数列求和习题精讲

第二讲 数列求和(一)

一、知识要点

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差

项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1

二、精讲精练

例题1、 有一个数列：4，10，16，22.„，52.这个数列共有多少项?

【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。

边学边练：等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?

例题2、有一等差数列：3.7，11.15，„„，这个等差数列的第100项是多少?

【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。

第100项=3+4×(100-1)=399.

边学边练：一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少? 例题3、有这样一个数列：1.2.3.4，„，99，100。请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，„，99，100与列100，99，„，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+„+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2

- 1 - 数列的通项公式与求和

112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)nnnnnnanSaaSnaaaaaaa 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求

1112{},1(1,2,).:(1){};(2)4nnnnnnnnanSaaSnnSnSa 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列

*121{}(1)()3(1),;(2):{}.nnnnnanSSanNaaa 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列

11211{},,.2nnnnaaaaann 已知数列满足求

练习1

练习2

练习3

练习4

- 2 - 112{},,,.31nnnnnaaaaan 已知数列满足求

111511{},,().632nnnnnaaaaa 已知数列中,求

111{}:1,{}.31nnnnnaaaaaa 已知数列满足，求数列的通项公式

练 8 若等比数列{}na的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221naaaa

练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n，…；

练习5

练

习6

练习7

- 3 - 练习10 求和：1111447(32)(31)nn

练习11 已知求和：111112123123n

练 习12 设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且

111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，

{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．

数列的通项公式与求和

112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)nnnnnnanSaaSnaaaaaaa 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求

1112{},1(1,2,).:(1){};(2)4nnnnnnnnanSaaSnnSnSa 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列

*121{}(1)()3(1),;(2):{}.nnnnnanSSanNaaa 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列

11211{},,.2nnnnaaaaann 已知数列满足求

练习1

练习2

练习3

练习4 112{},,,.31nnnnnaaaaan 已知数列满足求

111511{},,().632nnnnnaaaaa 已知数列中,求

111{}:1,{}.31nnnnnaaaaaa 已知数列满足，求数列的通项公式

练习8 等比数列{}na的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221naaaa

练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n，…；

练习5

练习6

练习7 练习10 求和：1111447(32)(31)nn

练习11 求和：111112123123n

练习12 设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．

答案

练习1答案：

练习2 证明：

(1)

注意到：

a(n+1)=S(n+1)-S(n)

代入已知第二条式子得：

S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n

平均数、等差数列例题精讲

一、公式汇总

1、等差数列与求和公式

通项公式：aan1=+(n-1)d

衍生公式：))aadaaaa1nn1n1=-(n-1)d=(-(n-1)n=(-d+1

求和公式：aan1nS=(+)n2

其中：an表示第n项，a1表示首项，n是项数，d是公差，nS是前n项和。

2、平均数公式

平均数=总数总份数

总数=平均数总份数

总份数=总数平均数

二、例题讲解

1、已知等差数列3，7，11，…，207，这个等差数列第13项是_____，这个数列共有_____项.

2、在100到300之间，所有个位数字是4的倍数的自然数之和是多少？

3、求所有除以5余2的两位数的和是多少？

4、在42与68之间插入4个数，使得这6个数成等差数列，这六个数之和是多少？

5、一个大阶梯教室有10排座位，后一排比前一排多2个位置，最有一排是40个座位。请问这个阶梯教室共（ ）座位。

6、刘明从甲地去乙地办事，他去的时候每分钟走60米，20分钟到乙地，然后按原路返回，每分钟走50米。问刘明从往返一次平均每分钟走（ ）米。

三、考点分析

1、等差数列：求和考的比较频繁，是重点，要善于应用；同时通项与公差也可能会考。

2、平均数：平均数首要是把握公式，重点是要会注意补差思想与比例关系，可以简化计算。