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湖南省邵阳市2021届新高考一诊数学试题含解析

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湖南省邵阳市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x Q 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.2． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2kπ＋45°(k ∈Z)B ．k·360°＋π(k ∈Z)C ．k·360°－315°(k ∈Z)D ．kπ＋ (k ∈Z)【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案. 【详解】 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确.故答案为C 【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与α终边相同的角β=0360k ⋅+α 其中k z ∈.3．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．500【答案】A 【解析】分析：设三角形的直角边分别为13. 解析：设三角形的直角边分别为132，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为)231423=-∴42323--=.∴落在黄色图形内的图钉数大约为231000134⨯≈.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．3B ．32C ．53D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =；'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.6．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且3PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 3,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【详解】因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒， 所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，又130324PF a k a c -==+， 2a c ∴= 223a b ∴=，解得3ba= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.7．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞ B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据AB 中点在y 轴上，设出,A B 两点的坐标()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >）.对t 分成1,1,1t t t =三类，利用OA OB ⊥则0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，列方程，化简后求得ln t a t =，利用导数求得ln tt的值域，由此求得a 的取值范围.根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数，不妨设()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >），若1t <，则32()f t t t =-+，由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即()()232320t t ttt -++-+=，方程无解；若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，则ln ()(1)a t f t t t =+，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即()232ln 0(1)a t t t t t t -++=+，即ln t a t =，因为()'2ln 1ln ln t t t t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数ln tt 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，故在e t =处取得极小值也即是最小值e ln e e =，所以函数ln ty t=在(1)+∞上的值域为[),e +∞，故[e,)a ∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.8．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.9．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．235B ．835C ．635D ．37【答案】B 【解析】 【分析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：114237835C C P C ==故选：B 【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.10．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】首先由[]0,x π∈，可得3x πω-的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的不等式，解不等式即可求得范围. 【详解】因为[]0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以只需4233πππωπ≤-≤，∴5563ω≤≤. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 11．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->- B ．()()211bb a a ->- C ．()()11a b a b +>+ D ．()()11a ba b ->- 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1xy a =-是减函数， 又因为01b <<，所以1b b >，2b b >， 所以()()111bba a -<-，()()211bba a -<-，所以A,B 两项均错； 又111ab <+<+，所以()()()111aaba b b +<+<+，所以C 错； 对于D ，()()()111abba ab ->->-，所以()()11aba b ->-， 故选D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 12．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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湖南省邵阳市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

湖南省邵阳市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

湖南省邵阳市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】解：由题意知，i 2i z =+，()22212121i i i iz i i i ++-+∴====--，∴12i z =-== 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.2．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10 B ．32 C ．40 D ．80【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理通项公式1r r n rr n T C a b -+=可得常数项，然后二项式系数和，可得a ，最后依据1r r n rr n T C a b -+=，可得结果.【详解】由题可知：515r r r r T C x a -+=当0r =时，常数项为51T a =又()5x a +展开式的二项式系数和为52 由5522a a =⇒=所以5152r r rr T C x -+=当2r =时，223235280T C x x ==所以2x 项系数为80 故选：D 【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.3．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p ，即可得到抛物线方程． 【详解】由抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得122p =，1p ∴=，所以抛物线的标准方程为：y 2＝2x ． 故选B ． 【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．4．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log log 2<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.5．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 6．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r＝.答案：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题. 7．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.8．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．9．10212x ⎛ ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．7项【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 【详解】720103110(1)2r r r rr T C x--+=-，010r ≤≤，当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项. 故选:B. 【点睛】本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.10．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．4【答案】C 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积. 【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体， 如图所示：故：111112*********V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3,1,30a b B ===o ，则A 为( )A ．60oB ．120oC ．60o 或150oD ．60o 或120o【答案】D 【解析】由正弦定理可求得sin 2A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =1sin 30=o，解得sin A =，又0180A <<o o ，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。

湖南省邵阳市2021届新高考数学仿真第一次备考试题含解析

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湖南省邵阳市2021届新高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【详解】当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n nf x f x n x n x n =-=----，max ()2n f x =，又40489<<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---， 令40()9f x =，得3402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.3．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为2222222222222b m a n bm an bm an a b a b ca ba b--+==+++，所以222214a bcc=，则22244()a c a c-=，即()22220c a-=，故2220c a-=，即2222cea==，所以e=故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.4．已知函数2()(2)g x f x x=+为奇函数，且(2)3f=，则(2)f-=（）A．2 B．5 C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】由函数2()(2)g x f x x=+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f-+=⇒-+++=,代入已知即可求得. 【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f-+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.5．已知实数,x y满足不等式组10240440x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y+的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y=+的最小值即为34x y+的最小值，作34y x=-，平移直线即可求解.【详解】作出实数,x y满足不等式组10240440x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）令34z x y =+，则344z y x =-+， 作出34y x =-，平移直线，当直线经过点()1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 6．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 7．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值． 【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ． 【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.8．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值【答案】C 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离，所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C 【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.9．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3，C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D 【解析】 【分析】先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.11．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 12．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省邵阳市2024届高三第一次联考(邵阳一模)数学含答案

湖南省邵阳市2024届高三第一次联考(邵阳一模)数学含答案

2024年邵阳市高三第一次联考试题卷数学本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}4,,3,4,8,9A xx n n B ==∈=N ∣，则集合A B ⋂的元素个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.12.下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ） A.2(1i)+ B.2(1i)- C.1i1i-+ D.4(1i)+ 3.命题“2,460x x x ∃∈-+<R ”的否定为（ ） A.2,460x x x ∃∈-+>R B.2,460x x x ∃∈-+R C.2,460x x x ∀∈-+<R D.2,460x x x ∀∈-+R4.若抛物线22(0)x py p =>上一点(),6M n 到焦点的距离是4p ，则p 的值为（ ） A.127 B.712 C.67 D.765.如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R ，则2λμ-的值为（ ）A.43 B.52 C.23- D.1036.苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ） A.56 B.90 C.110 D.1327.已知函数()π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在170,72a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1710,π99a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A.70,π17⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.67π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.78π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.89π,π1717⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.设56ea b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a c b << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设点(),P x y 为圆22:1C x y +=上一点，已知点()()4,0,5,0A B ，则下列结论正确的有（ ）A.x y +B.2244x y x y +--的最小值为8C.存在点P 使PB PA =D.过A 点作圆C 10.下列说法正确的有A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和2212,s s ，且12x x =，则总体方差()2221212s s s =+B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C.已知随机变量()2,X Nμσ~，若()()151P x P x ≥+≥=，则3μ=D.已知一组数据为50,40,39,45,32,34,42,37，则这组数据的第40百分位数为3911.如图所示，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2,AA AB E ==为1AA 的中点，则（ ）A.DE ∥平面1A CAB.DE ⊥平面11D C EC.P 为棱11A B 上任一点，则三棱锥C PDE -的体积为定值D.平面DCE 截此四棱柱的外接球得到的截面面积为π812.已知函数()f x 与其导函数()g x 的定义域均为R ，且()1f x -和()21g x +都是奇函数，且()103g =，则下列说法正确的有（ ）A.()g x 关于1x =-对称B.()f x 关于()1,0对称C.()g x 是周期函数D.121(2)4i ig i ==∑三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.52(1)x x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为__________. 14.已知数列{}n a 的首项为()*12,21n n a a n n ++=+∈N ，则10a=__________.15.已知1ππcos cos2cos4,,874θθθθ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则22cos 4cos θθ-=__________. 16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，它们的离心率分别为12,e e ，点P 为它们的一个交点，且121cos 2F PF ∠=-.当2212112e e +取最小值时，21e 的值为__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为95%，第2台车床的正品率为93%，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的60%,40%.（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用X 表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计X 的数学期望()E X .18.（12分）在ABC 中，内角A cos22A A -=. （1）求角A 的大小； （2）若2DC BD =，求AD BD的最大值.19.（12分）如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为2cm 和113cm,,AA BB 为圆台的两条不同的母线.1,O O 分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且OAB 为等边三角形.（1）求证：11A B ∥AB ；（2）截面11ABB A 与下底面所成的夹角大小为60， 求异面直线1AA 与11B O 所成角的余弦值. 20.（12分）设数列{}()*n a n ∈N满足：2212na a a n n+++=.等比数列{}n b 的首项11b =，公比为2. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列n n a b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21.（12分）已知陏圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示，设点A 是椭圆C 的右顶点.过点()3,0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,E F ，且都在x 轴的上方.在x 轴上是否存在点P ，使APE OPF ∠∠=，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数()()()ln 121,0f x a x a x a =-+++≠. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()2sin 14F x f x x x =+--，求证：当1a =时，()F x 恰有两个零点.2024年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）7.C 解析：由ππ2π32π,262k x k k -++∈Z ，得2ππ,3939k x k -+∈Z ， ()f x ∴的单调增区间为2π2π2ππ,,3939k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . ()f x 在170,72a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，17π8π0,072917a a ∴<∴<.由ππ32π32ππ,262k x k k +++∈Z ，得()2ππ2π4π,,3939k k x k f x ++∈∴Z 的单调减区间为2ππ2π47π17107π10,π,.π,π39399991717k k k a a ⎡⎤++∈∴<∴⎢⎥⎣⎦Z . 综上，7π8π1717a . 8.D 解析：117711881871718e e a b e e ==，设()()()()21,01,,0x x e x ef x x f x f x x x '==∴'-<<<，()f x ∴在()0,1上单调递减.又1111,,7878ff a b ⎛⎫⎛⎫>∴<∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又17187e a c e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设()(),,1xxg x e ex g x e e x '=-=-<时，()()0,g x g x <∴'在(),1∞-单调递减.()110,7g g a c ⎛⎫∴>=∴> ⎪⎝⎭.综上c a b <<.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）11.BC 解析：A 错.B.11C D ⊥平面1111,AA D D C D DE ∴⊥.又1,DE D E DE ⊥∴⊥平面11D C E ，B 对.11.C A B ∥11,CD A B ∴∥平面.p CDE CDE V -∴为定值，C 对.D .设外接球球心为O ，即为对角线1A C 中点.O 到平面DCE 距离为1A 到平面DCE 距离的一半，1A 到平面CDEO 到平面CDE距离为2∴截面圆半径211ππ.D 22r S r ==∴==∴错.12.ACD 解析：因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x -=---，所以()()11f x f x '-=--'，即()()11g x g x -=--，所以()g x 的图象关于直线1x =-对称.因为()21g x +为奇函数，所以函数()g x 的图象关于点()1,0对称，所以8是函数()g x 的一个周期.因为()103g =，所以()()()1112,4,6333g g g =-=-=，所以1211(2)(123456789101112)43k kg k ==--++--++--++⨯=∑.故选ACD. 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.25 14.9 15.1 16.7815.1 解析：2sin cos cos2cos4sin2cos2cos42sin2cos2cos4cos cos2cos42sin 2sin 4sin θθθθθθθθθθθθθθθθ===，所以2sin4cos4sin818sin 8sin 8θθθθθ===-sin8sin θθ=-，即sin sin80,θθ+=；故()()8π2πk k θθ+-=+∈Z 或()()82πk k θθ--=∈Z ，因为ππ0,74⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2π9θ=，故228π2π16π2π2cos 4cos 2cos cos cos 1cos 19999θθ-=-=+-=. 16.78 解析：设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线方程为：()2222222210,0x y a b a b -=>>.不妨设点P 为第一象限的交点，由题意知：1211222,2.PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩则112212,.PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 由余弦定理得：2222221212121242cos 43c PF PF PF PF F PF c a a ∠=+-⋅⋅⇒=+. 2212314e e ∴=+.222222*********211131*********e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222122121311111233.412412e e e e ⎛⎛⎫⨯ ⎪ =⋅+++⋅++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭当且仅当442114e e =时取等号，22212e e ∴=. 2122211131774,228e e e e ∴=+=∴=. 四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）解：（1）不难知，第1台加工零件的次品率为5%，第2台加工零件的次品率为7%. 记事件A 表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，事件1B 表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第i 台车床加工的”，1,2i =. 则()()()220.40.07140.60.050.40.0729P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯∣.（2）X 的可能取值为0,1,2,3,,10，且X 服从二项分布.由（1）知，()0.60.050.40.070.058P A =⨯+⨯=.()()10,0.058.100.0580.58X B E X ∴~∴=⨯=.18.（12分）解：（1）由已知ππ2sin 22,sin 2166A A ⎛⎫⎛⎫-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ππ110π,2π666A A <<∴-<-<. πππ2,623A A ∴-=∴=.（2）()112,33DC BD BD BC AC AB =∴==-. 又2133AD AB BD AB AC =+=+，24AD AB AC cBD AC AB+∴===-.令0btc=>，2AD tBD t∴===311233=+==.当且仅当1t=取等号.ADBD∴的最大值为1.19.（12分）（1）证明：圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.∴母线1AA与母线1BB的延长线必交于一点，11,,,A AB B∴四点共面.圆面1O∥圆面O，且平面11ABB A⋂圆面111O A B=，平面11ABB A⋂圆面O AB=.11A B∴∥AB.（2）解：ABO为等边三角形，π3AOB∠∴=，如图建立空间直角坐标系O xyz-，设1(0)OO t t=>.()()133,0,0,,2,0,2A B A t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.()131,0,,,22AA t AB ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11ABB A 的一个法向量()1,,n x y z =.则有：0,30.22x tz x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令x =11,3,1,y z n ⎛==∴= ⎭. 底面的一个法向量()20,0,1n =，因为截面与下底面所成的夹角大小为60，所以121cos60cos ,2n n ︒====，32t ∴=， 131,0,2AA ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，又()1112,3A B ABB ==-∴坐标为32⎛⎫ ⎪⎝⎭.()111,O B∴=，111111111cos ,13AAO B AA O B AA O B ⋅-===. ∴异面直线1AA 与11O B 所成角的余弦是13.20.（12分） 解：（1）221,12n a a a n n n +++=. 2121(1),221n aa a n n n -∴+++=--. 22(1)21na n n n n∴=--=-.即()21,2n a n n n =-. 当1n =时，11a =，满足上式.()21212,2n n n a n n n n b -∴=-=-=.（2）由（1）知：()1212n n n a b n n-=-⋅. ()0111232212n n T n -∴=⋅+⋅++-⋅， ()()11212232212n n n T n n -=⋅++-⋅+-⋅.()1112222212n n n T n -∴-=+⋅++⋅--⋅()()12121221212n n n --=+⋅--⋅-()()11421212n n n -=+---⋅()222123n n n =⋅--⋅-()3223n n =-⋅-.()2323n n T n ∴=-+.21.（12分） 解：（1）依题意得22221,2b a c a b c ⎧=⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩解得11,,22a b c ===， ∴椭圆C 的标准方程为22134y x +=.（2）存在点P ，使APE OPF ∠∠=，点P 的坐标为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.理由如下：直线l 过点()3,0，与椭圆224:13C x y +=交于不同的两点,E F .且都在x 轴上方. ∴直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()3,0y k x k =-≠.联立方程()223,4 1.3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()222234243630k x k x k +-+-=.设()()1122,,,E x y F x y ，则2212122224363,3434k k x x x x k k-+==++. APE OPF ∠∠=，()()()()()()122112121233PE PF k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--∴+=+=---- ()()()()()()()22221212121272624362363434k k m m x x m x x m k k k k x m x m x m x m --+⋅+-+++++=⋅=⋅---- ()()()2222212726722418240.34k k mk m mk k x m x m k ---++=⋅=--⋅+ 11860,3m m ∴-=∴=. 存在P 点满足条件.P ∴点坐标为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 22.（12分）（1）解：()()()()21222,1111a x a a x a f x a x x x x +-+'+-=++==>---. 当2a =-时，()()20,1f x f x x =-<∴-'在()1,∞+上单调递减. 当20a -<<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增. 当0a >时，()()()22,220,a x a x f x +>+->∴在()1,∞+上单调递增. 当2a <-时，()()20,220,a a x f x +<+-<∴在()1,∞+上单调递减. 综上所述，当20a -<<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增. 当0a >时，()f x 在()1,∞+上单调递增.当2a -时，()f x 在()1,∞+上单调递减.（2）证明：1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+. 令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，则()12cos 1h x x x=+-'. 令()()()21,2sin h x m x m x x x ==--''. i.(]0,1x ∈时，()0h x '>恒成立， ()h x ∴在(]0,1上单调递增.又()12sin110h =->，()22222sin 0g e e e ---=-+-<∴存在一个零点(]11,0,1x x ∈，使()10h x =. ii.(]1,πx ∈， ()212sin 0m x x x =--<'恒成立， ()m x ∴在(]1,π上单调递减.又()1π210πm =--<， ()12cos10m =>.存在零点0x ，使()00m x =.()()01,,0x x h x ∈'∴>，()()0,π,0x x h x ∈'<.()h x ∴在()01,x 上单调递增，()0,πx 上单调递减. 又()()010,0h h x >∴>.()πln ππ0h =-<，∴存在一个零点()220,,πx x x ∈，使()20h x =. iii.3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， ()112cos 0h x x x∴='-+<恒成立. ()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.()()πln ππ0h x h ∴<=-<恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭没有零点. iv.3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，ln 2sin ln 2x x x x x +-+- 下面来证明当3π,2x ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，ln 20x x +-<. 设()2ln n x x x =--.()110n x x=->'. ()n x ∴在3π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增， ()3π3π3π3π,2ln 2ln 02222n x n ⎛⎫-->-> ⎪⎝⎭， ln 20x x ∴+-<恒成立.综上所述，()h x 在()0,∞+只有两个零点. 又()F x 是由()h x 向右平移一个单位所得， ()F x ∴在()1,∞+只有两个零点.。

湖南省邵阳市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

湖南省邵阳市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

湖南省邵阳市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量,a b v v 满足||1,||a b ==v v 且a v 与b v 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=v v v v ( )A ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可. 【详解】221()(2)22312a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=v v v v v v v v .故选：A. 【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.2．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A 【解析】 【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r，根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x <AE BE =Q()222001x x +=-解得01x =-(E ∴-()4,3C Q ，()5,0DCD ∴所在直线的方程为353y x =-+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+(),353AM x x ∴=-+u u u u r()1,343E x M x -=--u u u r()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max714AM ME⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题. 3．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】由题可知：0a <，所以当0x <时，()0f x >， 又()'x f x e a =+，令()'0f x >，则()ln x a >- 令()'0fx <，则()ln x a <-所以函数()f x 在()(),ln a -∞-单调递减 在()()ln ,a -+∞单调递增， 故选：B 【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.4．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20 B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.5．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==，得a =，1b ∴=，所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.6．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由b a >可得e >由过点T 所作的圆的两条切线互相垂直可得TF =,又焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,则TF b =≥,进而求解.b a >Q ,所以离心率212c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭,又圆222()a c y x +=-是以(c,0)F 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直,必有2TF a =,而焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,所以2TF a b =≥,即2ba≤,所以213c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭≤,所以双曲线M 的离心率的取值范围是(2,3]. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.7．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A 3B ．2C 5D 6【答案】A 【解析】 【分析】由122PF PF =及双曲线定义得1PF 和2PF（用a 表示），然后由余弦定理得出,a c 的齐次等式后可得离心率． 【详解】由题意∵122PF PF =，∴由双曲线定义得122PF PF a -=，从而得14PF a =，22PF a =， 在12PF F ∆中，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos60c a a a a =+-⨯⨯︒，化简得3==ce a故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用a 表示出P 到两焦点的距离，再由余弦定理得出,a c 的齐次式．8．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.9．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6 B ．1C ．32D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】()4,2a →=Q ，(),3b x →=，//a b →→，432x ∴⨯=，即6x =， 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题. 11．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且cos θ=心率为（ ）A B C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈又cos θ=sin θ=tan 2θ=，2b a =，所以离心率c e a === 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。