椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．三、自主热身、归纳总结1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】5－12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________． 【答案】：x 225＋y 275＝1【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1. 4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【答案】B【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4518【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.四、例题选讲考点一 椭圆的离心率的值例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，第(1)题图上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）13【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴m2（a －c ）＝m a ＋c，解得a ＝3c ，∴e ＝13.变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( ) A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB .设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d3.在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，c a ＝175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．(2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0<e <1)的动点的轨迹是椭圆，定点F 叫做椭圆的焦点，定直线l 叫做焦点F 相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形性质范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)， B 2(b,0) 焦点 F 1(－c,0) F 2(c,0) F 1(0，－c ) F 2(0，c ) 准线l 1：x ＝－a 2c l 2：x ＝a 2cl 1：y ＝－a 2c l 2：y ＝a 2c轴长轴A 1A 2的长为2a短轴B 1B 2的长为2b焦距 F 1F 2＝2c 离心率e ＝ca，且e ∈(0,1)a ，b ，c的关系 c 2＝a 2－b 2对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝54|PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( )[解析] (1)错误，|PA |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为105，则m ＝________.[解析] 由题设知a 2＝5，b 2＝m ，c 2＝5－m ，e 2＝c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝25，∴5－m ＝2，∴m ＝3.[答案] 33．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____．[解析] 椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝6,2a ＝20，∴a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝64，故椭圆方程为x 264＋y 2100＝1.[答案]x 264＋y 2100＝1 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．[解析] 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.[答案] 35．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12， ∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴ca ＝22.[答案] 22考向1 椭圆的定义与标准方程【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________． [解析] (1)由条件知△AF 1B 的周长＝4a ＝43，∴a ＝ 3.∵e ＝c a ＝33，c 2＋b 2＝a 2，∴c ＝1，b ＝ 2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)∵椭圆的一条准线为x ＝－4，∴焦点在x 轴上且a 2c＝4，又2c ＝4，∴c ＝2，∴a 2＝8，b 2＝4，∴该椭圆方程为x 28＋y 24＝1.[答案] (1)x 23＋y 22＝1 (2)x 28＋y 24＝1,【规律方法】(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．[解析] (1)右焦点F (1,0)，则椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵a ＞5，∴椭圆的焦点在x 轴上，∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4，∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41. 由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ，∴△ABF 2的周长为4a ＝441.[答案] (1)x 24＋y 23＝1 (2)441考向2 椭圆的几何性质【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．(2)(2014·扬州质检)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．[解析] (1)依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a .由已知可得b 2c ＝6·bc a ，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.(2)在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，∴离心率e ＝2c 2a ＝33. [答案] (1)33 (2)33,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： (1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca；(2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．(2)(2014·徐州一中抽测)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．[解析](1)如图，在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2|PF 2|，且|PF 2|＝33|F 1F 2|， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，于是|F 1F 2|＝233a ，因此离心率e ＝c a ＝3a 3a ＝33.(2)法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.法二：如图所示，设O 是椭圆的中心，A 是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F 1PF 2＝60°，则只需满足60°≤∠F 1AF 2即可，又△F 1AF 2是等腰三角形，且|AF 1|＝|AF 2|，所以0°<∠F 1F 2A ≤60°，所以12≤cos∠F 1F 2A <1，又e ＝cos ∠F 1F 2A ，所以e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. [答案] (1)33 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 课堂达标练习 一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.[答案] x 216＋y 28＝1 2．(2013·四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 设P (－c ，y 0)代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝c a可得离心率e .由题意设P (－c ，y 0)，将P (－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2a 2＝b 4a2.∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵A (a,0)，B (0，b )，∴k AB ＝b －00－a ＝－b a . 又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c .∴e ＝ca＝c b 2＋c2＝c2c2＝22. [答案] 223．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.[解析] 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3. 如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|， ∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. [答案] 124．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．[解析] ∵△AOP 为等腰三角形，∴OA ＝OP ，故A (－a,0)，P (0，a )，又PQ →＝2QA →， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，a 3，由Q 在椭圆上得49＋a 29b 2＝1，解得b 2a 2＝15. ∴e ＝1－b 2a2＝1－15＝255. [答案] 2555．(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．[解析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2. 又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.因此椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. [答案] x 24＋y 23＝16．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为__________．[解析] 在△ABF 中，由余弦定理得 ，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57. [答案] 577．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[解析] 由定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝9，因此b ＝3. [答案] 38．(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．[解析] 依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上， ∴1a 2＋94b2＝1.① 又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. [答案] x 24＋y 23＝1二、解答题9．(2014·镇江质检)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．[解] (1)设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32， 故a 2－4a ＝32，解得a ＝4.故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O 、A 、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．[解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个叫做椭圆的焦点，两个的距离叫做焦距．(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( <e< )的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围≤x≤≤y≤≤x≤≤y≤顶点A1( )，A2( )A1( )，A2( )B1( )，B2( )B1( )，B2( )焦点F1( ) F2()F1( ) F2()准线l1：x＝－a2cl2：x＝a2cl1：y＝－a2cl2：y＝a2c轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F2＝离心率e＝ca，且e∈a，b，c的关系c2＝对称性对称轴：对称中心：1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)动点P到两定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝54|PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( )2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为105，则m ＝________.3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．考向1 椭圆的定义与标准方程【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．【规律方法】(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a ＞5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．考向2 椭圆的几何性质【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．(2)(2014·扬州质检)已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： (1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca；(2)只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．(2)(2014·徐州一中抽测)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．课堂达标练习 一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．2．(2013·四川高考改编)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．3．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.4．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．5．(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________．6．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为__________．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.8．(2013·大纲全国卷改编)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________．二、解答题9．(2014·镇江质检)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．10．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．。

第5讲 椭圆的性质及应用一、知识梳理1x 2y 2y 2x 22（1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝，D 中＝，故选：B ．（2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12.，答案： 12（3）如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ∥AB ，于是△OF A ∽△AFB ，且＝＝，即＝，可得e ＝＝．故选：C ．（4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F 是椭圆＝1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x 交椭圆于A 、B 两点，若|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，∴AF 1⊥BF 1，∴OA ＝OB ＝OF 1＝c ． ∴A （，），∴⇒，，⇒，e 2＝1﹣＝4﹣2，∴﹣1．故选：A ．变式训练：1、美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，可得，即a＝2b，所以e＝＝＝．故选：C．2、己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F作圆x2+y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可得，，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴，即e＝．故选：D．[题后感悟] (1)求离心率e 时，除用关系式a 2＝b 2＋c 2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2) 在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识． 例21、设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1解法一：由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P ⎝⎛⎭⎫a2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P|，即2c ＝⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2.∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.故选D.2、已知椭圆的标准方程为，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使得21PF F ∠为直角，求椭圆的离心率的取值范围 3、椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2若C 上的点P 满足21123F F PF =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是A.21≤eB.41≥eC.2141≤≤eD.410≤<e 或121<≤e【答案】C 解析：∵12233,2PF F F c ==∴，由三角形中，两边之和大于第三边得，故选C.点拨：（1）对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化.在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.（2）对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易.（3）整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化.正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在.（4）求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式.题型二 直线与椭圆位置关系1、直线和椭圆位置关系判定方法概述①直线斜率存在时221y kx b mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-= 当0∆>时 直线和椭圆相交 当0∆=时 直线和椭圆相切当0∆<时 直线和椭圆相离②直线斜率不存在时22221x x y a bλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：1︒无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。

【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2离心率①(01)c e e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。

椭圆的标准⽅程及⼏何性质椭圆的标准⽅程与⼏何性质⼀、知识梳理1、椭圆定义：平⾯内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼤于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼩于或等于||21F F ）的点的轨迹⼜是如何？2．标准⽅程：（1）焦点在x 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+b y a x ;（2）焦点在y 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+bx a y .3、重要关系： 222a b c =+。

（注意⼤⼩关系） 4、椭圆的⼏何性质由椭圆⽅程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。

（1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中）（2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中⼼，简称中⼼．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．长轴与短轴长分别为b a 2,2。

b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。

【⼩秘书】（1）求椭圆⽅程的⽅法：除了定义外，常⽤待定系数法；（2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设⽅程为221x y m n+=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。

（3）要重视椭圆定义解题的重要作⽤，要注意归纳提炼，优化解题过程。

【例1】求满⾜下列各条件的椭圆的标准⽅程.：(1)焦点在坐标轴上，且经过两点)31（3）以短轴的⼀个端点和两焦点为顶点的三⾓形为正三⾓形，且焦点到椭圆的最短练兵场：1. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的⼀个焦点是（0，2），那么k 等于（） (A)－1 (B)1 (C)5(D) －52、（08上海⽂）设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（）(A)4 (B)5 (C)8 (D) 103.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．4.椭圆的中⼼在原点，对称轴为坐标轴，椭圆的⼀个顶点B 与两焦点F 1F 组成三⾓形的周长为4+23，且∠F 1BF 2= 23π，求该椭圆⽅程。

椭圆的标准方程及几何性质椭圆是平面上的一种几何图形，它具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将探讨椭圆的标准方程及其几何性质。

首先，我们来看椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

如果椭圆的长轴与x轴平行，那么a代表长轴的长度，b代表短轴的长度；如果椭圆的长轴与y轴平行，则相反。

通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的形状和大小。

接下来，让我们来探讨一下椭圆的几何性质。

椭圆具有许多有趣的性质，其中一些包括焦点、直径、离心率等。

首先是椭圆的焦点。

椭圆有两个焦点，它们分别位于椭圆的长轴两端。

焦点的位置与椭圆的半轴长度有关，可以通过椭圆的标准方程轻松计算得出。

其次是椭圆的直径。

椭圆有两条相互垂直的直径，分别为长直径和短直径。

长直径的长度为2a，短直径的长度为2b。

这些直径是椭圆上许多重要几何元素的基础，如焦点、顶点等。

最后是椭圆的离心率。

椭圆的离心率代表了椭圆的独特形状。

它的计算公式为：\[e = \sqrt{1 \frac{b^2}{a^2}}\]离心率越接近于0，椭圆的形状就越接近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状就越狭长。

离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。

除了上述几何性质外，椭圆还具有许多其他有趣的特点，如切线、法线、曲率等。

这些性质使得椭圆成为数学和几何中的重要研究对象，也在实际生活中有许多应用，如天文学中行星轨道的描述、工程学中的椭圆形零件设计等。

总之，椭圆的标准方程及其几何性质是数学和几何中的重要内容，通过本文的介绍，希望读者能对椭圆有更深入的了解，并能在学习和工作中灵活运用。

椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上 焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距 )0(221>=c c F F )0(221>=c c F F 离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线 2a x c=±2a y c=±参数方程与普22221x y a b +=的参数方程为 22221y x a b+=的参数方程为3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为082b，长轴长为092a焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝122c对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14原点离心率e＝ca(0<e<1)a，b，c的关系15a2＝b2＋c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)y2 m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，B 1，B 2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB 1B 2的面积为6，则满足条件的点P 的个数为()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，则短轴|B 1B 2|＝2b ＝6，设椭圆上点P 的坐标为(m ，n )，由△PB 1B 2的面积为6，得12|B 1B 2|·|m |＝6，解得m ＝±2，将m ＝±2代入椭圆方程，得n ＝±332，所以符合题意的点P ，22，共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8，则点M 的轨迹方程为________________．答案x 212＋y 216＝1解析因为x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8>4，所以点M 的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，由题意得2a ＝8，即a ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝12，所以点M 的轨迹方程为x 212＋y 216＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以ca＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 29＋y 25＝1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，故所求的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.【通性通法】在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【巩固迁移】1．△ABC 的两个顶点为A (－3，0)，B (3，0)，△ABC 的周长为16，则顶点C 的轨迹方程为()A ．x 225＋y 216＝1(y ≠0)B ．y 225＋x 216＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题意，知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故顶点C 的轨迹为以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.其方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案43解析因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝43.(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析解法一：由题意，知c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，∴|PF 1||PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×163×32＝433解法二：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝4tan30°＝433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【巩固迁移】2．(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A ．25B ．302C ．35D ．352答案B解析解法一：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1||PF 2|＝152，|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，而PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO |＝|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|，即|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|＝12|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝1221＋2×152×35＝302.故选B.解法二：设∠F 1PF 2＝2θ，0＜θ＜π2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2＝cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝35，解得tan θ＝12.由椭圆的方程可知，a 2＝9，b 2＝6，c 2＝a 2－b 2＝3，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y P |＝12×23×|y P |＝6×12，解得y 2P ＝3，所以x 2P ＝＝92，因此|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝3＋92＝302.故选B.解法三：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO |)2＋|F 1F 2|2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝42，易知|F 1F 2|＝23，解得|PO |＝302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，点M ，N 在C 上，若|MF 2|＋|NF 2|＝6，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A ．9B ．20C ．25D ．30答案C解析根据椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝8，|NF 1|＋|NF 2|＝8，因为|MF 2|＋|NF 2|＝6，所以8－|MF 1|＋8－|NF 1|＝6，即|MF 1|＋|NF 1|＝10≥2|MF 1|·|NF 1|，当且仅当|MF 1|＝|NF 1|＝5时，等号成立，所以|MF 1|·|NF 1|≤25，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中，结合|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．【巩固迁移】3．(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆的右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2或最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为()A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 26＝1D ．x 25＋y 24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－3)，且与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．答案x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1解析椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是e ＝12，当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋3b 2＝1，2＝8，2＝6，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1；当焦点在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋4b 2＝1，2＝253，2＝254，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.【通性通法】1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【巩固迁移】4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的两个焦点，若P |PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，解得a＝2.又P C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以1222＋1，解得b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，则该椭圆的方程为________________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定() A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相同的离心率答案B解析由椭圆x225＋y29＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆x225－k＋y29－k1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝25－k，b1＝9－k，c1＝4，所以其长轴长是225－k，短轴长是29－k，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为()A．2B．23C．233D．4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a 2－c 2＝3c 2，所以b ＝3c ，故2a 2b ＝a b ＝2c 3c ＝233，所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1的长轴长为43，则其焦距为________．答案6解析由题意，得2a ＝43，所以a 2＝12，c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，解得c ＝3，故焦距2c ＝6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．答案33解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x＝c ，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为，因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，又|AF 1|＝|BF 1|，则△AF 1B 为等边三角形．解法一：由|F 1F 2|＝3|AF 2|，可知2c ＝3·b 2a ，即3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．解法二：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |＝43a ，又|AF 1|sin60°＝|F 1F 2|，所以43a ×322c ，解得c a ＝33，即e ＝33.解法三：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AB |＝|AF 1|＝|BF 1|＝43a ，即2b 2a ＝43a ，即2a 2＝3b 2，所以e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．解法一：设M (x 0，y 0)，MF 1→·MF 2→＝0⇒(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝0⇒x 20－c 2＋y 20＝0⇒y 20＝c2－x 20，点M (x 0，y 0)在椭圆内部，有x 20a 2＋y 20b 2<1⇒b 2x 20＋a 2(c 2－x 20)－a 2b 2<0⇒x 20>2a 2－a 4c2，要想该不等式恒成立，只需2a 2－a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e ＝c a <22，而e >0⇒0<e <22，即椭圆离心解法二：由MF 1→·MF 2→＝0，可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上，即圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，所以c <b ，则c 2<b 2，即c 2<a 2－c 2，所以2c 2<a 2，即e 2<12，又e >0，所以0<e <22，【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解方法三构造a ，c 的齐次式，可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．【巩固迁移】8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．6答案A解析由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.9．(2024·广东六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．答案33，解析设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2，得|PF 2|＝|F 1F 2|，即2c ，得m 2＝4c 2＝－a 4c2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1，即椭圆离心率的取值范围是33，考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案3解析由题意知，圆E 的圆心为E (1，0)，半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ，所以NE ⊥MN ，且|NE |＝1.又E (1，0)为椭圆C 的右焦点，所以2≤|ME |≤4，所以当|ME |＝2时，|MN |取得最小值，又|MN |＝|ME |2－|NE |2，所以|MN |min ＝22－12＝ 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意，知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1．已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为()A ．x 29＋y 2＝1B ．y 29＋x 25＝1C ．y 29＋x 2＝1D ．x 29＋y 25＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.故选D.2．(2024·九省联考)椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为12，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．2答案A解析由题意得e ＝a 2－1a＝12，解得a ＝233.故选A ．3．(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案B解析由9x 2＋4y 2＝36，可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e k 的取值范围是()A ．(0，3)BC ．(0，3)D ．(0，2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件，知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件，知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.5．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部，且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1答案D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，因为圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切，所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r .因为|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，知M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D.6．(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．1B ．2C ．4D ．5答案B解析解法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan45°＝1＝12|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.解法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.7．(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF周长的最大值为()A ．4＋5B ．6C ．25＋2D ．8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8.8．(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，Q 为C 上两点，2PF 2→＝3F 2Q →，若PF 1→⊥PF 2→，则C 的离心率为()A ．35B ．45C ．135D ．175答案D解析设|PF 2→|＝3m ，则|QF 2→|＝2m ，|PF 1→|＝2a －3m ，|QF 1→|＝2a －2m ，|PQ |＝5m ，在△PQF 1中，得(2a －3m )2＋25m 2＝(2a －2m )2，即m ＝215a .因此|PF 2→|＝25a ，|PF 1→|＝85a ，|F 2F 1→|＝2c ，在△PF 1F 2中，得6425a 2＋425a 2＝4c 2，故17a 2＝25c 2，所以e ＝175.故选D.二、多项选择题9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下列说法中正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件答案CD解析对于A ，当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，－k >0，－1>0，－1>4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，－1>0，－k >0，－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，D 正确．故选CD.10．(2024·海口模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6，为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，|AB |的取值范围是6)，∴△周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，解得－332，又F (6，0)，∴AF →·BF →＝0，∴AF ⊥BF ，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF＝12×26×1＝6，D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案14解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m ，b ＝1，所以1m＝2，m ＝14.12．(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，c ＝22－2，＝22，＝22，＝2，从而a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.13．(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，下顶点为A ，AF 的延长线交C 于点B ，若|AF |∶|BF |＝2∶1，则C 的离心率为________．答案33解析解法一：如图，设椭圆C 的右焦点为F ′，则|AF |＝|AF ′|＝a ，因为|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BF |＝a 2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3a 2，又|BF |＋|BF ′|＝2a ，所以|BF ′|＝2a －|BF |＝3a2，由余弦定理可知cos ∠BAF ′＝|AB |2＋|AF ′|2－|BF ′|22|AB ||AF ′|＝13，设O 为坐标原点，椭圆C 的焦距为2c ，则离心率e ＝ca ＝sin ∠OAF ′，因为∠BAF ′＝2∠OAF ′，故cos ∠BAF ′＝1－2sin 2∠OAF ′＝1－2e 2，所以e ＝33.解法二：设B 在x 轴上的射影为D ，由于|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BD |＝|OA |2＝b 2，|FD |＝|OF |2＝c 2，即－3c 2，将B 的坐标代入C 的方程，得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，得e ＝33.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案[1，4]解析由已知，得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝2a|PF 1|（2a －|PF 1|）＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4]．四、解答题15．(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 1P C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (0，－1)，点M 是椭圆C 上任意一点，求|MA |的最大值．解(1)因为P 3，P 4关于坐标轴对称，所以P 3，P 4必在椭圆C 上，有1a 2＋34b 2＝1，将点P 1(1，1)代入椭圆方程得1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2＝1，所以P 1(1，1)不在椭圆C 上，P 2(0，1)在椭圆C 上，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A (0，－1)是椭圆C 的下顶点，设椭圆上的点M (x 0，y 0)(－1≤y 0≤1)，则x 204＋y 20＝1，即x 20＝4－4y 20，所以|MA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＝4－4y 20＋(y 0＋1)2＝－3y 20＋2y 0＋5＝－0＋163，又函数y ＝－＋163在∞，＋，所以当y 0＝13时，|MA |2取到最大值，为163，故|MA |的最大值为433.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的标准方程．解(1)由题意，得A (－a ，0)，直线EF 2的方程为x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝ca ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝（2c ）2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②，得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.17．(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆CD ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以b ＞1，2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 所以C 正确；由PF 1→＝F 1Q →可得，F 1为PQ 的中点，而P (1，1)，F 1(－1，0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝（－3＋1）2＋（－1－0）2＋（－3－1）2＋（－1－0）2＝5＋17＝2a ，所以D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是()A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程，知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2的最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则k P A 1＝y ′x ′＋4，k P A 2＝y ′x ′－4，有k P A 1·k P A 2＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有k P A 1·k P A 2＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确．故选CD.19．(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，BP →＝2PO →，△BMN 的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解如图，由题意可得|BP |＝23b ，|PO |＝13b ，连接PF .由题意可知|BP |＝|PF |，在Rt △POF 中，由勾股定理，得|PO |2＋|OF |2＝|PF |2，＋c 2，整理得b 2＝3c 2，所以a 2－c 2＝3c 2，即a 2＝4c 2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.在Rt △BOF 中，cos ∠BFO ＝|OF ||BF |＝c a ＝12，所以∠BFO ＝60°.设直线MN 交x 轴于点F ′，交BF 于点H ，在Rt △HFF ′中，有|FF ′|＝|HF |cos ∠BFO ＝a ＝2c ，所以F ′为椭圆C 的左焦点，又|MB |＝|MF |，|NB |＝|NF |，所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长，又△FMN 的周长为4a ，所以4a ＝16，解得a ＝4.所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.20．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12.又因为0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是12，(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。