高中数学第三章函数的概念与性质函数的概念学案新人教A版必修第一册

1 3.1.1 函数的概念

课程标准

(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．

新知初探·课前预习——突出基础性

教材要点

要点一 函数的概念

概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数❶

三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A

定义域 x的取值范围A

值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}

要点二 同一个函数

如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数❷.

要点三 区间及有关概念

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]❸

{x|a

{x|a≤x

2.特殊区间的表示

定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x

符号 ________ ________ ________ ________ ________

助学批注

批注❶ 抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．

批注❷ 只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．

批注❸ 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )

(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )

(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )

(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．( )

2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是( )

A B C D

3．区间(0，1)等于 ( )

A．{0，1}

B．{(0，1)} 3 C．{x|0＜x＜1}

D．{x|0≤x≤1}

4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1 函数的概念

例1 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是( )

(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )

A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方

B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数

D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积

方法归纳

1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤

2．判断一个对应关系是否为函数的方法 4

巩固训练1 (多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( )

A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|

B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2

C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝√x

D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0

题型 2 求函数值

例2 [2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝11+x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．

(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．

方法归纳

求函数值的2种策略

5

巩固训练2 已知函数f(x)＝x+1x+2.

(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．

题型 3 求函数的定义域

例3 求下列函数的定义域．

(1)y＝2＋3x−2； (2)y＝√x2−2x−3；

(3)y＝√3−x·√x−1； (4)y＝(x－1)0＋√2x+1.

方法归纳

求函数定义域的常用策略

6 巩固训练3 (1)函数f(x)＝√1+x−1x的定义域是( )

A．[－1，0)∪(0，+∞)

B．[－1，＋∞)

C．(－∞，0)∪(0，+∞)

D．R

(2)函数f(x)＝√−x2+6x−5的定义域为________．

题型 4 同一函数的判断

例4 下面各组函数中表示同一个函数的是( )

A．f(x)＝x，g(x)＝(√x)2

B．f(t)＝|t|，g(x)＝√x2

C．f(x)＝x2−1x−1，g(x)＝x＋1

D．f(x)＝|x|x，g(x)＝{1，x≥0−1，x<0

方法归纳

判断同一函数的三个步骤和两个注意点

(1)判断同一函数的三个步骤

(2)两个注意点：

①在化简解析式时，必须是等价变形；

②与用哪个字母表示无关． 7

巩固训练4 下列函数中与函数y＝x2是同一函数的是( )

A．u＝v2B．y＝x·|x|

C．y＝x3xD．y＝(√x)4

3．1.1 函数的概念

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

实数集 任意一个数x 唯一

要点二

定义域 对应关系

要点三

1．(a，b) (a，b]

2．(－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)

[基础自测]

1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

2．解析：只有D的函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点，故选D.

答案：D

3．答案：C

4．解析：f(3)＝3－√3+1＝3－2＝1.

答案：1 8 题型探究·课堂解透

例1 解析：(1)A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．

(2)对于选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．

答案：(1)BCD (2)A

巩固训练1 解析：选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数．

选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．

选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．

选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．

答案：ABD

例2 解析：(1)∵f(x)＝11+x，∴f(2)＝11+2＝13.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.

(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝11+11＝112.

巩固训练2 解析：(1)f(2)＝2+12+2＝34；

(2)∵f(1)＝1+11+2＝23；

∴f(f(1))＝f(23)＝23+123+2＝58.

例3 解析：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋3x−2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．

(2)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}． 9 (3)函数有意义，当且仅当{3−x≥0，x−1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．

(4)函数有意义，当且仅当{ x−1≠0，2x+1≥0，x+1≠0，解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．

巩固训练3 解析：(1)由{1+x≥0x≠0，解得：x≥－1且x≠0.

∴函数f(x)＝√1+x−1x的定义域是[－1，0)∪(0，+∞)．

(2)由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，

解得1≤x≤5，所以函数的定义域为[1，5].

答案：(1)A (2)[1，5]

例4 解析：对于A，f(x)＝x的定义域为R，而g(x)＝(√x)2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，g(x)＝√x2＝|x|，这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝x2−1x−1的定义域为{x|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定义域是R，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D，f(x)＝|x|x的定义域为{x|x≠0}，而g(x)＝{1，x≥0−1，x<0的定义域是R，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．

答案：B

巩固训练4 解析：函数y＝x2的定义域为R，对于A项，u＝v2的定义域为R，对应法则与y＝x2一致，则A正确；对于B项，y＝x·|x|的对应法则与y＝x2不一致，则B错误；对于C项，y＝x3x的定义域为{x|x≠0}，则C错误；对于D项，y＝(√x)4的定义域为{x|x≥0}，则D错误；故选A.

答案：A