四川省雅安市2021届新高考一诊数学试题含解析

2021年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＜0}U A）∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|2≤x＜4}D．{x|x＜2或x≥4} 2．（5分）若，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若，则cos2θ＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l是圆x2+y2＝25在点（﹣3，4）处的切线，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣25＝0B．3x+4y+7＝0C．3x+4y﹣7＝0D．3x﹣4y+25＝0 5．（5分）如图，在△ABC中，D为线段BC上异于B，E为AD的中点，若，则λ+μ＝（）A．B．C．D．6．（5分）居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称CPI）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月﹣2020年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是（）A．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势7．（5分）2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目（）A．120B．96C．48D．248．（5分）函数f（x）＝e|x|﹣x2﹣|x|的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．210．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），且g（x）的图象的一条对称轴是直线（）A．B．2C．3D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足，则f（2021）＝（）A．﹣3或4B．﹣4或3C．3D．412．（5分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，则三棱锥P﹣ABC体积最大值为（）A．B．C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．14．（5分）2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是．15．（5分）给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；③设α，β，γ为平面，若α⊥β，则α⊥γ；④设α，β，γ为平面，若α∥β，则α∥γ．其中所有正确命题的序号为．16．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣mx2+2x，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＞0，则实数m 的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17．（12分）在数列{a n}中，a1＝1，．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．良优合计男40女40合计（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50，60）和[90，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，求X的分布列和数学期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 Array19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE中，AE＝12，CD＝3，∠ABC＝60°，sin ∠CDE ＝．（1）求AC的值；（2）求△ABC面积的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB⊥AD，AB＝AM＝AD＝2．（1）证明：△BDM是正三角形；（2）若CD∥平面ABM，2CD＝AB，求二面角C﹣BM﹣D的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝x（e x﹣a）﹣2lnx+2ln2﹣2（a∈R）．（1）当a＝2时，若f（x）的一条切线垂直于y轴（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标为．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），PB关于x轴对称．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥4；（2）令f（x）的最小值为M，正数a，b，求证：．2021年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|2x＜4}，B＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＜0}U A）∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|2≤x＜4}D．{x|x＜2或x≥4}【分析】可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜6}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜4}．故选：C．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）若，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接由已知的复数进行化简，然后根据复数相等条件求出a，b，得到其在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：若，则a+2i＝2b（7﹣i）＝2b﹣2bi，根据复数相等的条件得，a＝6b，所以b＝﹣1，a＝﹣2，复数a+bi＝﹣2﹣i在复平面内所对应的点（﹣2，﹣1）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，还考查了复数相等条件，是基础题．3．（5分）若，则cos2θ＝（）【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为，可得sinθ＝4cosθ，可得tanθ＝2，则cos2θ＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．4．（5分）已知直线l是圆x2+y2＝25在点（﹣3，4）处的切线，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣25＝0B．3x+4y+7＝0C．3x+4y﹣7＝0D．3x﹣4y+25＝0【分析】设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解．．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣3，圆x2+y7＝25的圆心坐标为（0，0），圆心到直线l的距离为2＜5，此时直线l与圆相交；当直线l的斜率存在时，设切线l的方程为y﹣4＝k（x+5），圆x2+y2＝25的圆心坐标为（4，0），所以圆心到直线l的距离等于半径，即＝4，解得k＝，所以直线l的方程为x﹣y+3×，即3x﹣4y+25＝0．故选：D．【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．5．（5分）如图，在△ABC中，D为线段BC上异于B，E为AD的中点，若，则λ+μ＝（）【分析】由题意得，＝2＝2+2，结合B，D，C三点共线及向量共线定理有求出λ+μ的值．【解答】解：因为E为AD中点，且，则＝2+2，由题意得，B，D，C三点共线，所以6λ+2μ＝1即λ+μ＝．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量共线定理的应用，属于基础题．6．（5分）居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称CPI）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月﹣2020年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是（）A．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势【分析】根据全国居民消费价格指数增长率折线图，逐一判断各选项即可．【解答】解：由消费价格增长率折线图知，2020年1月到3月是降低，4月到9月降低，所以不是逐月增大，选项A错误；2019年9月到2020年4月的居民消费价格指数先增大后减小，所以B错误；2019年1月到5月的居民消费价格指数高于2020年8月到5月居民消费价格指数，所以C错误；2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势．故选：D．【点评】本题主要考查了统计图表等基本知识，也考查了数据处理能力和应用意识，属基础题．7．（5分）2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目（）A．120B．96C．48D．24【分析】先安排甲，再安排其他4人，根据分步计数原理可得．【解答】解：甲担任冰壶、冰球、自由式滑雪中的一项工作，故有A41A24＝96种，故选：B．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8．（5分）函数f（x）＝e|x|﹣x2﹣|x|的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，结合对称性，函数单调性和导数之间的关系进行判断排除即可．【解答】解：函数是偶函数，函数关于y轴对称，B，当x＞0时，f（x）＝e x﹣x2﹣x，f′（x）＝e x﹣6x﹣1，f′（1）＝e﹣3＜82﹣5＞3，则存在x0∈（1，8），故选：C．【点评】本题主要考查函数图象和性质等基本知识，考查逻辑推理能力及其应用，考查数形结合，化归与转化等思想．9．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．2【分析】利用双曲线的离心率求解a，然后求解双曲线C的一个焦点F到它的一条渐近线的距离．【解答】解：双曲线的离心率为，可得，解得a＝，所以，所以双曲线C的一个焦点F到它的一条渐近线的距离为：b＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．10．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x），且g（x）的图象的一条对称轴是直线（）A．B．2C．3D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值．【解答】解：∵将函数的图象向右平移，得到函数g（x）＝sin（ωx﹣+）的图象，∵g（x）的图象的一条对称轴是直线，∴ω×（﹣）﹣+，k∈Z，令k＝﹣1，可得ω的最小值为，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足，则f（2021）＝（）A．﹣3或4B．﹣4或3C．3D．4【分析】根据题意，利用特殊值分析可得f（1）＝，解可得f（1）的值，结合函数的奇偶性可得＝，则有f（x+2）＝f（2﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），即可得函数的周期性，则有f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）满足，若x＝﹣1，则f（1）＝＝，又由f（x）≥0，则f（x）＝4，f（x）为偶函数，则＝，则有f（x+6）＝f（2﹣x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（8+2020）＝f（1）＝4，故选：D．【点评】本题考查抽象函数的求值，注意分析函数的周期性，属于中档题．12．（5分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，则三棱锥P﹣ABC体积最大值为（）A．B．C．D．2【分析】推导出BC⊥AB，BC⊥平面ABP，AP⊥BC，AP⊥BG，从而AP⊥平面PBC，BP ⊥AP，进而V P﹣ABC＝V C﹣APB＝＝，令P A＝m，PB＝n，则m2+n2＝4，进而＝，由此能求出三棱锥P﹣ABC体积最大值．【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，∵平面ABCD⊥平面APB，平面ABCD∩平面APB＝AB，∴BC⊥平面ABP，∵AP⊂平面ABP，∵G为PC上一点，且BG⊥平面APC，∴AP⊥BG，∵BC∩BG＝B，BC⊂平面PBC，∴AP⊥平面PBC，∵BP⊂平面PBC，∴V P﹣ABC＝V C﹣APB＝＝，令P A＝m，PB＝n2+n2＝4，∴＝，当且仅当m＝n＝时，取“＝”，∴三棱锥P﹣ABC体积最大值为．故选：A．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（1，化目标函数为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣+z过A时，z有最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14．（5分）2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是．【分析】设事件A为“这次比赛乙队不输”，则事件为“这次比赛甲队获胜”，利用对立事件概率公式能求出这次比赛乙队不输的概率．【解答】解：设事件A为“这次比赛乙队不输”，则事件，∵甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，∴P（）＝，∴这次比赛乙队不输的概率是：P（A）＝4﹣P（）＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查互斥事件概率等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想．15．（5分）给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；③设α，β，γ为平面，若α⊥β，则α⊥γ；④设α，β，γ为平面，若α∥β，则α∥γ．其中所有正确命题的序号为①②④．【分析】直接利用面面垂直和面面平行的判定和性质判定①②③④的结论．【解答】解：对于①：根据线面垂直的性质：同时垂直于一条直线的两个平面互相平行，故①正确；对于②：由线面平行的性质和线面垂直的性质：一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，故②正确；③设α，β，γ为平面，β⊥γ，α⊥γ不一定成立；④设α，β，γ为平面，β∥γ，则α∥γ．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：面面垂直和面面平行的判定和性质，主要考查学生的理解能力，属于基础题．16．（5分）设函数f（x）＝lnx﹣mx2+2x，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＞0，则实数m 的取值范围是[+1，2）．【分析】讨论m≤0时，不符合题意；当m＞0时，利用导数，求得函数y＝的单调性与最值，作出函数函数y＝和y＝mx﹣2的大致图象，结合图象即可求得m的取值范围．【解答】解：当m≤0时，f′（x）＝，f（x）单调递增3，使得f（x0）＞0，不符合题意；当m＞2时，由于x＞0＞mx﹣2，y＝，y′＝，y′＞0，y′＜2，所以函数y＝在（0，在（e，所以y＝的极大值也是最大值为，y→﹣∞，y→4，所以作出函数y＝和y＝mx﹣2的大致图象，过点（0，﹣3）的直线y＝mx﹣2介于（1，（8，，直线y＝mx﹣4过点（1，0）时，直线y＝mx﹣2过点（2，m的值为，由图可知，m的取值范围是[，8）．故答案为：[+5．【点评】本题主要考查函数图象和性质、导数的应用，考查化归与转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17．（12分）在数列{a n}中，a1＝1，．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】证明：（1）因为，所以a n+1+6＝2（a n+1），又a4＝1，所以a1+3＝2≠0，所以数列{a n+8}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，所以数列{a n}的通项公式．解：（2）由（1）得，所以，①，，②由①﹣②得，即，所以．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．良优合计男40女40合计（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50，60）和[90，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，求X的分布列和数学期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 Array【分析】（1）根据频率分布直方图，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X可能的取值有0，1，2，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（1）列联表下：良优合计男202040女204060合计4060100由题得，，所以能在犯错误的概率不超过5.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．（2）由已知得体验度评分为[50，60）和[90，20人，则在随机抽取的6人中评分为[50，60）有2人，100]有4人．则X可能的取值有0，1，6，，，，则X的分布列为：X052P所以．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及离散型随机变量及其分布列，期望计算问题，是中档题．19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE中，AE＝12，CD＝3，∠ABC＝60°，sin ∠CDE＝．（1）求AC的值；（2）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）在△CDE中，由正弦定理可得sin∠CED的值，利用大边对大角可得∠CED 为锐角，进而可得∠CED，利用三角形内角和定理可求∠AEC的值，根据勾股定理可求AC的值．（2）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求AB•BC≤192，进而根据三角形的面积公式即可求解△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）在△CDE中，由正弦定理可得，所以sin∠CED＝＝＝，因为CD＜CE，所以∠CED为锐角，所以∠CED＝30°，所以∠AEC＝∠AED﹣∠CED＝120°﹣30°＝90°，所以AC＝＝＝8．（2）在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC6﹣2AB•BC•cos60°，即192＝AB2+BC8﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC，当且仅当AB＝BC＝8，所以AB•BC≤192，所以S△ABC＝AB•BC•sin60°≤，即△ABC面积的最大值是48．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角形的面积公式等基础知识的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力与应用意识，考查了化归与转化思想，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB⊥AD，AB＝AM＝AD＝2．（1）证明：△BDM是正三角形；（2）若CD∥平面ABM，2CD＝AB，求二面角C﹣BM﹣D的余弦值．【分析】（1）通过求解BD2＝AB2+AD2＝8，BM2＝AB2+AM2＝8，DM2＝AD2+AM2＝8，即可证明△BDM是正三角形．（2）以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．求出平面BDM的一个法向量，平面CBM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】（1）证明：由已知，AM⊥平面ABCD，所以，AM⊥AB．又AB＝AM＝AD＝2，AB⊥AD，所以，BD2＝AB7+AD2＝8，BM4＝AB2+AM2＝6，DM2＝AD2+AM2＝8，则BD＝BM＝DM，所以△BDM是正三角形．（2）解：因为AB⊥AD，AM⊥平面ABCD，以A为原点，直线AB，AM分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系．由CD∥平面ABM，易知CD∥AB，则B（2，8，C（1，2，D（5，2，M（0，8．所以，．设平面BDM的一个法向量为，则取x＝1，得．同理可求平面CBM的一个法向量为．所以，，即二面角C﹣BM﹣D的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，勾股定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．21．（12分）已知函数f（x）＝x（e x﹣a）﹣2lnx+2ln2﹣2（a∈R）．（1）当a＝2时，若f（x）的一条切线垂直于y轴（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）求导，设切点为（x0，f（x0）），由题意可知f'（x0）＝0，可得lnx0＝ln2﹣x0，计算f（x0）＝0即可得证；（2）法一：将不等式转化为对于x＞0恒成立，令，利用导数求得h（x）的最小值，即可求得a的取值范围；法二：构造同构函数，结合不等式e x≥x+1即可解决．【解答】（1）证明：由题可知f（x）＝x（e x﹣2）﹣2lnx+2ln2﹣2（x＞6），则，设切点为（x0，f（x7）），则由f'（x0）＝0得，f（x4）则，即lnx0＝ln2﹣x4，则有，所以所求切线为y＝0，即为x轴．（2）解：因为f（x）＝x（e x﹣a）﹣2lnx+3ln2﹣2≥3，其中x＞0，则对于x＞5恒成立，令，则，即，令u（x）＝x2e x+8lnx﹣2ln2，则，其中x＞0，则u（x）＝x2e x+3lnx﹣2ln2为（3，+∞）的增函数，又因为u（1）＝e﹣2ln2＞7，，所以存在，使得，即，而，又由于v（x）＝xe x为（0，+∞）的增函数，故，即，又0＜x＜x2，h'（x）＜0，h（x）为减函数0，h'（x）＞3，h（x）为增函数，所以，故a的取值范围是（﹣∞，2]．另解：因为f（x）＝x（e x﹣a）﹣2lnx+5ln2﹣2≥6，其中x＞0，所以e x﹣x﹣lnx+ln2﹣1≥7，即﹣（lnx﹣ln2）﹣4≥x，即≥﹣5，令g（x）＝e x﹣x﹣1，g′（x）＝e x﹣1，当x∈（﹣∞，2）时，g（x）单调递减，+∞）时，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，所以e x+lnx﹣ln2﹣（x+lnx﹣ln4）﹣1≥0，（当x+lnx﹣ln2＝0时取等号）所以≥0，所以﹣1≤0，故a的取值范围是（﹣∞，5]．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标为．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），PB关于x轴对称．【分析】（1）直接把曲线C的参数方程中的参数消去，可得曲线C的普通方程，把直线l的极坐标方程展开两角和的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）联立直线l与曲线C的直角坐标方程，求得A，B的坐标，由P A与PB的斜率和为0，即可证明直线P A，PB关于x轴对称．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数α，可得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标为，即，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；证明：（2）由，消去y6﹣4x＝0．可得A，B的坐标分别为（7，（，），直线P A，PB的斜率分别为，，∴，于是，直线P A．【点评】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≥4；（2）令f（x）的最小值为M，正数a，b，求证：．【分析】（1）通过当x≤﹣1时，当﹣1＜x≤1时，当x＞1时，去掉绝对值符号，求解不等式即可．（2）求出函数的最小值M＝2．然后转化利用基本不等式，求解即可．【解答】（1）解：当x≤﹣1时，f（x）＝﹣2x+5﹣x﹣1＝﹣3x+6≥4；当﹣1＜x≤8时，f（x）＝﹣2x+2+x+5＝﹣x+3≥4；当x＞5时，f（x）＝2x﹣2+x+7＝3x﹣1≥3，得．所以，不等式的解集为．（2）证明：由（1），当x≤﹣6时；当﹣1＜x≤1时，f（x）＝﹣x+4≥2；当x＞1时，f（x）＝7x﹣1＞2，f（x）的最小值为3．于是a，b，c满足a+b+c＝2，＝＝当且仅当且且即a＝b＝c时取“＝”．【点评】本题考查函数的最值的求法，不等式的证明，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

高2021级第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分HY一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．BBCDA DAACC BC二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．13．214．甲15．216．①④三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．解：由|x -a |≤4有-4≤x -a ≤4，解得a -4≤x ≤a +4，即A ={x |a -4≤x ≤a +4}．……………………………………………………2分 由116<+x 可变形为015<+-x x ，等价于(x +1)(x -5)＞0，解得x ＜-1或者x ＞5， 即B ={}51>-<x x x 或．………………………………………………………4分 〔Ⅰ〕由A ∩B =(]75，知a +4=7，解得a =3． ……………………………7分 〔Ⅱ〕由A ∩B =A 有A ⊆B ，∴ a +4＜-1，或者a -4＞5， …………………………………………………10分 解得a ＜-5或者a ＞9． ………………………………………………………12分 18．解：〔Ⅰ〕由5010.05==n ， 于是5.05025==m ，x =50-(4+5+25+6)=10，2.05040==y ， 即m ，n =50，x =10，y ． …………………………………………4分〔Ⅱ〕据题意，所抽取的两人应分别在(]5.42.4，和(]4.51.5，内取， ∴ 1152112625=+=C C C P ．即所求的概率为115． …………………………………………………………7分 〔Ⅲ〕因为采用的是分层抽样，所以样本中一共有10名女生， 由题知该校的高三女生人数为13013110=÷人， ∴ 全校高三学生人数为130×5=650人．根据频率统计表知，该校高三学生中视力高于 4.8的人数为650×(0.2+0.12)=208人． ……………………………………………………12分 19．解：〔Ⅰ〕设{a n }的公比为q ，那么q ＞0，由有⎩⎨⎧⋅==+，，)(9)(164112111q a a q a q a a 可解得31=q 〔31-=q 已舍去〕，311=a ． ∴ nn n a )31()31(311=⨯=-． ……………………………………………………6分 〔Ⅱ〕∵ 2)1(-2)1(3213213)31()31()31()31()31()31(3++++++===⋅⋅⋅⋅=n n n n n n b n，∴2)1(1+-=n n b n ，即)111(2)1(2+--=+-=n n n n b n ．………………………9分 ∴n n b b b b S ++++= 321)1113121211(2+-++-+--=n n )111(2+--=n 12+-=n n． ………………………………………………………………12分 20．解：〔Ⅰ〕23)2(23)2()(2-+-=-+-=x x x x x h ， ∴ xx x h x f 3)2()(+=+=． ……………………………………………………3分 设0＜x 1＜x 2≤3，那么)3(3)()(221121x x x x x f x f +-+=- 212121)(3)(x x x x x x ---= 2121213)(x x x x x x -⋅-=， ∵ 0＜x 1＜x 2≤3，∴ x 1- x 2＜0，x 1x 2＜3即x 1x 2-3＜0，x 1x 2＞0， ∴ f (x 1)-f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴ f (x )在(0，3)上是减函数．……………………………………………7分 〔Ⅱ〕∵xax x g ++=3)(， ∴ 由有xa x ++3≥8有a ≥-x 2+8x -3， 令t (x )=-x 2+8x -3，那么t =-(x -4)2+13，于是t (x )在(0，3)上是增函数． ∴ t (x )max =12．∴ a ≥12．……………………………………………………………………12分 21．解：〔Ⅰ〕由有ax x x f 23)(2-='，∴ 0382)38(3)38(2=⨯-⨯='a f ，解得a =4． …………………………………2分于是)83(83)(2-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得x 0=0或者38=x ．〔Ⅱ〕要使f (x )在区间[1，2]内至少有一个实数x ，使得f (x )<0，只需f (x )在[1，2]内的最小值小于0．∵)23(23)(2a x x ax x x f -=-='，且由0)(='x f 知x 1=0，322a x =， ①当32a≤0即a ≤0时，0)(>'x f ，∴ f (x )在[1，2]上是增函数， 由023)1()(min <-==a f x f ，解得23>a ．这与a <0矛盾，舍去． ②当320a <≤1即0<a ≤23时，0)(>'x f ，∴ f (x )在[1，2]上是增函数．由023)1()(min <-==a f x f ，解得23>a ．这与0<a ≤23矛盾，舍去． ③当1<32a <2即323<<a 时， 当1≤32a x <时0)(<'x f ，∴ f (x )在⎪⎭⎫⎢⎣⎡321a ，上是减函数， 当32a ≤x <2时0)(>'x f ，∴ f (x ) 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡132，a 上是增函数． ∴02744)32()(3min <-==a a f x f ，解得a >3．这与23<a <3矛盾，舍去．④当32a≥2即a ≥3时，0)(<'x f ，f (x )在[1，2]上是减函数， ∴0412)2()(min <-==a f x f ，解得a >3．结合a ≥3得a >3．综上，a >3时满足题意．……………………………………………………12分 22．解：〔Ⅰ〕证明：令x =y =0时，那么由有)00100()0()0(⨯--=-f f f ，可解得f (0)=0．再令x =0，y ∈(-1，1)，那么有)010()()0(yyf y f f ⋅--=-，即f (-y )=-f (y )，∴ f (x )是(-1，1)上的奇函数．……………………………………………4分 〔Ⅱ〕令x =a n ，y =-a n ，于是)12()()(2nnn n a a f a f a f +=--， 由得2f (a n )=f (a n+1)，时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者： 十乙州 时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者： 十乙州 ∴ 2)()(1=+n n a f a f ， ∴ 数列{f (a n )}是以f (a 1)=1)21(-=f 为首项，2为公比的等比数列． ∴.221)(11---=⋅-=n n n a f ……………………………………………………8分 〔III 〕n n n a f b 21)(21=-=， ∴ T n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n n n 211211)211(21-=--=.……………………………10分 于是不等式21441<--+m T m T n n 即为21)211(4)211(41<----+m m n n ， 整理得212)4(24)4(2<----m m n n ． 令t =2n (4-m )，于是变形为2124<--t t ，等价于2<t <6． 即2<2n (4-m )<6． 假设存在正整数m ，n 使得上述不等式成立，∵ 2n是偶数，4-m 为整数，∴ 2n (4-m )=4． 于是 ⎩⎨⎧=-=，，1442m n 或者⎩⎨⎧=-=，，2422m n 解得⎩⎨⎧==，，23n m 或者⎩⎨⎧==.12n m ， 因此存在正整数m =2，n =1或者m =3，n =2使原不等式成立．…………14分。

A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分 期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
15.函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；

因为平面ABD 平面BCD ,平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，
因为 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
因为 ，即 ，整理可得 ，
即 ，显然 ，故 .
因此，直线 与直线 的斜率之和为 .
【解法二】参数方程法：设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
代入双曲线可得
同理
因为
即两斜率和为零。
【思维方式】本题的两种方法;一种是代数法，另一种参数法。求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积.
答案：(1)详见解析(2)
【知识点】垂直位置关系、二面角的求法
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
【解法一】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点 双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 ；
（2）设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，