广州市2013届高三年级调研测试-数学(理科)答案详解

D2522233CBAPNM广州市2013届高三年级调研测试

数学（理科）试题解析 2013-1-9

一、选择题

1. A

分析：2i(23i)=2i3i2i332i，其对应的点为(3,2)，位于第一象限

2. D

分析：{0,1,2,3,4}A，{|2,}{0,2,4,6,8}BxxnnA，{0,2,4}AB

3. B

分析：22211loglog2244f，2112349fff

4. A

分析：当//ab时，有24(1)(1)0xx，解得3x；

所以3//xab，但//3abx，故“3x”是“//ab”的充分不必要条件

5. B

分析：逆推法，将sin2yx的图象向左平移6个单位即得()yfx的图象，

即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366fxxxxxx

6. C

分析：三棱锥如图所示，3PM，145252PDCS ，

12332PBCPADSS，14362PABS

7. B

分析：方程22221xyab表示焦点在x轴且离心率小于32的椭圆时，有222232abcabeaa ，

即22224abab，化简得2abab，又[1,5]a，[2,4]b，

画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，

求得阴影部分的面积为154，故152432SP阴影

8. C

分析：由题意得()()(1)xaxxax，故不等式()2xaxa化为()(1)2xaxa，

化简得2(1)220xaxa，

故原题等价于2(1)220xaxa在(2,)上恒成立，

由二次函数2()(1)22fxxaxa图象，其对称轴为12ax，讨论得

122(2)0af 或 1221()02aaf，解得3a 或 37a，

综上可得7a

二、填空题

9.28

分析：方法一、（基本量法）由34512aaa得11123412adadad，即13912ad ，

化简得134ad，故7117677(3)73282Sadad

方法二、等差数列中由173542aaaaa可将34512aaa化为173()122aa，

即178aa，故1777()282aaS

10.1

分析：299183991C()(1)Crrrrrrraxaxx，令6r，得其常数项为6369(1)C84a，

即38484a，解得1a

11.e

分析：设切点为000(,ln)xxx ，由1(ln)lnln1yxxxxxx得0ln1kx，

故切线方程为0000ln(ln1)()yxxxxx，整理得00(ln1)yxxx，

与2yxm比较得00ln12xxm，解得0ex，故em

x-2y=0755355B(-1,-2)OPOCBAD503(1592009)503(59132013)50315032013

12. 4

分析：圆方程2224150xyxy化为标准式为22(1)(2)20xy，其圆心坐标(1,2)，

半径25r，由点到直线的距离公式得圆心到直线20xy的距离22|12(2)|3551(2)d，由右图

所示，圆上到直线20xy的距离为5的点有4个．

13.3018

分析：由题意

11cos112a，222cos112a，333cos112a，444cos152a，555cos112a，666cos152a，777cos112a，888cos192a，

…

20091a， 20102009a， 20111a，

20122013a；

以上共503行，

输出的122012Saaa

3018

14.22

分析：如图，因为PCOP ，所以P是弦CD中点，

由相交弦定理知2PAPBPC，

即28PC，故22PC

x+y=1xydO12-11215. 2

分析：圆C的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1xy，

直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1xy，

如右图所示，圆心到直线的距离|021|222d，

故圆C截直线l所得的弦长为22212d

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解:∵123abB,,,

依据正弦定理得:abABsinsin, …………… 1分

即1232Asin,解得Asin34. …………… 3分

(2)解:∵ab，

∴02AB. …………… 4分

∴21314AAcossin. …………… 5分

∴39228AAAsinsincos, …………… 6分

252128AAcossin. …………… 7分

∵ABC,

∴23CA. …………… 8分

∴4223CAcoscos …………… 9分

442233AAcoscossinsin …………… 10分

153392828

531316. …………… 12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，

抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002.

∴应从,,,ABCD四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分

（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所

中学”为事件M，

从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C2501225种，…

5分

这两名学生来自同一所中学的取法共有C215C220C210C25350. …………… 6分

∴3501225PM27.

答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学

的概率为27. …………… 7分

(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,AC两所中学的学生人数分别

为15,10.

依题意得，的可能取值为0,1,2， …………… 8分

0P210225CC960， 1P111510225CCC12，2P215225CC720.

…………… 11分

∴的分布列为：

EMNDCBAPMNDCBAP

…………… 12分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）

（1）证法1：取PA的中点E，连接DEEN,，

∵点N是PB的中点,

∴12ENABENAB//,. …………… 1分

∵点M是CD的中点，底面ABCD是正方形，

∴12DMABDMAB//,. …………… 2分

∴ENDMENDM//,.

∴四边形EDMN是平行四边形.

∴MNDE//. …………… 3分

∵DE平面PAD，MN平面PAD，

∴MN//面PAD. …………… 4分

证法2：连接BM并延长交AD的延长线于点E，连接PE， 0 1 2

P 960 12 720

NP ∵点M是CD的中点，

∴12DMABDMAB//,, …………… 1分

∴点M是BE的中点. …………… 2分

∵点N是PB的中点,

∴MNPE//. …………… 3分

∵PE面PAD，MN平面PAD，

∴MN//面PAD. …………… 4分

证法3： 取AB的中点E，连接NEME,，

∵点M是CD的中点，点N是PB的中点,

∴MEAD//，NEPA//.

∵AD面PAD，ME平面PAD，

∴ME//面PAD. …………… 1分

∵PA面PAD，NE平面PAD，

∴NE//面PAD. …………… 2分

∵MENEE，NE平面MEN，ME平面MEN，

∴平面MEN//面PAD. …………… 3分

∵MN平面MEN，

∴MN//面PAD. …………… 4分