高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A

高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1

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高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1

- 2 - 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

（25分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.下列各式中正确的是 ( ）

A。（lnx)′=x B。（cosx)′=sinx

C。(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9

【解析】选C。因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。

2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是 （ )

A.1 B。0 C。2 D.

几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

1.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．

了解常数函数和幂函数的求导方法和规律．

2．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．

重点：常数函数、幂函数的导数及导数公式的应用．

难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．

方 法：合作探究

一新知导学

思维导航

一）怎样用定义求函数y＝f(x)的导数？

二）

牛刀小试

1．自己依据导数的定义求函数：①y＝c；②y＝x；③y＝x2；④y＝1x的导数并对照教材检查，然后自己求函数y＝x的导数．

二）基本初等函数的导数公式

1．若f(x)＝xn(n∈N*)，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝1x，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝xα(α∈Q)，则f ′(x)＝αxα－1.

2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝__________.

若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝__________.

3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝___________．

若f(x)＝ex，则f ′(x)＝__________.

4．若f(x)＝logax，则f ′(x)＝___________________．

若f(x)＝lnx，则f ′(x)＝__________. 课堂随笔:

牛刀小试

2．函数f(x)＝0的导数是( )

A．0 B．1 C．不存在 D．不确定

3．已知函数f(x)＝1x，则f ′(－2)＝( )

A．4 B．14 C．－4 D．－14

4．若f(x)＝tanx，f ′(x0)＝1，则x0的值为__________.

二．例题分析

例1求下列函数的导数．

(1)y＝a2(a为常数)；

(2)y＝x12；

(3)y＝x－4；

3.2 导数的计算

[教材研读]

预习课本P81～85，思考以下问题

1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12 的导数是什么？

2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？

[要点梳理]

1．基本初等函数的导数公式

2.导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

[自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．y＝1x，y＝x，y＝x2等求导函数，都可以看成y＝xα(α∈Q*)，并用其导数公式求导．( )

2．y＝lnx在x＝2处的切线的斜率为12.( )

3．f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的方程为x－y＋1＝0.( )

[答案] 1.√ 2.√ 3.√

题型一 利用导数公式求函数的导数

思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？

提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．

求下列函数的导数：

(1)y＝10x；

(2)y＝lgx；

(4)y＝4x3；

(5)y＝sinx2＋cosx22－1.

[思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．

[解] (1)y′＝(10x)′＝10xln10.

(2)y′＝(lgx)′＝1xln10.

(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1

＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，

∴y′＝(sinx)′＝cosx. (1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

2019人教版精品教学资料·高中选修数学

导数及其应用

重点列表：

重点 名称 重要指数

重点1 导数的概念及应用 ★★★★

重点2 导数的应用 ★★★

重点3 抛物线 ★★★★

重点详解：

1.导数的概念

(1)定义

如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔyΔx就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y ′0|xx，即f ′(x0)＝0limx ΔyΔx＝0limx

f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.

(2)导函数

当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y ′，即f ′(x)＝y ′＝0limx f（x＋Δx）－f（x）Δx.

(3)求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法

①求函数的增量Δy＝ ；

②求平均变化率ΔyΔx＝ ；

③取极限，得导数f ′(x0)＝0limx ΔyΔx.

2.导数的意义

(1)几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .

(2)物理意义 函数S＝s(t)在点t0处的导数s ′(t0), 就是当物体的运动方程为S＝s(t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v，即 .设v＝v(t)是速度函数，则v ′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 .

3.基本初等函数的导数公式