高考数学第二轮专题复习平面向量教案

.

.专心. 高考数学第二轮专题复习平面向量教案

一、本章知识结构：

二、高考要求

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析

对本章内容的考查主要分以下三类：

1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.

2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.

3.向量在空间中的应用〔在B类教材中〕.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议

由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法那么、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量〞这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是.

.专心. 向量的坐标运算表达了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。

五、典型例题

平面向量

【例1】 在以下各命题中为真命题的是( )

①假设a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，那么a·b=x1y1+x2y2

②假设A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么｜AB｜=221221)()(yyxx

③假设a=(x1,y1)、b=(x2,y2),那么a·b=0x1x2+y1y2=0

④假设a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，那么a⊥bx1x2+y1y2=0

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

解：根据向量数量积的坐标表示；假设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，那么a·b=x1x2+y1y2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、

于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、

说明：对于命题(3)而言，由于a·b=0a=0或b=0或a⊥bx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、

而对于命题(4)来讲，a⊥bx1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0a⊥b)，所以命题(4)是个假命题、

【例2】 a=(－3,－1), b=(1, 3)，那么a，b的夹角θ=( )

A、30° B、60° C、120° D、150°

解：a·b=(－3,－1)·(1，3)=－23

｜a｜=22)1()3(=2

｜b｜=22)3(1=2

∴cosθ=baba••=2232=23 .

.专心. 【例3】 a=(2,1), b=(－1,3),假设存在向量c使得：a·c=4,

b·c=－9，试求向量c的坐标、

解：设c=(x,y),那么由a·c=4可得：

2x+y=4；又由b·c=－9可得：－x+3y=－9

于是有：9342yxyx )2()1(

由(1)+2(2)得7y=－14,∴y=－2,将它代入(1)可得：x=3

∴c=(3,－2)、

说明：两向量a，b可以求出它们的数量积a·b，但是反过来，假设向量a及数量积a·b，却不能确定b、

【例4】 求向量a=(1,2)在向量b=(2，－2)方向上的投影、

解：设向量a与b的夹角θ、

有cosθ=baba•• =2222)2(221)2(221=－1010

∴a在b方向上的投影=｜a｜cosθ=5×(－1010)=－22

【例5】 △ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高AD，求AD及点D的坐标、

解：设点D的坐标为(x,y)

∵AD是边BC上的高，

∴AD⊥BC，∴AD⊥BC

又∵C、B、D三点共线，

∴BC∥BD

又AD=(x－2,y－1), BC=(－6,－3)

BD=(x－3,y－2) .

.专心. ∴0)3(3)2(60)1(3)2(6xyyx

解方程组，得x=59,y=57

∴点D的坐标为(59，57)，AD的坐标为(－51，52)

【例6】 设向量a、b满足：｜a｜＝｜b｜=1，且a+b=(1，0)，求a，b、

解：∵｜a｜＝｜b｜=1，

∴可设a=(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ)、

∵a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，

)2(0βsinαsin)1(1βcosαcos

由(1)得：cosα=1－cosβ……(3)

由(2)得：sinα=－sinβ……(4)

∴cosα=1－cosβ=21

∴sinα=±23,sinβ=23

23,2123,21ba或23,2123,21ba

【例7】 对于向量的集合A={v=(x,y)｜x2+y2≤1}中的任意两个向量1v、2v与两个非负实数α、β；求证：向量α1v+β2v的大小不超过α+β、

证明：设1v=(x1,y1)，2v =(x2,y2)

根据条件有：x21+y21≤1,x22+y22≤1

又因为｜α1v+β2v｜=221221)βα()βα(yyxx

=)(αβ2)(β)(α21212222221212yyxxyxyx

其中x1x2+y1y2≤2121yx 2222yx≤1

所以｜α1v+β2v｜≤αβ2βα22=｜α+β｜=α+β .

.专心. 【例8】 梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=21AB、

求证：AC⊥BC

证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1

那么A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)

∴BC=(－1,1),

AC=(1,1) BC·AC=－1×1+1×1=0

∴BC⊥AC、

【例9】 A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值、

解，设C(x,0)(x＞0)

那么CA=(－x,a), CB=(－x,b)

那么CA·CB=x2+ab、

cos∠ACB=CBCACBCA••=22222bxaxabx

令t=x2+ab

故cos∠ACB=11)(1)(1222•tbatbaab

当t1=ab21即t=2ab时，cos∠ACB最大值为baab2、

当C的坐标为(ab,0)时，∠ACB最大值为arccosbaab2、

【例10】 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明

(1)PA=EF (2)PA⊥EF

证明：建立如下图坐标系，设正方形边长为1，

｜OP｜=λ,那么A(0，1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)

∴PA=(－22λ,1－22λ), EF=(22λ－1,－ 22λ)

(1)｜PA｜2=(－22λ)2+(1－22λ)2=λ2－2λ+1 .

.专心. ｜EF｜2=(22λ－1)2+(－22λ)2=λ2－2λ+1

∴｜PA｜2=｜EF｜2,故PA=EF

(2) PA·EF=(－22λ)(22λ－1)+(1－22λ)(－22λ)=0

∴PA⊥EF ∴PA⊥EF、

【例11】 ).1,2(),0,1(ba

① 求|3|ba；

②当k为何实数时,kab与ba3平行, 平行时它们是同向还是反向？

解：①ba3= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴|3|ba= 2237=58.

②kab= k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1).

设kab=λ(ba3),即(k－2,－1)= λ(7,3),

∴λ31λ72k

31λ31k .

故k= 31时, 它们反向平行.

【例12】 ,1||,2||baa与b的夹角为3π,假设向量bka2与ba垂直, 求k.

解：3πcos||||baba=2×1×21=1.

∵bka2与ba垂直,

∴(bka2))(ba= 0,

∴20222bkbakbaa  k = － 5.

【例13】 如果△ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线, 求证：BE⊥CF.

解：

,0)5(81)5(81)](21)(21)(21[41)(41)(21),(2122222222222222222acbBCACABBACBCABCBCACABACBCBACACBBCACABBCBACFBECACBCFBCBABE