2020版高中数学第三章导数及其应用3.2.3导数的四则运算法则(第2课时)课件新人教B版

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第3课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的最值

求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意以下几点：

(1)对函数进行准确求导；

(2)研究函数的单调性，正确确定函数的极值和端点的函数值；

(3)比较极值与端点函数值的大小，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．

【典型例题1】求下列函数的最值：

(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；

(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.

思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解．

解：(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)．

令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x －3 (－3，－1) －1 (－1,1) 1 (1，3) 3

f′(x) － 0 ＋ 0 －

f(x) 0  －2  2  0

由上表可知：

当x＝1时，f(x)取得最大值，[f(x)]max＝f(1)＝2.

当x＝－1时，f(x)取得最小值，[f(x)]min＝f(－1)＝－2.

(2)f′(x)＝2cos 2x－1，

令f′(x)＝0，－π2≤x≤π2，得x＝－π6或x＝π6.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x －π2 错误! －π6 错误! π6 错误! π2

f′(x) － 0 ＋ 0 －

f(x) π2  π6－32  32－π6  －π2

由上表可知：

当x＝－π2时f(x)取得最大值f－π2＝π2， 2 当x＝π2时f(x)取得最小值fπ2＝－π2.

探究二 含参数的函数最值问题

由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化．因此需要对参数进行分类讨论，分类时常见于讨论：①f′(x)的类型，如f′(x)＝ax2＋2x－1时，可以分a＞0，a＝0，a＜0三种情况讨论；②当f′(x)＝0时注意是否有解，若有解，则讨论根是否在定义域内，根的大小是否确定．③有时，可以用可能的极值或最值的大小关系分类．

1 3.2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;

2.掌握导数的四则运算法则;

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一、创设情景

五种常见函数yc、yx、2yx、1yx、yx的导数公式及应用

二、新课讲授

(一)基本初等函数的导数公式表 2

(二)导数的运算法则

推论: ''()()cfxcfx (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)

(三)运算法则的证明

).()()]()(['''xvxuxvxu 3 证明:令()()().yfxuxvx

vuxvxxvxuxxuxvxuxxvxxuy )]()([)]()([ )]()([)]()([

xuxuxy.

.limlimlimlim0000xvxuxvxuxyxxxx

即).(')(')]'()([xvxuxvxu

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),

即:('.')'vuvu

范例: (1)求xxysin3的导数.(2)求324xxxy的导数.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:.)('''uvvuuv

指导学生尝试法则2的证明:

令).()()(xvxuxfy

()()()()yuxxvxxuxvx

).()(()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxu

第2课时 导数与函数的极值、最值

题型一 用导数求解函数极值问题

命题点1 根据函数图象判断极值

例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

答案 D

解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；

当－2

当1

当x>2时，f′(x)>0.

由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，

在x＝2处取得极小值．

命题点2 求已知函数的极值 例2 (2018·阜新调研)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．

解 f′(x)＝1x＋1＋a(2x－1)

＝2ax2＋ax－a＋1x＋1 (x>－1)．

令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．

①当a＝0时，g(x)＝1，

此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．

②当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．

a．当0

函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．

b．当a>89时，Δ>0，

设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1

因为x1＋x2＝－12，所以x1<－14，x2>－14.

由g(－1)＝1>0，可得－1

所以当x∈(－1，x1)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

因此函数f(x)有两个极值点．

③当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0，

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第2课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的极值

用导数研究函数的极值的步骤及应对策略：

(1)求定义域，并求导数f′(x)；

(2)解方程f′(x)＝0；

(3)列出表格．

在判断f′(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；

(4)由表格获得结论．

实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别．

【典型例题1】求下列函数的极值：

(1)f(x)＝x3－12x；

(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜2π)．

思路分析：求f(x)的定义域→求f′(x)→解方程f′(x)＝0→列表分析→结论

解：(1)函数f(x)的定义域为R；

f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x)  16  －16 

从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.

当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.

(2)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)

＝cos x＋cos2x－sin2x

＝cos x＋cos2x－(1－cos2x)

＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．

令f′(x)＝0，得cos x＝12或cos x＝－1.

当0＜x＜2π时，x1＝π3，x2＝π，x3＝5π3.

当x在区间(0,2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 x 0，π3 π3 π3，π π 错误! 5π3 5π3，2π