高中数学必修一新教材第3章 函数的概念与性质导学案

- 1 - 第三章 函数的概念与性质

3.1 函数的概念及其表示

3.1.1 函数的概念

学 习 目 标 核 心 素 养

1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)

2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)

3．能够正确使用区间表示数集．(易混点) 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．

2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．

3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.

自主预习

1．函数的概念

定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A

定义域 自变量x的取值范围

值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}

思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？

(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？

提示：(1)这种看法不对．

符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，

- 2 - 也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．

2．区间及有关概念

(1)一般区间的表示

设a，b∈R，且a

定义 名称 符号 数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]

{x|a

{x|a≤x

{x|a

(2)特殊区间的表示

定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}

符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)

思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？

(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？

提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．

(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．

1．函数y＝1x＋1的定义域是( )

A．[－1，＋∞) B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0)

2．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.

3．用区间表示下列集合：

(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；

- 3 - (2){x|x>1}用区间表示为________．

函数的概念

【例1】 (1)下列各组函数是同一函数的是( )

①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；

③f(x)＝x0与g(x)＝1x0； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．

①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；

②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；

③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；

④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A，B必须是非空实数集．

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2．判断函数相等的方法

(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

1．下列四个图象中，不是函数图象的是(

)

A B C D

2．下列各组函数中是相等函数的是( )

- 4 - A．y＝x＋1与y＝x2－1x－1 B．y＝x2＋1与s＝t2＋1

C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2

求函数值

【例2】 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，

(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．

(2)求g(f(x))．

[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；

(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．

函数求值的方法

1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值.

2求fga的值应遵循由里往外的原则.

3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．

求函数的定义域

[探究问题]

1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？

提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．

2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？

提示：[1,2]是自变量x的取值范围．

函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．

【例3】 求下列函数的定义域：

- 5 - (1)f(x)＝2＋3x－2； (2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；

(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝x＋12x＋1－1－x.

[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．

(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．

求函数定义域的常用方法

1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.

2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.

4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．

2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．

3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.

1．思考辨析

(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )

(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )

(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )

(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )

- 6 - (5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )

2．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )

A．y＝(x)2 B．y＝x2 C．y＝|x| D．y＝3x3

3．将函数y＝31－1－x的定义域用区间表示为________．

4．已知函数f(x)＝x＋1x，

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(2)的值；

(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．

3.1.2 函数的表示法

第1课时 函数的表示法

学

习 目 标 核 心 素 养

1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)

2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点) 1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．

2．通过函数解析式的求法培养运算素养.

函数的表示法

思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？

提示：不一定．

- 7 - 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝ 0，x∈Q，1，x∈∁RQ.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．

1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )

x 1≤x<2 2 2

f(x) 1 2

3

A.1 B．2 C．3 D．不存在

2．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(

)

A．y＝－14x2＋1 B．y＝14x2－1 C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是______．

函数的三种表示方法

【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．

列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．

1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )