分式总复习学案
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分式总复习学案
一、分式的基本概念
1、 分式的定义
如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子\（＼frac{A}｛B}＼）就叫做分式。
需要注意的是：
（1）分式的分母中必须含有字母；
（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{2}｛x 1}＼）都是分式，而\（＼frac{2}｛3}＼），＼（＼frac{x^2}｛x}＼）（当\（x ＝ 0\）时）不是分式。
2、 分式有意义的条件
分式有意义的条件是分母不为零。
即：对于分式\（＼frac{A}｛B}＼），＼（B ≠ 0\）时，分式有意义。
例如：对于分式\（＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＼），当\（x 2 ≠ 0\），即\（x ≠ 2\）时，分式有意义。
3、 分式的值为零的条件 分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。
即：对于分式\（＼frac{A}｛B}＼），当\（A ＝ 0\）且\（B ≠ 0\）时，分式的值为零。
例如：若分式\（＼frac{x^2 1}｛x ＋ 1}＼）的值为零，则\（x^2 1
＝ 0\）且\（x ＋ 1 ≠ 0\），解得\（x ＝ 1\）。
二、分式的基本性质
1、 分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
即：＼（＼frac{A}｛B} ＝ ＼frac{A×M}｛B×M}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝ ＼frac{A÷M}｛B÷M}＼）（＼（M ≠ 0\））
例如：＼（＼frac{x}｛y} ＝ ＼frac{x×2}｛y×2} ＝ ＼frac{2x}｛2y}＼）
2、 约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
公因式的确定方法：
（1）系数：取分子和分母系数的最大公约数；
（2）字母：取分子和分母共有的字母； （3）指数：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式\（＼frac{6x^2y}｛9xy^2}＼）约分，分子分母的公因式为\（3xy\），约分后为\（＼frac{2x}｛3y}＼）
3、 通分
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
最简公分母的确定方法：
（1）系数：取各分母系数的最小公倍数；
（2）字母：取各分母所有字母；
（3）指数：取各分母相同字母的最高次幂。
例如：将分式\（＼frac{1}｛x^2 2x ＋ 1}＼）和\（＼frac{1}｛x^2
1}＼）通分，分母分别为\（（x 1)＾2\）和\（（x ＋ 1)（x 1)＼），最简公分母为\（（x ＋ 1)（x 1)＾2\），通分后分别为\（＼frac{x ＋ 1}｛（x ＋ 1)（x 1)＾2}＼）和\（＼frac{x 1}｛（x ＋ 1)（x 1)＾2}＼）
三、分式的运算
1、 分式的乘除
（1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。 即：＼（＼frac{A}｛B} × ＼frac{C}｛D} ＝ ＼frac{A×C}｛B×D}＼）
例如：＼（＼frac{x}｛y} × ＼frac{y}｛x} ＝ 1\）
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
即：＼（＼frac{A}｛B} ÷ ＼frac{C}｛D} ＝ ＼frac{A}｛B} × ＼frac{D}｛C} ＝ ＼frac{A×D}｛B×C}＼）
例如：＼（＼frac{x^2}｛y} ÷ ＼frac{x}｛y^2} ＝ ＼frac{x^2}｛y} ×
＼frac{y^2}｛x} ＝ xy\）
2、 分式的加减
（1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即：＼（＼frac{A}｛C} ± ＼frac{B}｛C} ＝ ＼frac{A ± B}｛C}＼）
例如：＼（＼frac{x}｛x ＋ 1} ＋ ＼frac{1}｛x ＋ 1} ＝ ＼frac{x ＋
1}｛x ＋ 1} ＝ 1\）
（2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
即：＼（＼frac{A}｛B} ± ＼frac{C}｛D} ＝ ＼frac{AD}｛BD} ± ＼frac{BC}｛BD} ＝ ＼frac{AD ± BC}｛BD}＼）
例如：＼（＼frac{1}｛x} ＋ ＼frac{1}｛2x} ＝ ＼frac{2}｛2x} ＋
＼frac{1}｛2x} ＝ ＼frac{3}｛2x}＼） 3、 分式的混合运算
分式的混合运算顺序与整数的混合运算顺序相同：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
例如：计算\（（＼frac{x}｛x 1} ＼frac{1}｛x^2 x}） ÷ ＼frac{x^2
＋ 2x ＋ 1}｛x}＼）
＼
＼begin{align}
＆（＼frac{x}｛x 1} ＼frac{1}｛x(x 1)｝） ÷ ＼frac{（x ＋ 1)＾2}｛x}＼＼
＝＆＼frac{x^2}｛x(x 1)｝ ＼frac{1}｛x(x 1)｝ ÷ ＼frac{（x ＋ 1)＾2}｛x}＼＼
＝＆＼frac{x^2 1}｛x(x 1)｝ × ＼frac{x}｛（x ＋ 1)＾2}＼＼
＝＆＼frac{（x ＋ 1)（x 1)｝｛x(x 1)｝ × ＼frac{x}｛（x ＋ 1)＾2}＼＼
＝＆＼frac{1}｛x ＋ 1}
＼end{align}
＼
四、分式方程
1、 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
例如：＼（＼frac{x}｛x 1} ＝ 2\）是分式方程，而\（x^2 2x ＋ 1
＝ 0\）不是分式方程。
2、 分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。
（2）解分式方程的一般步骤：
①去分母，方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；
②解整式方程；
③验根，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不等于零，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
例如：解方程\（＼frac{2}｛x 2} ＋ ＼frac{x}｛2 x} ＝ 1\）
方程两边同乘\（x 2\）得：
＼（2 x ＝ x 2\）
解得：＼（x ＝ 2\）
检验：当\（x ＝ 2\）时，＼（x 2 ＝ 0\），所以\（x ＝ 2\）不是原方程的解，原方程无解。
3、 分式方程的应用 分式方程的应用主要涉及行程问题、工程问题、销售问题等。
解题的关键是找出题目中的等量关系，设出未知数，列出分式方程，然后求解并检验。
例如：一项工程，甲单独做需要\（x\）天完成，乙单独做需要\（y\）天完成，两人合作需要多少天完成？
设两人合作需要\（z\）天完成，根据工作总量 ＝ 工作效率×工作时间，可得：
＼（（＼frac{1}｛x} ＋ ＼frac{1}｛y}）z ＝ 1\）
解得：＼（z ＝ ＼frac{xy}｛x ＋ y}＼）
五、课后练习
1、 当\（x\）为何值时，分式\（＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＼）有意义？
2、 化简：＼（＼frac{x^2 4}｛x^2 ＋ 2x}＼）
3、 计算：＼（＼frac{x^2}｛x 1} ＼frac{x}｛x 1}＼）
4、 解方程：＼（＼frac{3}｛x 1} ＝ ＼frac{2}｛x ＋ 1}＼）
5、 某工厂现在平均每天比原计划多生产\（50\）台机器，现在生产\（600\）台机器所需的时间与原计划生产\（450\）台机器所需的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
