任意角和弧度制知识点归纳与练习(含详细答案)第1课时

4.1.1 任意角和弧度制[知识点归纳]1．角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的分类(1)正角：按逆时针方向旋转形成的角； (2)负角：按顺时针方向旋转形成的角；(3)零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．3．象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．4．弧度的概念与公式[题型精练]题型一 终边相同的角例 1．与－457°角终边相同角的集合是( )A ．{α|α＝k·360°＋457°，k ∈Z}B ．{α|α＝k·360°＋97°，k ∈Z}C ．{α|α＝k·360°＋263°，k ∈Z}D ．{α|α＝k·360°－263°，k ∈Z}[答案] C [解析] 与－457°角终边相同的角是α＝k·360°－457°，k ∈Z ，而α＝k·360°＋263°＝(k ＋2)·360°＋263°－720°＝(k ＋2)·360°－457°，k ∈Z.∴与－457°角终边相同角的集合是C.2．(2010北京高一期末)下列各角中，与60°角终边相同的角是( ) A ．－300° B ．－60° C ．600° D ．1380°[解析]与60°角终边相同的角α＝k ·360°＋60°，k ∈Z ，令k ＝－1，则α＝－300°，故选A.题型二 判断角所在的象限例 1．已知角α是第二象限角，试确定α2 的终边所在的象限．[解析] ∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k ∈Z.∵k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． [点评] (1)一般地，已知角α是某象限的角，求α2是第几象限的角时，把各象限都2等分(2是α2 的分母)，从∠AOB 开始逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到填满为止，则有标号n 的就是α为第n 象限时，α2所在象限数．(2)如已知角α为第四象限的角，判断α3为第几象限的角，如图将各象限三等分，依次标注1、2、3、4，则标号为4的区域就是α3所在的象限，即二、三、四象限．变式训练 1．若α是第四象限的角，则180°－α是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角[解析] 解法一：特例法，取α＝－30°，可知180°－α＝210°，因此180°－α是第三象限角．故选C. 解法二：如图可知，180°－α为第三象限角．2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( ) A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α[答案] C [解析] 特例法，取α＝30°，可知C 正确．[点评] 作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x 轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．3．(2012孝感高一检测)给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析 －90°<－75°<0°，180°<225°<270°， 360°＋90°<475°<360°＋180°， －360°<－315°<－270°. ∴这四个命题都是正确的．答案 D4．已知α为第三象限的角，则 α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限[解析] 由k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°，，k ∈Z 对k 分奇偶数讨论：当k ＝2n ，n ∈Z 时，α2为第二象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2为第四象限角．[答案] D5．如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z } [答案] C题型三 角度制与弧度制的互化例 1．把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数． (1)7π12； (2)－13π6； (3)1125°；(4)－225°.[分析] 角度与弧度的互化要抓住π rad ＝180°.[解析] (1)7π12＝712×180°＝105°. (2)－13π6＝－136×180°＝－390°.(3)1125°＝1125×π180＝25π4. (4)－225°＝－225×π180＝－5π4.变式训练 1．下列结论不正确的是( ) A.π3rad ＝60° B ．10°＝π18 rad C ．36°＝π5radD.5π8 rad ＝115° 解析：5π8＝5π8×(180π)°＝112.5°. 答案：D2．将－17π4化成α＋k ·360°(－360°<α<0°，k ∈Z)的形式为( )A ．－2×360°－15°B ．－3×360°＋45°C ．－2×360°－45°D ．－2×360°－75°解析：∵－17π4＝－π4－4π，∴可表示为－45°－2×360°. 答案：C题型四 扇形的弧长和面积例 1．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2B.3π2cm 2 C ．πcm 2D ．3πcm 2[答案] B [解析] ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)． 2．半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为________． 解析：圆心角α＝l r ＝8π12＝2π3，∴与α终边相同的角的集合为{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z}．答案：{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z} 3．已知扇形面积为3π8，半径是1，则扇形的圆心角是( )A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2解析：S 扇＝12αr 2＝12×α×12＝3π8，∴α＝3π4. 答案：C4．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形周长为( ) A ．6π cmB ．60 cmC ．(40＋6π) cmD ．1 080 cm解析：∵54°＝54×π180＝310π，∴扇形的周长为2r ＋l ＝40＋6π. 答案：C5．若扇形OAB 的面积是1 cm2，它的周长是4 cm ，求扇形的圆心角的弧度数． 解：设弧长为l ，半径为r ，由题意得12lr ＝1，①l ＋2r ＝4. ② 由①②解得l ＝2，r ＝1，所以α＝2.注意：弧长公式l ＝|α|·R 与扇形面积公式S ＝12|α|·R 2＝12l ·R 中的圆心角α的单位必须是弧度．。

1.1任意角和弧度制例1、用集合表示：（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在轴右侧的角的集合．解析：(1) 第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k ∈Z ｝第二象限角：｛α|k360o+90o ＜α＜k360o+180o,k ∈Z ｝ 第三象限角：｛α|k360o+180o ＜α＜k360o+270o,k ∈Z ｝ 第四象限角：{α|k360o+270o ＜α＜k360o+360o ,k ∈Z ｝ （2）在～ 中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为．说明：一个角按顺、逆时针旋转（ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．例2、在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）；（2）；（3）．解析：（1）∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与角终边相同的角是 ，它是第二象限角．例3、利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

证明： 如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππ弧长为l 的扇形圆心角为rad R l ∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ o R S l比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇 要简单任意角和弧度制（基础训练）1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600； （2）-210； （3）363014，解析：（1）S={β|β=600+k ×3600，k ∈Z}S 中适合-3600≤β<7200的元素是600+（-1）×3600=-3000 600+0×3600=600 600+1×3600=4200.（2）S={β|β=-210+k ×3600，k ∈Z} S 中适合-3600≤β<7200的元素是-210+0×3600=-210 -210+1×3600=3390 -210+2×3600=6990 （3）S={β|β=363014，+k ×3600，k ∈Z} S 中适合-3600≤β<7200的元素是 363014，+（-2）×3600=-356046， 363014，+（-1）×3600=3014， 363014，+0×3600=363014， 2、写出终边在下列位置的角的集合(1)x 轴的负半轴上；（2）y 轴上解析：（1）∵在0○～360○间，终边在x 轴负半轴上的角为1800，∴终边在x 轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k ×3600，k ∈Z }（2）∵在0○～360○间，终边在y 轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S 1={β|β=900+k ×3600，k ∈Z }同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S 2={β|β=2700+k ×3600，k ∈Z } 3、 把'3067化成弧度解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=4、 把rad π53化成度 解析：1081805353=⨯=rad π5、用弧度制表示：1︒终边在x 轴上的角的集合 2︒终边在y 轴上的角的集合 3︒终边在坐标轴上的角的集合解析：1︒终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ2︒终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3︒终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ6、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵165解析： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=∴)(655101211cm l ππ=⨯= 7、如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

典型题一 有关角的概念的问题
1.下列命题正确的是： （ ）
A.终边相同的角一定相等。
B.第一象限的角都是锐角。
C.锐角都是第一象限的角。
D.小于 900 的角都是锐角。
2.下列结论：①第一象限角都是锐角
②锐角都是第一象限角
③第一象限角一定不是负角
④第二象限角是钝角
⑤小于 180°的角是钝角、直角、或锐角。
4.与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k k 180 45, k
1）终边落在 y=x 上：
45 +k 360, k
2）终边落在第一象限角平分线上：
5.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。 以弧度为单位来度量角的单位制度叫弧度制。
C.3 个
D.4 个
2.[四川遂宁 2019 高一测试]将表的分针拨慢 20 分钟,则分针转过的角的弧度是（
）
A. 2 3
B. 3
C. 2 3
D.
3
3.已知扇形的周长为 6cm,半径是 2cm,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．4
B.1
C.1 或 4
D.2
4.若角α是第二象限角,则 是(
)
2
D. α-β=90°+ k 360 （k∈Z）
12.已知角α与β的终边关于 y 轴对称，则α与β的关系为（ ）
A. α-β=π+2kπ B. α-β=π +2kπ
2
13.若α=2kπ+π （k∈Z），则α的终边在（
3
3
2
C. α+β=2kπ ）
A．第一象限
B．第四象限

任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。

2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。

【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|2k k Z βββπα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以()1|222k k k Z απαππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭α是第二象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα222|α是第三象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα2322|α是第四象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα22232|要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：终边相同的角的集合例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。