一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.19．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．20．把下列各角化为2(02,)k k πααπ+<∈Z 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合． （1）463π-； （2）1485-︒；21．分别写出当角α在第四象限时，角2α的所在象限．参考答案：1．C根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩再判断角β的象限即可.【详解】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题. 2．D利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若角A 小于2π，取4A π=-，此时，角A 不是第一象限角，即“角A 小于2π”⇒“角A 是第一象限角”；若角A 是第一象限角，取24A ππ=+，此时，2A π>，即“角A 小于2π”⇐/“角A 是第一象限角”. 因此，“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的既不充分也不必要条件.故选：D. 3．C先判断出B ，D 不满足αβ<；然后利用角度制与弧度制的互化，判断出C 正确． 【详解】解：对于选项B ，有αβ>， 对于D ，有αβ=； 对于A ，因为1801()2π=︒>︒，所以满足αβ>， 对于C ，因为18044()225π=⨯︒>︒，满足αβ<．故选：C ． 4．C利用终边相同的两个角符合的规律逐一判断各选项即可得解. 【详解】因终边相同的两个角总是相差360的整数倍，对于A ，664(56)7202360--==⋅，即角-56°与664°终边相同，A 不正确； 对于B ，800(1360)21606360--==⋅，即角800°与-1360°终边相同，B 不正确； 对于C ，6301504801360120-==⋅+，即角150°与630°终边不相同，C 正确； 对于D ，930(150)10803360--==⋅，即角-150°与930°终边相同，D 不正确， 所以角150°与630°终边不相同. 故选：C 5．B根据终边相同角的定义判断可得； 【详解】解：因为角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ， 因为β与πβ-的终边关于y 轴对称， 而2()k k αππβ=+-∈Z 与πβ-的终边相同， 所以角α与β的终边关于y 轴对称 故选：B 6．B若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 【详解】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为1326ππ⨯⨯=，圆的周长为122ππ⨯=，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166ππ⨯=，正三角形的面积1112S =⨯⨯，则一个弓形面积6S π=则整个区域的面积为3(62ππ= 而圆的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 7．D利用扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】圆心角120︒化为弧度为23π， 则弧长为221cm 33ππ⨯=. 故选：D.8．C利用终边相同的角的概念，对当k 是奇数和偶数进行分类讨论，即可得解. 【详解】由已知，()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，当()2k m m =∈Z 时，24m πθπ=+，即角θ的终边在第一象限；当()21k m m =+∈Z 时，324m πθπ=+，即角θ的终边在第二象限． 所以角θ的终边在第一或第二象限． 故选：C 9．C求出α的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积. 【详解】由图可知，1284παπ=⨯=，所以该扇形的面积212481S ππ=⨯⨯=．故选：C. 10．B把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算． 【详解】 21203π︒=．2123323S ππ=⨯⨯=． 故选：B ． 11．C①取特殊角：0︒与360︒进行判断；①根据锐角的范围直接判断； ①取负角进行否定； ①取特殊角进行否定； ①取特殊角进行否定． 【详解】①终边相同的角必相等错误，如0︒与360︒终边相同，但不相等； ①锐角的范围为(0,90)︒︒，必是第一象限角，正确； ①小于90︒的角是锐角错误，如负角；①第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角； ①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是终边在y 轴负半轴上的角，故①错误． 其中错误的是①①①①． 故选C ．（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论. 12．D考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 45180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈ 表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥ ， 它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =. 故选：D.本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 13．2π-先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数. 【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周360-， 所以转过的角的弧度数是2π-. 故答案为：2π-本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14．140°先求出与α终边相同角的集合，再通过解不等式进行求解即可. 【详解】与2020α=-︒终边相同的角的集合为{}2020360,k k Z θθ=-︒+⋅︒∈， 令20203600k -︒+⋅︒>︒，解得10118k >，故当6k =时，140θ=︒满足条件． 故答案为：140° 15．285-︒根据终边相同的角的概念进行判断. 【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒. 故答案为：285-︒本题考查终边相同的角，属于基础题. 16．2设扇形圆心角为α，半径为r ，列方程组求出α的值．【详解】解：由扇形的周长为16cm ，面积为216cm ，可设扇形圆心角为α，且(0,2)απ∈，半径为r ， 则22161162r r r αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 解得24r α=⎧⎨=⎩所以2α=．故答案为：2．17．面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2设扇形的半径为R ，弧长为l ，依题意有220l R +=，利用扇形面积公式12S lR =扇形，利用基本不等式即可求得答案．【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则220l R +=．()()()210112021025222R R S lR R R R R -+⎡⎤==-⋅=-⋅=⎢⎥⎣⎦扇形（当且仅当5R =时取等号）． S 扇形最大值为25，此时5R =，10l =．故扇形圆心角的弧度数2l Rα==． 所以扇形面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2.18．2α=弧度，最大面积225cm设扇形的半径为r ，得出弧长为202,010r r -<<，确定扇形面积函数式，利用二次函数的性质，求出面积最大时半径和弧长的值，即可得出结论【详解】设扇形的半径为r ，其周长为20，则扇形弧长为202r -，且2020,010r r ->∴<<， 扇形面积221(202)10(5)252S r r r r r =-=-+=--+， 当=5r ，1025α==时，S 取最大值为25， 所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为25.本题考查扇形面积、弧长公式的应用、以及二次函数的最值，合理设元是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.19．（1）522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （3）,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．将角度化成弧度，结合任意角概念表示出来即可.【详解】对图（1），可看作5,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（2），可看作33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（3），可看作由,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．20．（1）第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（2）第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（3）第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣．利用与角α终边相同的角的集合的结论，即可得出结果.【详解】（1）4628233πππ-=-⨯+，它是第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （2）714855*********ππ-︒=-⨯︒+︒=-⨯+，它是第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （3）2042(820)ππ-=-⨯+-，而382022πππ<-<． 所以20-是第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣． 21．答案见解析由终边相同的角和象限角的定义进行判断即可【详解】（1）当角α在第一象限时，即22,2k k k Z ππαπ<<+∈，则,24k k k Z απππ<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，22,24n n n Z απππ<<+∈，则2α为第一象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),24n n n Z απππ+<<++∈，即522,24n n n Z αππππ+<<+∈，则角2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （2）当角α在第二象限时，即22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ，则,422k k k αππ+π<<+π∈Z ， 当2k n =（n Z ∈）时，22,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第一象限的角，当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),422n n n Z παπππ++<<++∈，即5322,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （3）当角α在第三象限时，即322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，则3,224k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),224n n n Z παπππ++<<++∈，即3722,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第四象限的角， 综上，角2α在第二或第四象限； （4）当角α在第四象限时，即3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),42n n n Z παπππ++<<++∈，即 7222,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α在第二或第四象限， 综上，角2α在第二或第四象限。