高考数学二轮复习平面向量专题训练(含解析)
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高考数学二轮复习平面向量专题训练(含分析)
高考数学二轮复习 平面向量专题训练（含分析）
一、选择题
→ → → → →
) 1．已知向量 OA＝ (3 ，－4) ，OB＝ (6 ，－ 3) ，OC＝ (2 m，m＋ 1) ．若 AB∥OC，则实数 m的值为 (
1
A．－ 3 B．－ 7
3 3
C．－ 5 D. 5
分析 → → → → →
AB＝OB－ OA＝ (3,1) ，由于 AB∥ OC，
所以 3( m＋1) － 2m＝ 0，解得 m＝－ 3.
答案 A
2．已知 | a| ＝ | b| ＝ 2， ( a＋ 2b) ·(a－ b) ＝－ 2，则 a 与 b 的夹角为 ( )
π π
A. 6 B. 3
π 2π C. D.
3
2
分析 由 ( a＋ 2b) ·(a－ b) ＝ | a| 2＋ a· b－ 2| b| 2＝－ 2，得 a· b＝ 2，即 | a|| b|cos 〈a，b〉＝ 2，
1 π
cos 〈a， b〉＝ 2. 故〈 a，b〉＝ 3 .
答案 B
3．(2014 ·四川卷 ) 平面向量 a＝ (1,2) ， b＝ (4,2) ， c＝ma＋ b( m∈R) ，且 c 与 a 的夹角等于 c
与 b 的夹角，则 m＝ ( )
A．－ 2 B．－ 1
C． 1 D． 2
分析 ∵a＝(1,2) ，b＝(4,2) ，∴c＝ m(1,2) ＋ (4,2) ＝ ( m＋ 4,2 m＋ 2) ．又∵ c 与 a 的夹角等于 c
与 b 的夹角，∴ cos 〈c， a〉＝ cos 〈 c， b〉．∴ | c· a
＝ | c· b 5m＋ 8 8m＋ 20
c ||
a |
c || |.即 ＝ ，解得 m＝ 2.
b 5| c| 2 5| c|
答案 D
4．(2014 ·全国纲领卷 ) 若向量 a， b 知足： | a| ＝1， ( a＋b) ⊥ a， (2 a＋ b) ⊥ b，则 | b| ＝ ( )
A． 2 B. 2
C． 1 D. 2
2
分析 ∵(＋ )⊥ ，|
a |＝1，∴( ＋ )· ＝0，
a b a a b a
∴ | a| 2＋ a· b＝ 0，∴ a·b＝－ 1.
又∵ (2 a＋b) ⊥ b，∴ (2 a＋ b) · b＝ 0.
∴ 2a· b＋ | b| 2＝ 0. ∴ | b| 2＝ 2.
1 高考数学二轮复习平面向量专题训练(含分析)
∴ | b| ＝ 2，选 B.
答案 B
5．设△ ABC的三个内角为 A， B， C，向量 m＝ ( 3sin A，sin B) ，n＝ (cos B， 3cos A) ，若 m· n
＝ 1＋ cos( ＋ )，则 ＝ ( )
A B C
π π
A. 6 B. 3
2π 5π
C. 3 D. 6
分析 依题意得 3sin Acos B＋ 3cos Asin B＝ 1＋ cos( A＋ B) ，
3sin( ＋ ) ＝ 1＋cos( ＋ ) ， 3sin ＋ cos ＝ 1，
A B A B C C
＋ π
＝ 1， sin ＋ π 1 π π 7π
，
2sin C 6 C 6 ＝2.又 6
π 5π 2π
所以 C＋6＝ 6 ，C＝ 3 ，选 C.
答案 C
→ → → → → → → → 1 →
6．在平面上， AB1⊥ AB2，| OB1| ＝ | OB2| ＝ 1 ，AP＝ AB1＋AB2. 若 | OP|< 2，则 | OA| 的取值范围是 ( )
A. 5 B. 5 7
0， 2
2 ， 2
C. 5 D. 7
2 ， 2
2 ， 2
分析 由题意得点 1， 2 在以 为圆心，半径为 1 的圆上，点 P 在以 O 为圆心半径为 1 的圆内，
B B O 2
→ → → → → P与 O点重合时， → 最大为 2， 又 AB⊥AB， AP＝AB＋ AB，所以点 A 在以 B B 为直径的圆上，当 | OA|
1 2 1 2 1 2
当 P 在半径为 1 的圆周上， | →| 最小为 7 . ∵ P 在圆内，∴ | →| ∈ 7 .
2 OA 2 OA 2 ， 2
答案 D
二、填空题
7．(2014 ·北京卷 ) 已知向量
a ，
b 知足 |
a | ＝1，
b ＝(2,1) ，且
λ a ＋ ＝0(
λ ∈R) ，则 |
λ | ＝
b
________.
分析 | b| ＝ 22＋ 12＝ 5，由 λa＋ b＝0，得 b＝－ λ a，
故 | b |＝|－ λa | ＝ | λ || | ，所以 | λ | ＝ | b| ＝ 5＝ 5.
a | a| 1
答案 5
8．如图，在△ 中， 为边 上的中线， → → ，若 → ∥ → ，且 → 1→ ＋ → ( ∈R) ， ＝ 2 ＝
λ ABC BO AC BG GO CD AG AD 5AB λAC
2 高考数学二轮复习平面向量专题训练(含分析)
则 λ 的值为 ________．
→ → → → → → → 1→ →
分析 由于 CD∥ AG，所以存在实数 k，使得 CD＝ kAG. CD＝ AD－ AC＝ 5AB＋ ( λ－1) AC，又由 BO是
→ → → 1 → → 1→
△ ABC的边 AC上的中线， BG＝ 2GO，得点 G为△ ABC的重心，所以 AG＝ 3( AB＋
AC) ，所以 5AB＋ ( λ －
1 k
→ k → → 5＝3， 6
1) AC＝3( AB＋ AC) ，由平面向量基本定理可得 k 解得 λ＝ 5.
λ－ 1＝ 3，
答案 6
5
9 ．在△ ABC所在的平面上有一点 P → → → →
知足 PA＋ PB＋ PC＝ AB，则△ PBC与△ ABC 的面积之比是
________．
分析 → → → → → → → → → →
P是 CA边上凑近 A 由于 PA＋ PB＋PC＝ AB，所以 PA＋PB＋ PC＋ BA＝0，即 PC＝ 2AP，所以点
点的一个三平分点，故 S△ PBC PC 2 ＝ ＝ .
△ ABC
AC 3
S
2 答案
3
三、解答题
10．已知向量 → ＝ (3,1) ， →＝( －1， ) ， ∈R.
AB AC a a
(1) 若
D 为 中点， → ＝ ( 2) ，求 ， 的值；
BC AD m, a m
(2) 若△ ABC是直角三角形，求 a 的值．
解 (1) → →
－ 1， a) ，
由于 AB＝ (3,1) ， AC＝(
→ 1 → → 1， 1＋ a . 所以 AD＝ ( AB＋ AC) ＝
